Приложения

ЛЕКЦИЯ 11

К СОДЕРЖАНИЮ

Площадь поверхности вращения.
Площадь поверхности шарового пояса.
Площадь поверхности, получаемой вращением кривой, заданной параметрически.
Площадь поверхности, получаемой вращением кривой, заданной в полярной системе координат.
Объём тела по параллельным сечениям.
Объём пирамиды.
Объём тела вращения.
Объём шара.
Центр тяжести системы материальных точек.
Центр тяжести кривой.
Первая теорема Гульдена.
Площадь боковой поверхности конуса.
Координаты центра тяжести полуокружности.
Центр тяжести криволинейной трапеции.
Вторая теорема Гульдена.
Центр тяжести одной арки циклоиды.
Работа переменной силы.
Вопросы для самопроверки.

Площадь поверхности вращения

Пусть кривая АВ задана уравнением y = f (x), а ≤ х ≤ b, и пусть функция y = f (x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [а, b]. Тогда поверхность, образованная вращением кривой АВ вокруг оси ОХ, имеет площадь S, которая может быть вычислена по формуле

Доказательство. Возьмем на кривой АВ точку М с абсциссой х. Тогда длина дуги АМ определяется формулой

Разобьем кривую АВ на n частей точками А = А ₀, A ₁, A ₂, …, A _{i - 1}, A _i, …, A_n = B. (смотри рисунок.)Длину частичной дуги A _{i - 1}A_i обозначим через Δ l = l _i − l _{i - 1}. Заменим кривую ломаной с указанными вершинами. При вращении ломаной вокруг оси Ох получим поверхность, составленную из n боковых поверхностей усеченных конусов. Площадь боковой поверхности i-го усеченного конуса равна произведению длины окружности 2·p·R ( R равно полусумме радиусов верхнего и нижнего оснований конуса) на длину образующей (хорды А _{i - 1}А _i). Поэтому, если положить R = y(ξ _i ), x _{i - 1} ≤ ξ _i ≤ x _i, и считать длину хорды А_{i - 1} A_i, равной Δ l_i, то получим, что площадь S_i боковой поверхности вращения приближенно равной S_i ≈ 2 π y(ξ_i) Δ l_i. Площадь всей поверхности вращения приближенно равна сумме площадей частичных поверхностей S_i т.е.

Эта сумма является интегральной суммой. Так как функция у (x) непрерывна на [0, L], то предел этой суммы при

существует и равен определенному интегралу от функции у(x) по l. Следовательно,

Или

Перейдем в интеграле от переменной интегрирования l к переменной х. Эти переменные связаны формулой

Если l = 0, то х = а, если l = L, то х = b. А так как

, окончательно получим

Замечание. Если поверхность получается вращением кривой АВ, заданной уравнением х = φ (у), с ≤ у ≤ d вокруг оси Оу, то ее площадь поверхности равна

Площадь поверхности шарового пояса

   Часть сферы, вырезаемая двумя параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии Н друг от друга, называется шаровым поясом высоты Н (смотри рисунок.).
    Вычислить площадь поверхности шарового пояса, если радиус шара равен R, а высота пояса равна Н.
   Р е ш е н и е. Поверхность шарового пояса можно рассматривать как поверхность тела, полученного при вращении дуги окружности

, где а ≤ х ≤ b, b – а = Н, вокруг оси Ох (смотри рисунок.). Так как

, то

, поэтому

. Итак, площадь поверхности S шарового пояса вычисляется по формуле S = 2·π·R·H. Если H → 2·R, то в пределе получим площадь поверхности всей сферы: S = 4· π·R².

Площадь поверхности, получаемой вращением кривой, заданной параметрически

Если поверхность подучается вращением вокруг оси Ох кривой АВ, заданной параметрическими уравнениями x = φ(t), у = ψ(t), α ≤ t ≤ β, причем y(t) ≥ 0, φ(t) изменяется от а до b при изменении t до α до β, то, производя в интеграле замену переменной по формулам x = φ( t), у = ψ(t), получим

Пример 1. Вычислить площадь S поверхности, полученной вращением циклоиды x = a·(t − sint), y = a·(1 − cost), 0 ≥ t ≥ 2π, вокруг оси Ох.
Решение. По формуле имеем

Площадь поверхности, получаемой вращением кривой, заданной в полярной системе координат

