К разделу
ЛЕКЦИЯ 6 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Огибающая семейства кривых, зависящих от одного параметра
  2. Примеры нахождения огибающей
  3. Эволюта
  4. Парабола безопасности в пакете MAPLE
  5. Эволюта в пакете MAPLE
  6. Введение избыточного числа параметров
  7. Вопросы и упражнения для самопроверки

Огибающая семейства кривых, зависящих от одного параметра

 Пусть задано семейство кривых Гa, зависящих от одного параметра а, и это семейство описывается уравнением
f (x, y, a ) = 0.  (1)
Далее предположим, что это семейство линий имеет огибающую ga, т.е. такую линию, которая для каждого значения указанного параметра а касается линии данного семейства Гa. Т.е. линия ga должна удовлетворять следующим условиям:
  1. Для одних и тех же значений параметра а направления касательных линий для ga и Гa должны совпадать.
  2. Условие п1. должно выполняться в их общей точке. Т.е. соотношения (2) должны удовлетворять соотношению (1).
 Пусть эта огибающая ga определяется соотношениями
x = φ (a), y = ψ (a).  (2)
Из соотношения (1) найдём тангенс угла наклона касательной семейства
.  (3)
Из соотношений (2) найдём тангенс угла наклона касательной для огибающей
.  (4)
В соответствии с условием п1. касания из (3) и (4) получим
,
или
,  (5)
Далее, так как в точке касания параметры x и y как для семейства Гa так и для огибающей ga будут одними и теми же, то получим соотношение
f ( φ (a), ψ (a), a ) = 0.  (6)
Дифференцируя соотношение (6) по параметру а, получим
,  (6)
В силу (5) соотношение (6) принимает вид
,  (7)
Отсюда можно сделать вывод, что координаты точек огибающей удовлетворяет уравнениям (1) и (7):
  (8)
т.е. параметрические уравнения огибающей могут быть найдены решением системы уравнений (8) относительно x и y, откуда x и y определятся как функции параметра a.
 Дадим общие указания для нахождения уравнений огибающей в параметрическом виде:
П е р в ы й ш а г. Дифференцируем уравнение семейства кривых по переменному параметру, равссматривая все другие величины, входящие в уравнение, как постоянные.
В т о р ой ш а г. Решаем получаемое таким образом уравнение и данное уравнение семейства кривых относительно x и y. Получаемый результат и будет представлять собой параметрические уравнения огибающей.
 З а м е ч а н и е. Если желательно получить уравнение огибающей в прямоугольных координатах, то следует исключить параметр а из параметрических уравнений огибающенй или из уравнения семейства (1) и уравнения (7).

Примеры нахождения огибающей

 П р и м е р 1. Найти огибающую семейства прямых
x cos a + y sin a = p, (9)
где а – переменный параметр.
 Р е ш е н и е. Продифференцируем (9) по параметру a
− x sin a + y cos a = 0. (10)
Решая систему уравнений (9) и (10) относительно x и y, получим
x = p cos a, y = p sin a. (11)
 Параметрическое уравнение огибающей будут, следовательно, (11), где а – параметр. Возводя уравнения (11) в квадрат и складывая, найдём
x2 + y2 = p2
уравнение огибающей в прямоугольных координатах, представляющее окружность радиуса р. (Здесь можно посмотреть анимацию.)
 П р и м е р 2. Найти огибающую семейства прямых образуемого прямой линией, движущейся так, что её отрезок между осями координат сохраняет постоянную длину b.
 Р е ш е н и е. Пусть АВ = b и пусть уравнение прямой AB представлено в нормальном виде
x·cos α + y·sin α − p = 0. (12)
По условию задачи
AO = AB·cos α = b·cos α
p = AO·sin α = b·sin α·cos α.
Подстановка выражения для параметра p в уравнение (12) прямой даёт
x·cos α + y·sin α − b·sin α·cos α. = 0, (13)
где α – переменный параметр. Дифференцируя (12) по параметру α, находим
− x·sin α + y·cos α − b·cos2 α + b·sin2 α. = 0, (14)
Решая систему уравнений (13) и (14) относительно x и y, находим
x = b·sin3α, y = b·cos3α. (15)
Уравнения (15) представляют параметрические уравнения астроиды внутри окружности радиуса b. (Здесь можно посмотреть анимацию.)
 П р и м е р 3. Найти огибающую чемейства прямых
,
где угловой коэффициент k есть параметр.
 Р е ш е н и е. и, возводя в квадрат, имеем y2 = 4 p x. Т.е. уравнение огибающей есть уравнение параболы. Каждая линия касательна к огибающей. Таким образом, прямая
есть касательная к параболе y2 = 4 p x, выраженная посредством своего углового коэффициента. (Здесь можно посмотреть анимацию.)

