ВВЕРХ
Найти неопределённый интеграл 
.
Р е ш е н и е. Составим таблицу интегрирования по частям
| | + | − |
| а) | х | 1 |
| б) |  | |
В строчку а) поставим функцию х и её производную, так как дифференцирование этой функции приводит к её упрощению. В строчку б) поставим первообразную неопределённого интеграла
Исходный интеграл преобразуется к виду, который легко доводится до завершения
.
Пример интегрирования по частям в пакете MAPLE
> with(student):g:=(x)->cos(x)/(sin(x))^3:f:=(x)->x:intparts(Int(g(x)*f(x),
x), f(x))=expand(intparts(int(g(x)*f(x), x), f(x)))+C;
В некоторых случаях применение вышеуказанной формы интегрирования по частям приводит непосредственно к конечному результату. Для иллюстрации этого рассмотрим пример
.
Составим таблицу интегрирования по частям
| + | − | + |
| 3 − 2·х | − 2 | 0 |
 |  | |
С учётом знаков, указанных в первой строчке, запишем значение интеграла
.
> with(student):g:=(x)->cos(4*x):f:=(x)->3-2*x:
