| К СОДЕРЖАНИЮ ПЕРВОЙ ЧАСТИ | САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА |
| Лекция 1 | Первообразная функция и неопределённый интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Таблица неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование. Интегрирование в пакете MAPLE. Вопросы для самопроверки. Неопределённый интеграл. Таблица интегралов. Свойства неопределённого интеграла. Простейшие приёмы интегрирования |
| Лекция 2 | Введение промежуточного аргумента интегрирования. Интегрирование путём замены переменной . Интегрирование по частям . Обобщённая формула интегрирования по частям . Вопросы для самопроверки. Замена переменной в неопределённом интеграле Интегрирование по частям в неопределённом интеграле. Часть 1. |
| Лекция 3 | Возвратные интегралы. Рекуррентные интегралы. Вычисление интегралов  ,  ,  . Вопросы для самопроверки. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле. Часть 2. |
| Лекция 4 | Рациональная дробь. Неправильная рациональная дробь. Виды простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших рациональных дробей. Вопросы для самопроверки. (Интегрирование простейших рациональных дробей) (Примеры интегрирования простейших рациональных дробей III и IV типов) |
| Лекция 5 | Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Теорема о разложении многочлена на множители . Разложение правильных рациональных дробей на простейшие . Вопросы для самопроверки. (Сведения из алгебры, необходимые для интегрирования рациональных дробей) (Интегрирование правильных рациональных дробей (корни знаменателя действительные и простые) ), (Интегрирование правильных рациональных дробей (корни знаменателя действительные и кратные) ), (Интегрирование правильных рациональных дробей (корни знаменателя комплексные некратные)) |
| Лекция 6 | Универсальная тригонометрическая подстановка . Вычисление интегралов вида  ,  ,  ,  , где sin x и cos x входят в чётных степенях . Интегрирование иррациональностей вида  ,  ,  . Вычисление интегралов вида  ,  ,  , где  . Вопросы для самопроверки. (Универсальная тригонометрическая подстановка) (Интегрирование тригонометрических выражений (частные случаи) ) (Интегрирование иррациональностей, Часть 1) (Интегрирование иррациональностей, Часть 2) (Интегрирование иррациональностей, Часть 3) |
| Лекция 7 | Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла . Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл интегральной суммы. Определение определённого интеграла. Формула Ньютона – Лейбница . Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Интегрируемость непрерывных функций. Свойства определённых интегралов . Сохранение знака неравенства при интегрировании. Теорема о среднем . Непрерывность определённого интеграла как функции верхнего предела . Производная от интеграла с переменным верхним пределом . Замена переменной в определённом интеграле. Примеры. Вопросы для самопроверки. (Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла) (Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница) (Свойства определенного интеграла) (Среднее значение функции) (Непрерывность интеграла как функции переменного верхнего предела интегрирования) (Производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу) (Определённые интегралы чётных и нечётных функций по симметричному промежутку интегрирования) (Теорема о сдвиге промежутка интегрирования периодической функции) (Определение гиперболических функций chx и shx) (Свойства гиперболических функций) |
| Лекция 8 | Интегрирование по частям в определённом интеграле. Обобщённая формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Пример применения интегрирования по частям в определённом интеграле. Приближённое вычисление определённых интегралов (формулы прямоугольника, трапеции, Симпсона). Вопросы для самопроверки.
|
| Лекция 9 | Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования . Геометрический смысл несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования . Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования. Интеграл Эйлера – Пуассона. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов первого рода. Признак Коши сходимости несобственных интегралов первого рода. Необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла первого рода. Абсолютная сходимость интеграла в промежутке [а, + ∞]. Признак Абеля. Признак Дирихле. Вопросы для самопроверки. (Несобственные интегралы) (Вычисление несобственного интеграла второго рода. Пример 2. ) (Вычисление несобственного интеграла второго рода. Пример 3. ) |
| Лекция 10 | Площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат . Площадь криволинейного сектора, ограниченного линией, заданной в параметрической форме . Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат . Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат и параметрически . Вопросы для самопроверки. (Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат) (Площадь криволинейного сектора в параметрической форме) (Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат ) (Длина линии на плоскости) |
| Лекция 11 | Площадь поверхности вращения . Площадь поверхности шарового пояса. Площадь поверхности, получаемой вращением кривой, заданной параметрически, в полярной системе координат. Объём тела по параллельным сечениям. Объём пирамиды. Объём тела вращения . Объём шара . Центр тяжести системы материальных точек. Центр тяжести кривой. Первая теорема Гульдена. Площадь боковой поверхности конуса. Координаты центра тяжести полуокружности. Центр тяжести криволинейной трапеции. Вторая теорема Гульдена. Центр тяжести одной арки циклоиды. Работа переменной силы. Вопросы для самопроверки. (Площадь поверхности вращения) (Объём тела по параллельным сечениям) (Объём тела вращения) (Объём шара) (Первая теорема Гульдина) (Вторая теорема Гульдина) |
СОДЕРЖАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
| Задание 1 | Найти неопределённые интегралы |
| Задание 2 | Найти неопределённые интегралы |
| Задание 3 | Вычислить неопределённые интегралы |
| Задание 4 | Найти неопределённые интегралы |
| Задание 5 | Найти неопределённые интегралы |
| Задание 6 | Вычислить определённые интеграл |
| Задание 7 | Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций. |
| Задание 8 | Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями. |
| Тест 1 | Первообразная. Определённый интеграл, его свойства и его приложения.
Готовимся к тестированию: |
| Тест 2 | Первообразная. Определённый интеграл, его свойства и его приложения. |