Кривая задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ(φ), α ≤ φ ≤ β, где ρ(φ) имеет непрерывную производную на [α, β]. Этот случай с помощью формул перехода х = ρ(φ)·cos φ, у = ρ (φ)·sin φ приводится к параметрической форме задания кривой и к формуле площади поверхности

Объем тела по параллельным сечениям

Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объем V. Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Ох (смотри рисунок.).
С изменением х площадь сечения также будет изменяться, т.е. являться некоторой функцией х. Обозначим эту функцию через S(х) и будем считать ее непрерывной функцией на отрезке [а, b]. Тогда объем тела можно найти по формуле

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками

Через эти точки проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох. Эти плоскости разобьют тело на n слоев. Найдем объем i-го слоя, образованного сечениями с абсциссами х_{i - 1} и х_i.
Его объем V_i приближенно равен объему прямого цилиндра, основание которого совпадает с сечением тела, соответствующим какой-либо точке ξ _i (х_{i - 1} ≤ ξ _i≤ х_i ), и, следовательно, имеет площадь S(ξ _i ), а высота равна Δx _i = x _i− x _{i - 1} (смотри рисунок.), т.е. V_i ≈ S ( ξ_i ) Δ x_i. Сумма объемов всех n слоев приближенно равна объему V данного тела:

Таким образом, получена интегральная сумма для интеграла. Так как функция S(х) непрерывна на [а, b], то предел этой суммы при

существует и равен определенному интегралу

Объём пирамиды

Вычислим объем пирамиды, высота которой равна Н, а площадь основания Q. (смотри рисунок.)
Решение. Введем систему координат Оху так, чтобы начало координат находилось в вершине пирамиды, а ось Ох проходила по высоте Н от вершины к основанию. Пересечем пирамиду плоскостью, параллельной основанию. Расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости обозначим через х, 0 ≤ х ≤ H, а площадь сечения — через S (х). Найдем функцию S(х). Для этого воспользуемся известным из элементарной геометрии свойством сечений пирамиды, параллельных основанию, и составим пропорцию

откуда находим

Подставляя последнее равенство в формулу, имеем

Итак, мы получили формулу объема пирамиды:

Объём тела вращения

В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f ( x), а ≤ x ≤ b, объем тела вращения вычисляется по формуле

Действительно, сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку (х, 0), представляет собой круг радиуса f(x). Площадь этого сечения (площадь круга) равна S (x) = π ( f ( x ) )². Из формулы объёма тела по параллельным сечениям получаем формулу

Замечание. Если криволинейная трапеция 0 ≤ х ≤ φ (у), а ≤ у ≤ b вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения найдём по формуле

Объём шара

Вычислим объем шара радиуса R (смотри рисунок.).
Решение. Шар радиуса R получается вращением полуокружности

вокруг оси Ох. Используя симметрию данного шара относительно оси Оу, находим

Центр тяжести системы материальныхточек

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек A₁(x₁, y₁), A₂(x₂, y₂), … A_n(x_n, y_n), массы которых соответственно равны m₁, m₂, …, m_n. Статическим моментом М_x этой системы относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты: M_x = m₁·y₁ + m₂·y₂ + … + m_n·y_n. Аналогично определяется статический момент М_y системы относительно оси Оу: M_y = m₁·x₁ + m₂·x₂ + … + m_n·x_n. Точка с координатами

, где m = m₁ + … + m_n, называется центром тяжести системы.
Центр тяжести обладает следующим свойством: если поместить в него массу, равную сумме масс всех точек системы, то статический момент этой массы относительно любой оси равен статическому моменту всей системы относительно этой оси.
Отсюда следует, что положение центра тяжести системы не зависит от выбора системы координат.

Центр тяжести материальной кривой

Рассмотрим некоторую плоскую кривую АВ. Будем предполагать, что:

1) кривая задана параметрически уравнениями х = φ (l), у = ψ (l), 0 ≤ l ≤ L, где параметр l — длина дуги, отсчитываемая от точки А, L — длина всей кривой АВ, и функции φ (l) и ψ (l) непрерывны на [0, L];
2) кривая однородна, т.е. ее линейная плотность ρ (масса, приходящаяся на единицу длины) постоянна и для простоты равна единице.

