К разделу
ЛЕКЦИЯ 7 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Скалярное поле. Линии уровня.
  2. Производная по направлению.
  3. Связь производной по направлению с частными производными.
  4. Пример вычисления производной по направлению.
  5. Градиент.
  6. Пример.
  7. Нахождение градиента в пакете MAPLE.
  8. Вопросы для самопроверки.

Скалярное поле. Линии уровня

   Пусть в некоторой области D трехмерного пространства определена некоторая функция u = f (x; y; z) в этом случае говорят, что в области D определено скалярное поле (для каждой точки пространства определяется число: температура, давление, уровень радиации и т.д.).
   Определение: Геометрическое место точек пространства, в которых функция, определяющая скалярное поле, постоянна, называется поверхностью уровня (если область D трехмерная) или линиями уровня (если область D плоская).

Производная по направлению

   Рассмотрим функцию z = f (М), определенную в некоторой окрестности точки М( х; у, z ), и произвольный единичный вектор

.

   Для характеристики скорости изменения функции в точке М(х; у; z ) в направлении вектора введем понятие производной по направлению. Для этого проведем через точку М прямую l в направлении вектора , на этой прямой выберем точку М1(x + Δx , y + Δy , z + Δz ). Величина отрезка ММ1 равна

.

Функция f (М) получит при этом приращение Δ f = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz) - f (x, y, z).
   Определение. Предел отношения при Δl → 0, (М1 → М), в точке М(х; у; z ) называется производной по направлению вектора и обозначается , т.е. .

Связь производной по направлению с частными производными

   Предположим теперь, что функция f (М) дифференцируема в точке М. Приращение функции f(М) в точке М вдоль прямой l можно записать в виде

.

где – бесконечно малые функции при Δ l → 0. Разделив обе части равенства на Δl и учитывая, что

,

получим

.

Переходя к пределу в этом равенстве при Δl → 0 , получаем формулу для производной по направлению

.

Из этой формулы следует, что производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причем направляющие косинусы являются коэффициентами, показывающими вклад в производную по направлению от соответствующей частной производной. В частности,

при , при .

   Из этого следует, что частные производные по х, у, z являются частными случаями производной по направлению осей координат.

Пример 1.

   Вычислитьпроизводную функции z = x2 + y2·x в точке М(1; 2) по направлению вектора , где М1 – точка с координатами (3; 0).
   Решение. Найдем единичный вектор , имеющий данное направление

, , ,

откуда . Вычислим частные производные функции в точке М (1; 2)

, .

По формуле получим
>restart:with(linalg):z:=(x,y)->5*x^2-3*x-y-1;M:=[2,1]:N:=[5,5]:MN:=vector(N-M):cos(alpha):=MN[1]/norm(MN,2):cos(beta):=MN[2]/norm(MN,2):x1:=M[1]:y1:=M[2]:D[1](z)(x1,y1)*cos(alpha)+D[2](z)(x1,y1)*cos(beta);#Производная по направлению функции z в точке М по направлению к точке N

Градиент

   Градиентом функции z = f (М), в точке М (х, у, z ) называется вектор, координаты которого равны ответствующим частным производным

,

взятыми в точке М( х, у, z )

.

   Используя понятие градиента функции, и учитывая, что вектор имеет ординаты , представим формулу в виде скалярного произведения векторов и вектора

.

С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем

.

Учитывая, что , получаем

.

Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину при cosφ = 1 (φ = 0), т.е. когда направление вектора совпадает с направлением grad f. При этом . Таким образом, градиент функции z = f (М) в точке М ( х, у, z ) характеризует направление и величину максимальной скорости изменения этой функции в данной точке. Соотношение для дифференциала функции f (М)

можно представить в векторном виде, если ввести вектор перемещения

и воспользоваться скалярным произведением в координатной форме

.

   Полный дифференциал скалярной функции равен скалярному произведению градиента функции на дифференциал вектора перемещения.

Пример 2

   Дана функция трёх переменных , точка M0(1, 2, 1) и вектор .
   Найти:
  1. grad u в точке М0.
    Для этого вычислим частные производные и воспользуемся определением градиента

    ,
    ,
    ,
    — искомый градиент.

  2. Производную в точке М0 по направлению вектора .
       Находим направляющие косинусы вектора .

    ,
    , , .

    По определению далее имеем

    ,
    .

  3. Наибольшую скорость изменения функции в точке М0.

Нахождение градиента в пакете MAPLE

> restart:with(linalg):u:=sqrt(46-6*x^2-y^2 −3z^2);

> grd:=grad(u,[x,y,z]); – градиент;

> grd1:=[D[1](f)(1,2,1),D[2](f)(1,2,1),D[3](f)(1,2,1)]; – градиент в заданной точке;

> with(geometry):a:=vector([7,-7,sqrt(2)]); – вектор направления;

> norm_a:=sqrt(a[1]^2+a[2]^2+a[3]^2); – модуль вектора;

> n1:=a[1]/norm_a;n2:=a[2]/norm_a;n3:=a[3]/norm_a; – направляющие косинусы вектора направления;



> grd1[1]*n1+grd1[2]*n2+grd1[3]*n3; – производная по направлению;

> sqrt(grd1[1]^2+grd1[2]^2+grd1[3]^2); – модуль градиенти и величина наискорейшего изменения скалярного поля;

 

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется скалярным полем?
  2. Что называется линией уровня, поверхностью уровня скалярного поля?
  3. Дайте определение производной по направлению скалярного поля?
  4. Как производная по направлению связана с частными производными?
  5. Дайте определение градиента скалярного поля.
  6. Как расположен градиент поля по отношению линии уровня поля?
  7. Как дифференциал поля выражается через градиент поля?
  8. Как производная поля по направлению выражается через дифференциал поля?
  9. Как найти направление и максимальную скорость изменения скалярного поля в данной точке?