Эволюта

 Эволюта некоторой кривой является огибающей семейства нормалей этой кривой. Найдя параметрические уравнения огибающей получим координаты х и y центра кривизны. Если затем исключить переменный параметр, то будем иметь соотношение между х и y, которое является уравнением эволюты в декартовых координатах. (Здесь можно посмотреть рисунок.)
 П р и м е р 4. Найти эволюту параболы y2 = 4 p x, рассматривая её как огибающую нормалей рараболы.
 Р е ш е н и е. Пусть М0 (а, b ) некоторая точка параболы, т.е. координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: b2 = 4 p a. Тангенс угла наклона касательной к параболе в точке М0 равен y ' = 2 p/b. Уравнение нормали к параболе в точке М0 составим в виде
.
Так как рассматриваются нормали для всех точек кривой, то a и b будут меняться исключив а посредством уравнения b2 = 4 p a, представим уравнение нормали в виде
.
 Рассматривая b как переменный параметр, ищем огибающую этого семейства нормалей.  Параметрические уравнения эволюты имеют вид
.
Исключая из этих уравнений параметр b, получим уравнение эволюты в декартовых координатах:
27 py2 = 4( x − 2p )3.

Парабола безопасности в пакете MAPLE

> restart:with(plots):v0:=1:a:=1:g:=9.8:p:=plot(v0^2/(2*g)-g*x^2/(2*v0^2),x=-v0^2*sin(2*Pi/4)/g..v0^2*sin(2*Pi/4)/g,thickness=3,color=red):q:=proc (v0,a,g) animatecurve( [v0*cos(a)*t,v0*sin(a)*t-g*t^2/2,t=0..2*v0*sin(a)/g],view=[-v0^2*sin(2*a)/g..v0^2*sin(2*a)/g,0..v0^2*(sin(a))^2/(2*g)+0.01],scaling=CONSTRAINED,frames=50,color=blue);end: q1:=display(seq(q(1,i*0.2,9.8),i=3..12),tickmarks=[1,0],thickness=2): display(p,q1);

Эволюта в пакете MAPLE

>restart:with(plots):ev:=animatecurve( [(3*b^2+8*0.2^2)/(4*0.2),-b^3/(4*0.2^2),b=0.1..2],view=[0..2,-2..2],frames=50,thickness=2):ev1:=animatecurve( [(3*b^2+8*0.2^2)/(4*0.2),-b^3/(4*0.2^2),b=-2..-0.1],view=[0..2,-2..2],frames=50,thickness=2):par1:=plot(2*sqrt(0.2*x),x=0..3,color=blue,thickness=2):par2:=plot(-2*sqrt(0.2*x),x=0..3,color=blue,thickness=3):nor:=seq(plot(0.1*i+(0.1*i)^3/(8*0.2^2)-x*(0.1*i)/(2*0.2),x=0..3),i=1..10):nor:=seq(plot(0.1*i+(0.1*i)^3/(8*0.2^2)-x*(0.1*i)/(2*0.2),x=0..3,color=khaki),i=1..10):display(nor,ev,ev1,par1,par2,scaling=CONSTRAINED,tickmarks=[0,0]);

Введение избыточного числа параметров

 В некоторых случаях для упрощения вычислений целесообразно ввести нескольно параметров, связанных одним или несколькими соотношениями. Когда исключение выполнить трудно, то как данное уравнение, так и вспомогательные уравнения, связывающие параметры, можнодифференцировать по одному из параметров, рассматривая остальные как функции первого.
 П р и м е р 5. Найти огибающую семейства эллипсов, оси которых совпадают с осями координат, а площадь имеет постоянную величину. (Здесь можно посмотреть рисунок.)
 Р е ш е н и е.
 (15)
есть уравнение эллипса, в которых a и b – переменные параметры, связанные уравнением
πab = k, (16)
где πab есть площадь эллипса с полуосями a и b. Дифференцируя соотношения (15) и (16), получим
,
b da + a db = 0.
Исключая из первого уравнения db с помощью второго, получим
.
Далее из (15) находим
,
откуда a = ± x√2 и b = ± y√2. Подставиви эти значения в (16) получим огибающую
.
 Огибающая представляет собой пару сопряжённых равносторонних гипербол.
 В пакете MAPLE анимацию можно посмотреть программой
> restart:with(plots):el:=proc (a) implicitplot(x^2/a^2+y^2*a^2/(2)^2=1,x=-1..1,y=-10..10,color=khaki,numpoints=5000,thickness=2);end: gip1:=animatecurve( {1/x,-1/x},x=0.1..1,frames=50,thickness=3): gip2:=animatecurve( {1/x,-1/x},x=-1..-0.1,frames=50,thickness=3):display(gip1,gip2,seq(el(0.1*i),i=1..10),tickmarks=[0,0]);