Определим статические моменты этой кривой относительно осей Ох и Оу и ее центр тяжести. Для этого разобьем кривую АВ на n частей точками А = А₀(х₀, у₀), А₁(х₁, у₁), …, А_i(x_i, y_i), А_{i + 1}(x_{i + 1}, y_{i + 1}), … , А_n(x_n, y_n) = В и пусть этим точкам соответствуют значения l₀ = 0 < l₁ < l₂ < … < l_i < l_{i + 1} < … < l_n = L параметра l. Обозначим длину дуги A_i A_{i + 1} через Δl_i = l_{i + 1} − l_i, а массу этой дуги через m_i = ρ·Δ l_i (смотри рисунок.). Сосредоточим массу каждой из частей A_iA_i+1 в одной какой-нибудь ее точке, например в точке A_i(x_i, y_i). При этом условии всю кривую АВ приближенно можно заменить системой материальных точек А₁, А₂, … , А_n. Тогда статический момент М_x кривой АВ приближенно равен сумме статических моментов системы материальных точек относительно оси Ох:

С другой стороны, эта сумма является интегральной суммой для функции у = ψ(l), и так как эта функция непрерывна на [0, L], то предел этой интегральной суммы при

существует и равен определенному интегралу от функции у = ψ(l) по промежутку [0, L]. Следовательно,

Аналогично найдем

Поскольку масса всей кривой m = ρ·L, по определению центра тяжести получаем

В частном случае, когда кривая АВ задана уравнением y = f (x), а ≤ х ≤ b и дифференциал дуги равен

, координаты центра тяжести кривой АВ вычисляют по формулам

Первая теорема Гульдена

Площадь поверхности тела, полученного вращением дуги плоской кривой вокруг некоторой не пересекающей ее оси, которая расположена в ее плоскости, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной при этом вращении центром тяжести кривой.
Из формулы для y_c следует, что

, откуда, умножив обе части равенства на 2π, получаем

Правая часть последнего равенства представляет собой площадь поверхности, полученной вращением кривой АВ вокруг оси Ох, а выражение 2·π·у_с в левой части — длину окружности радиуса у_с.

Площадь боковой поверхности конуса

Решение. Конус (смотри рисунок.) можно представить как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Пусть данный конус получен вращением прямоугольного треугольника с гипотенузой L и катетом R вокруг другого катета. Введем систему координат так, чтобы ось вращения была осью абсцисс. Очевидно, что центр тяжести отрезка находится в его середине. Поэтому центр тяжести образующей конуса — гипотенузы прямоугольного треугольника – описывает окружность радиуса R/2. Применяя первую теорему Гульдена, получаем площадь S боковой поверхности конуса: S = L·2·π·R/2 = π·R·L.

Координаты центра тяжести полуокружности

Координаты центра тяжести полуокружности радиуса R с центром в начале координат, лежащей в верхней полуплоскости при условии, что ρ = 1.
Р е ш е н и е. Поскольку полуокружность расположена симметрично относительно прямой х = 0 (смотри рисунок.), центр тяжести дуги лежит на этой прямой и х_c = 0. Площадь S боковой поверхности тела, полученного вращением полуокружности длины L = π·R вокруг оси Ох, равна 4·πR². Применяя первую теорему Гульдена, получаем 2·π·y_c·π·R = 4·π·R², откуда находим y_c = 2·R/π.

Центр тяжести криволинейной трапеции

Аналогично понятию центра тяжести кривой вводится понятие центра тяжести криволинейной трапеции y = f( x), а ≤ х ≤ b, Заменим каждую элементарную трапецию прямоугольником с основанием, равным Δ x_i = x _i – x _{i - 1}, и высотой, равной f(ξ _i ), где ξ _i — средняя точка [x _{i- 1}, x _i ]. Тогда масса прямоугольника m _i = ρ ·f (ξ _i )·Δx_i = f (ξ _i )·Δx_i (ρ = 1) равна площади i - го прямоугольника .
Будем предполагать, что:

функция y = f ( x), а ≤ х ≤ b, непрерывна на отрезке [а, b];
по этой трапеции равномерно распределены массы так, что их поверхностная плотность ρ (масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна, и для простоты положим ее равной единице. Тогда масса любой части трапеции будет измеряться ее площадью.

