ВВЕРХ
Найти неопределённый интеграл 
.
Р е ш е н и е. Подынтегральную функцию разложим на простейшие дроби
Если дроби, стоящие в правой части, привести к общему знаменателю, то знаменатели дробей в правой и левой частях будут совпадать, значит, будут совпадать и их числители:
2x3 + 3x2 + 3x + 2 = (Ax + B) (x2 + 1) + (Cx + D) (x2 + x + 1).
Раскроем скобки в правой части этого равенства и сгруппируем величины по степеням:
2 x3 + 3 x2 + 3 x + 2 = (A + C) x3 + (B + C + D) x2 + (A + C + D) x + (B + D).
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях х будут совпадать. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений
Решением этой системы является A = B = C = D = 1. Таким образом, подынтегральная функция имеет разложение
Окончательно, получим значение искомого интеграла
Решение в математическом пакете MAPLE
> restart:f:=(x)->(2*x^3+3*x^2+3*x+2)/((x^2+x+1)*(x^2+1)); — выписывается подынтегральная функция
> pol1:=numer(f(x));— определяется её числитель
> (A*x+B)/(x^2+x+1)+(C*x+D)/(x^2+1); — задаётся разложение рациональной дроби на простейшие
> normal(%); — вышеуказанное разложение приводится к общему знаменателю
> pol2:=collect(numer(%),x);— слагаемые числителя дроби группируются по степеням
> sis:={coeff(pol2,x,3)=coeff(pol1,x,3),coeff(pol2,x,2)=coeff(pol1,x,2),coeff(pol2,x,1)=coeff(pol1,x,1),coeff(pol2,x,0)=coeff(pol1,x,0)};
- составляется система на основе принципа равенства двух многочленов- составляется система на основе принципа равенства двух многочленов
> solve(sis); — решается эта система
> convert(f(x),parfrac,x); — разложение подынтегральной функции на простейшие окончательно принимает вид
> int(f(x),x)+C; int(f(x),x)+C;