Вопросы и упражнения для самопроверки

У к а з а н и е. Решения управжнений дополнить геометрическими построениями.
  1. Найти огибающую семейства прямых y = 2 m x + m4, где m – переменный параметр.
    О т в е т. x = − 2 m3, y = − 3 m4; или 16 y3 + 27 x4 = 0.
  2. Найти огибающую семейства парабол y2 = a (x − a).
    О т в е т. x = 2 a, y = ± a; или .
  3. Найти огибающую семейства окружностей x2 + (y − β)2 = r2, где β – переменный параметр.
    О т в е т. x = ± r.
  4. Найдите уравнение кривой, касательными к которой служит семейство прямых
    ,
    где угловой коэффициень m есть переменный параметр.
    О т в е т. Эллипс b2x2 + a2y2 = a2b2.
  5. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат двойные ординаты параболы y2 = 4 p x.
    О т в е т. y2 = 4 p ( p + x ).
  6. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат двойные ординаты эллипса b2x2 + a2y2 = a2b2.
    О т в е т. Эллипс .
  7. Круг движется так, что его центр постоянно находится на параболе y2 = 4 a x, а окружность его проходит через вершину параболы. Найти уравнение огибающей окружностей.
    О т в е т. Циссоида y2 ( x + 2 a) + x3 = 0.
  8. Найти огибающую семейства, состоящего из всех окружностей, центры которых лежат на оси ОХ, а радиусы имеют одинаковые для всех окружностей значение R.
    О т в е т. Две параллельные прямые y = ± R.
  9. Найти эволюту эллипса b2x2 + a2y2 = a2b2, если уравнение нормали дано в форме by = ax tg φ − ( a2 − b2 )·sin φ, где эксцентрический угол φ есть параметр.
    О т в е т. ; или .
  10. Найти эволюту гипоциклоиды , нормаль которой даётся уравнением y cos τ − x sin τ = a cos 2τ, где τ – параметр.
    О т в е т. .
  11. Найти огибающую кругов, проходящих через начало и имеющих центры на гиперболе x2 − y2 = c2.
    О т в е т. Лемниската ( x2 + y2 )2 = 4 c2 ( x2 − y2 ).
  12. Найти огибающую прямой, образующей на осях отрезки, сумма которых равна с.
    О т в е т: Парабола √x + √y = √c.
  13. Найти огибающую семейства эллипсов b2x2 + a2y2 = a2b2, сумма полуосей которых равна с.
    О т в е т. Гипоциклоида .
  14. Найти огибающую эллипсов, оси который совпадают с осями координат, причём расстояние между концами большой и малой осей сохраняет постоянную величину, равную l.
    О т в е т. Квадрат, стороны которого выражаются уравнениями ( x ± y )2 = l2.
  15. Ядра выбрасываются пушкою с начальной скоростью v0. Предполагая, что пушке может быть дано любое наклонение и чтоона находится всегда в одной и той же вертикальной плоскости, найти огибающую всевозможных траекторий, пренебрегая сопротивлением воздуха.(Здесь можно посмотреть рисунок.)
    О т в е т. Парабола ( безопасности ) . (Здесь можно посмотреть анимацию.)
  16. Через точку А(а, 0) проведён пучёк прямых. Найти огибающую семейства нормалей, проведённых к прямым этого пучка в точках их пересечения с осью OY.
  17. Найти огибающую семейства парабол ax2 + a2y = 1.
  18. Найти огибающую семейства парабол y = a2 ( x − a )2.
  19. Найти огибающую семейства полукубических парабол ( y − a )2 = ( x − a )3.
  20. Найти огибающую семейства линий x2 + ay2 = a3.
  21. Найти огибающую семейства эллипсов при условии, что сумма полуосей каждого эллипса равна d.
  22. Радиусы окружности проектируюутся на два взаимно перпендикулярных диаметра и на проекциях, как на полуосях, строятся эллипсы. Найти огибающую полученного семейства эллипсов.
  23. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих центры на параболе y = bx2 и проходящих через её вершину.
  24. На хордах круга ( радиуса R ), параллельных заданному направлению, как на диаметрах, описываются окружности. Найти огибающую этого семейства окружностей.
  25. Прямая движется так, сто произведение отрезков, отсекаемых ею на осях координат, равно постоянной величине а. Найти огибающую этих прямых.
  26. Найти эволюту эллипса .
  27. Найти огибающую семейства окружностей 2 ( x − a )2 + 2 y2 = a2.
  28. Найти эволюту кубической параболы y = x3.
  29. Найти эволюту гиперболы xy = 1.
  30. Найти эволюту параболы безопасности в задаче 15.
  31. Найти эволюту кривой .
  32. Найти эволюту гипоциклоиды .
  33. Найти эволюту кривой y3 = a2x.
  34. Найти эволюту кривой
  35. Найти эволюту кривой
  36. Сформулируйте определение огибающей семейства кривых.
  37. Сформулируйте алгоритм нахождения огибающей семейства кривых, зависящих от одного параметра.