ВВЕРХ
Найти неопределённый интеграл 
.
Р е ш е н и е. Подынтегральную функцию разложим на простейшие
.
Если дроби, стоящие в правой части, привести к общему знаменателю, то знаменатели дробей в правой и левой частях будут совпадать, значит, будут совпадать и их числители:
x3 + 6x2 + 13x + 6 = A (x + 2)3 + B (x − 2) + C (x − 2) (x + 2) + D (x − 2) (x + 2)2
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях х будут совпадать. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений
Коэффициенты А и В можно найти не решая систему:
Из уравнений системы далее найдём D = 0, C = 0. Таким образом, разложение подынтегральной функции имеет вид
и далее легко получить ответ
.
Выполнение работы в математическом пакете MAPLE
> restart:
> f:=(x)->(x^3+6*x^2+13*x+6)/((x-2)*(x+2)^3); — выписывается подынтегральная функция
> pol1:=numer(f(x)); — определяется её числитель
> A/(x-2)+B/(x+2)^3+C/(x+2)^2+D/(x+2); — задаётся разложение рациональной дроби на простейшие
> normal(%);— вышеуказанное разложение приводится к общему знаменателю
> pol2:=collect(numer(%),x); — слагаемые числителя дроби группируются по степеням
> sis:={coeff(pol2,x,3)=coeff(pol1,x,3),coeff(pol2,x,2)=coeff(pol1,x,2),coeff(pol2,x,1)=coeff(pol1,x,1),coeff(pol2,x,0)=coeff(pol1,x,0)};
— составляется система на основе принципа равенства двух многочленов
> solve(sis); — решается эта система
> convert(f(x),parfrac,x);— определяется разложение подынтегральной функции на простейшие
> int(f(x),x)+C;— наконец, находится результат интегрирования