Определим статические моменты этой трапеции относительно осей Ох и Оу и ее центр тяжести. Для этого разобьем отрезок [а, b] на n частей точками

, а криволинейную трапецию прямыми x = x_i на n соответствующих частей. Из механики известно, что центр тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей и, следовательно, координаты центра тяжести i - го прямоугольника равны соответственно ξ _i и f (ξ _i ) / 2. Сосредоточим массу каждого i - го прямоугольника в его центре (смотри рисунок.). Тогда вся трапеция приближенно заменится системой материальных точек: С₁, С₂, … , С_i, … , С_n (i - х центров тяжести прямоугольников). Статические моменты i - го прямоугольника относительно осей Ох и Оу соответственно равны

, f (ξ_i)·Δ x_i·ξ_i cтатические моменты М_x и М_y данной трапеции приближенно равны суммам статических моментов всех прямоугольников относительно осей Ох и Оу:

Эти суммы являются интегральными суммами, а так как функции f ² (x), и х·f (x) непрерывны на [ а, b], то пределы этих сумм при

существуют и равны определенным интегралам

Так как масса всей трапеции равна

где S – площадь всей трапеции, то для нахождения координат центра тяжести трапеции, согласно определению центра тяжести, следует значения статических моментов М_x и М_y разделить на площадь всей трапеции:

Вторая теорема Гульдена

Объем тела вращения криволинейной трапеции вокруг не пересекающей ее оси, расположенной в этой же плоскости, равен произведению площади этой трапеции на длину окружности, описанной при этом вращении центром тяжести трапеции.
Доказательство. Из формулы центра тяжести кривой имеем

Так как 2·π·y_c - длина окружности радиуса y_c, полученной в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси Ох, а правая часть есть объём тела вращения, то справедливость второй теоремы Гульдена доказана.

Центр тяжести одной арки циклоиды

Найти центр тяжести одной арки циклоиды

при условии, что ρ = 1.
Решение. Объем тела, полученного в результате вращения одной арки циклоиды вокруг оси Ох, равен

Площадь одной арки циклоиды равна S = 3·πa². Пусть y_c — ордината центра тяжести. Согласно второй теореме Гульдена, 2·π·y_c·S = V, откуда y_c = 5·a/ 6.
Из симметрии одной арки циклоиды относительно прямой х = π·a следует, что абсцисса центра тяжести х_с = π·a.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка перемещения под действием силы F, которая направлена вдоль оси Ох, имеет переменную величину, которая непрерывно зависит от х. Требуется определить работу А, совершаемую силой F, по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b ( а < b). Функция F(х) предполагается непрерывной на отрезке [ а, b].
Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками а = х₀ < x₁ < x₂ < … < x_n= b. Выберем на каждом частичном отрезке [x _{i - 1}, x_i] точку ξ _i. Сила, действующая на материальную точку на отрезке [x _{i - 1}, x _i], изменяется от точки к точке. Но если длина отрезка мала, то значение силы в точках отрезка [x _{i - 1}, x_i] мало отличается от ее значения в любой точке ξ _i Î [x_{i - 1}, x_i], так как F (x) непрерывна. Поэтому работу А _i, совершаемую силой F на [x_{i - 1}, x_i] можно считать приближенно равной работе совершаемой на том же отрезке постоянной силой F(ξ _i ), т. е.

A_i ≈ F (ξ_i) Δx_i.

Рассуждая аналогично для каждого отрезка разбиения, получаем приближенное значение работы А силы F на всем отрезке:

С другой стороны, сумма в правой части равенства является интегральной суммой для функции F (x). Так как функция F (x ) непрерывна на отрезке [a, b], то предел этой суммы при

существует и равен определенному интегралу от функции F (x ) по отрезку [a, b]. Таким образом,

Пример 2. Определить работу А, необходимую для запуска тела массой m с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h.
Решение. Обозначим через F силу притяжения тела Землей, m_З — масса Земли. Согласно закону Ньютона,

где х — расстояние от тела до центра Земли. Полагая G·m·m_з = k, получаем F(x) = k/ x², R ≤ x ≤ h + R, где R — радиус Земли. При x = R сила F(R) равна весу тела P = m·g, т. е.

, откуда k = P·R² и

. Таким образом, получаем

Вопросы для самопроверки

По каким формулам вычисляется площадь поверхности вращения: а) в прямоугольных координатах; б) в случае параметрического задания кривой; в) в полярных координатах?
С помощью какой формулы вычисляется: а) объем тела с известными поперечными сечениями; б) объем тела вращения?
Дайте определение статических моментов системы материальных точек относительно координатных осей?
Дайте определение центра тяжести системы материальных точек?
По каким формулам вычисляется центр тяжести кривой: а) заданной параметрически; б) в прямоугольных координатах?
Сформулируйте первую теорему Гульдена.
По каким формулам вычисляется центр тяжести криволинейной трапеции?
Сформулируйте вторую теорему Гульдена.
Сформулируйте общий метод решения задач с помощью определенного интеграла.