ВВЕРХ
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнениями
.
Решение. Построим область, площадь которой необходимо найти.
Решая уравнение 
, найдём интервал изменения параметра t:
.
Учитывая то, что линия задана в параметрическом виде, формулу для нахождения площади будем использовать в виде
.
Вычислим производные 
и подставим в формулу вычисления площади
.
Выполняя тригонометрические преобразования подынтегральной функции, получим интеграл для вычисления площади в виде
,
или окончательно
.
Замечание. Знак «+» или «-» перед формулой вычисления площади выбирается из тех соображений, что результат должен получиться положительным.
Теперь из полученного значения площади необходимо отнять площадь треугольника слева от вертикали. Найдём основание треугольника
Найдём высоту треугольника
Найдём площадь треугольника
Окончательно находим искомую площадь:
В пакете MAPLE эта задача оформляется так:
> restart:with(plots): with(plottools): net:=proc(x,y,a,b,ag,bg,n)local i,x1,x2,y1,y2,A,d,t1,t2:d:=(b-a)/n:t2:=a:for i from 1 to n do
t1:=evalf(t2):x1:=evalf(x(t1)):y1:=evalf(y(t1)):t2:=evalf(t1+d):x2:=evalf(x(t2)):y2:=evalf(y(t2)):
A[i]:=polygonplot([[x1,0],[x1,y1],[x2,y1],[x2,0]],color=green,style=patchnogrid):od:display([plot([x(t),y(t),t=ag..bg],
color=black,thickness=2,title=`Астроида`),seq(A[i],i=1..n),g2]):end:
> x:=t->32*(cos(t))^3:y:=t->3*(sin(t))^3:
g2:=implicitplot(x^2/32^2+y^2/3^2=1,x=-32..32,y=-3..3,color=black,linestyle=3):n:=net(x,y,-Pi/6,Pi/6,0,2*Pi,50):
l:=implicitplot(x=12*sqrt(3),x=-32..32,y=-3..3):tr:=polygonplot([[0,0],[x(-Pi/6),y(-Pi/6)],[x(Pi/6),y(Pi/6)]],color=blue):
display(n,l,g2,tr);
> solve(32*(cos(t))^3=12*sqrt(3),t);
> diff(x(t),t);diff(y(t),t);y(t)*diff(x(t),t)-x(t)*diff(y(t),t);f:=combine(%,trig);
> (1/2)*abs(int(f,t=-Pi/6..Pi/6));
