ВВЕРХ
- Интегрирование подстановкой (первый вариант).
- Интегрирование подстановкой (второй вариант).
- Интегрирование по частям.
- Обобщённая формула интегрирования по частям.
- Интегрирование по частям в пакете MAPLE
- Замена переменных в пакете MAPLE
- Вопросы для самопроверки.
Интегрирование подстановкой (первый вариант)
В том случае подынтегральную функцию следует представить в виде
f (x) = g (ω (x))·ω'(x),
тогда
Функция ω (х) является монотонной, непрерывной и имеет непрерывную производную. Появление производной ω' (х) в подынтегральной функции позволяет привести подынтегральную функцию к более простому виду относительно нового аргумента.
Метод основан на введении множителя под знак дифференциала в соответствии со связью дифференциала функции и её производной.
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение.
Пример 2. Вычислить интеграл
.
Решение.
Пример 3. Вычислить интеграл
.
Решение.
.
Пример 4. Вычислить интеграл
.
Решение.
.
Пример 5. Вычислить интеграл
.
Решение.
Интегрирование подстановкой (второй вариант)
Если известно, что
,
то
,
или
,
где ω (х) является монотонной, непрерывной и имеет непрерывную производную.
Это правило вытекает из правила дифференцирования сложной функции
.
Замечания.
- – Для обоснования метода можно применить инвариантность дифференциала первого порядка.
- – Этот метод основан на вынесении множителя из-под знака дифференциала.
Пример 6. Вычислить интеграл
.
Решение.
Пример 7. Вычислить интеграл
.
Решение.
Пример 8. Вычислить интеграл
.
Решение.
Замечание. При вычислении интеграла использованы следующие преобразования. Так как
 | и |  |
, |
|---|
то из соотношения
следует квадратное уравнение
,
допустимым решением которого будет
.
Логарифмируя это соотношение, получим
.
Так как неопределённый интеграл находится с точностью до произвольного слагаемого, то получим окончательно
.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям является методом преобразования интеграла специального вида в другой интеграл
.
Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем
d(u·v) = v·d u + u·d v.
Проинтегрируем обе части этого соотношения
,
откуда
,
Учитывая связь дифференциала с производной, окончательно получим
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Обобщённая формула интегрирования по частям
Многократное применение вышеприведённой формулы интегрирования по частям к интегралу вида
приводит к обобщённой формуле интегрирования по частям
Для облегчения выполнения интегрирования по частям рекомендуется заполнение таблицы по следующему правилу
| + | — | + | … | (-1)n | (-1)n+1 |
| u | u ' | u '' | … | u (n) | u (n+1) |
| v (n) | v (n-1) | v (n-2) | … | v | |
Умножая элементы в столбцах с учётом вышестоящих знаков, получим слагаемые вне знака интеграла. Конечное интегральное слагаемое формируется с учётом знака, конечного элемента второй строчки таблицы и предпоследнего элемента третей строчки таблицы. При заполнении таблицы множитель во второй строке дифференцируется, а в третей — интегрируется. Возможности применения формулы интегрирования по частям связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).
Пример 9. Вычислить интеграл
.
Решение. Составим таблицу
| + | – | + | – | + |
| x3 + 2 x | 3 x2 + 2 | 6 x | 6 | 0 |
 |  |  |  | |
Составляя суммы произведений выражений по столбцам с учетом вышестоящих знаков, получим
Следует отметить, что в подобных случаях применение обобщённой формулы интегрирования по частям непосредственно приводит к ответу.
Пример 10. Вычислить интеграл
.
Решение.
| + | – |
| ln x |  |
 | |
В данном примере следует довольствоваться "избавлением" от логарифма.
В данном примере мы не получили сразу искомый результат, мы, воспользовавшись методом интегрирования по частям перешли к другому интегралу.
Анализируя разобранные примеры, можно указать следующие типы интегралов, для которых использование преобразования интегрирования по частям приводит к конечному результату
а в некоторых случаях для интегралов
к более простым интегралам, где α, m - действительные числа, n , k - натуральные числа.
Интегрирование по частям в пакете MAPLE
>with(student):g:=(x)->cos(4*x):f:=(x)->3-2*x:intparts(Int(g(x)*f(x), x), f(x))=collect(intparts(int(g(x)*f(x), x), f(x)),sin(4*x))+C;#интегрирование по частям
Замена переменных в пакете MAPLE
>with(student):f:=(x)->(((arcsin(x))^2+1)/sqrt(1-x^2));#Вводим подинтегральную функцию
>int(f(x),x)+C;#Конечный результат
>f1:=expand(f(x));#Делим почленно
>Int(op(1,f1),x)+Int(op(2,f1),x);#Воспользуемся линейным свойством интеграла
>s1:=Int(op(1,f1), x)=changevar(arcsin(x)=u,Int(op(1,f1), x), u);#В первом интеграле, сделав замену переменной,придём к табличному интегралу
>s2:=Int(op(2,f1),x);#Второй интеграл является табличным
>r1:=rhs(s1)=changevar(arcsin(x)=u,int(op(1,f1), x), u);
>r2:=Int(op(2,f1),x)=int(op(2,f1),x);
>r:=rhs(r1)+rhs(r2)+C;# В полученном результате ещё надо вернуться к старой переменной
>result:=subs(u=arcsin(x),r);# Результат вычисления
Вопросы для самопроверки
- Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле в первом и во втором случае. При каких условиях применяется эта формула?
- Напишите формулу интегрирования по частям. Докажите эту формулу?
- Какие интегралы вычисляются непосредственно интегрированием по частям?