int_lek1

ЛЕКЦИЯ 1

К СОДЕРЖАНИЮ

Первообразная функция и неопределённый интеграл.
Свойства неопределенных интегралов.
Таблица неопределённых интегралов.
Непосредственное интегрирование.
Интегрирование в пакете MAPLE.
Вопросы для самопроверки.

Первообразная функция и неопределенный интеграл

   Функция F(x) называется первообразной для функции f (x), если F ' (x) = f (x) или d F(x) = f (x)·d x.
   Теорема. Если F₁(х) и F₂ (x) – первообразные для функции f (x), то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
   Доказательство вытекает из очевидных соотношений Ф ' (х) = [ F₁(х)– F₂(х) ] '= F ' ₁ (х) - F ' ₂ (х) = f (х) – f (х) = 0, поскольку F₁ (х) и F₂(х) являются первообразными для одной и той же функции f (x) и поэтому F ' ₁(x) = f (x) и F ' ₂(x) = f (x). Итак, Ф '(x) = 0 во всех точках некоторого отрезка, поэтому Ф (х) постоянна на этом отрезке: Ф (х) º С или F₁(х) = F₂(х) + C.
   Если F( x) есть первообразная для функции f (x), то все первообразные этой функции имеют вид F(х) + C и этот вид называется общим выражением первообразной.
   Первообразная имеет простой геометрический смысл - первообразная есть функция, которая имеет заданный закон f (х) изменения тангенса угла наклона касательной к графику функции F(x).
   Неопределенным интегралом функции f (x) называется общее выражение её первообразной

. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, выражение f (x) d x называется подынтегральным выражением, переменная х называется аргументом интегрирования.
Геометрически неопределённый интеграл представляет собой семейство графиков первообразных, получающихся друг из друга параллельным сдвигом вдоль ось ординат.

Свойства неопределенных интегралов

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал — подынтегральному выражению.
Действительно . По определению дифференциала имеем .
Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого, т. е. . Доказательство. Так как дифференциал функции связан с производной этой функции соотношением d f (x) = f ' (x)·d x, то . Учитывая свойство 1, получим f '(x) = f '(x), т. е. производные левой и правой частей выражения совпадают. Так как неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянного слагаемого, то тем самым справедливость равенства свойства 2 доказана.
Свойства 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование функций являются взаимно обратными операциями.
Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. . Продифференцируем левую и правую части этого соотношения. Опираясь на свойство 1, запишем производную левой части . (1.1) Опираясь на свойство 1 и линейное свойство производной (постоянный множитель можно выносить за знак производной), получим . (1.2) Производные левой и правой частей равенств (1.1) и (1.2) совпадают, значит, левая и правая части выражения отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Что и требовалось доказать.
Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций, т.е. .

Свойства третье (свойство однородности) и четвёртое (аддитивное свойство неопределённого интеграла по подынтегральной функции) составляют линейное свойство неопределённого интеграла.
Доказательство. Достаточно показать совпадение производных левой и правой частей этого равенства. Согласно свойству 1, имеем

. Далее, применяя правило дифференцирования алгебраической суммы функций, а затем свойство 1, находим

Что и требовалось доказать.

Таблица неопределенных интегралов

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными.

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

Справедливость этих формул проверяется непосредственной проверкой определения неопределённого интеграла, т. е. дифференцированием. Например, для первой формулы имеем

. Далее для второй формулы, если х > 0, то ln | x | = ln x и производная равна ( ln | x | + C )' = ( ln x + C )' = 1/x. Если же х < 0, то ln | x | = ln (- x) и производная правой части равна ( ln | x | + C )' = ( ln ( - x ) + C )' = 1/(-x)·(- x)' = 1/x. Следовательно, формула 2 справедлива при положительных и отрицательных значениях х. Аналогично проверяются остальные формулы.

Непосредственное интегрирование

Интегрирование функций сводится к применению табличных интегралов. Но это не означает, что проинтегрировать можно только функции, указанные в таблице. Непосредственное интегрирование состоит в умении с помощью свойств алгебры и тригонометрии преобразовать подынтегральное выражение к табличным интегралам. Например, вычислим интеграл

. Такого интеграла в таблице нет, но разложим полный квадрат числителя и почтенно разделим на знаменатель

. Воспользуемся далее аддитивным свойством неопределённого интеграла по подынтегральной функции и окончательно найдём неопределённый интеграл

Вычисление неопределённого интеграла с помощью математического пакета MAPLE

> with(student):Int(arcsin(x),x)=int(arcsin(x),x)+C;

Вопросы для самопроверки

Какая функция называется первообразной для данной функции?
Приведите примеры первообразных для некоторых функций.
В чём состоит действие неопределённого интегрирования?
Как связаны между собой функция и её первообразная?
Дайте определение неопределённого интеграла.
Что представляет собой неопределённый интеграл с геометрической точки зрения?
Почему при интегрировании появляется произвольная постоянная?
Что представляют по отношению друг к другу действия неопределённого интегрирования и дифференцирования?
Перечислите свойства неопределённого интеграла.
Перечислите табличные интегралы.
Докажите формулы таблицы основных неопределённых интегралов.
Каким образом на основе таблицы производных составляется таблица основных интегралов?
В чём состоит метод непосредственного интегрирования?
Как найти неопределённый интеграл с помощью математического пакета MAPLE?