К разделу
ЛЕКЦИЯ 3К СОДЕРЖАНИЮ

  1. Возвратные интегралы.
  2. Рекуррентные интегралы вида .
  3. Рекуррентные интегралы вида .
  4. Рекуррентные интегралы вида .
  5. Вопросы для самопроверки

Возвратные интегралы

 Если при применении интегрирования по частям преобразования приводят опять к первоначальному интегралу, то полученное в результате преобразования выражение следует рассматривать как уравнение относительно первоначального интеграла.
 Пример 1. Вычислить интеграл .
 Решение. Составим таблицу интегрирования по частям
+–+
 
Применение процедуры интегрирования по частям приводит к соотношению
.
Рассматривая последнее соотношение как уравнение относительно J1, получим
,
откуда окончательно имеем
.
 Пример 2. Вычислить интеграл .
 Решение. Составим таблицу интегрирования по частям
+–+
 
Применение процедуры интегрирования по частям приводит к соотношению
.
Рассматривая последнее соотношение как уравнение относительно J2, получим
,
откуда окончательно имеем
,
 Замечание. Интегралы J1 и J1 можно вычислить ещё и так
 Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Из этого утверждения следуют искомые выражения для рассматриваемых интегралов.
 Пример 3. Вычислить интеграл .
 Решение. Составим таблицу интегрирования по частям

+–
х 
Применение процедуры интегрирования по частям приводит к соотношению
откуда имеем
.
 Пример 4. Аналогично вычисляется интеграл .
 Решение. Составим таблицу интегрирования по частям

+–
х 
Применение процедуры интегрирования по частям приводит к соотношению
откуда имеем
.

Рекуррентные интегралы

 Рекуррентным соотношением называется закономерность, связывающая объект более высокого порядка с объектом меньшего порядка. Рассмотрим вычисление интеграла вида .
 Решение. Составим таблицу интегрирования по частям

+–
sin x 
Применение процедуры интегрирования по частям приводит к соотношению
Разрешая последнее соотношение относительно Jn, получим рекуррентное соотношение
.
В этом случае интегрирование сводится к интегралам J0 = x, J1 = sin x.
  Пример 5. Вычислить интеграл .
Р е ш е н и е.
 Рассмотрим вычисление интеграла вида .
Составим таблицу интегрирования по частям

+–
- cos x 
Применение процедуры интегрирования по частям приводит к соотношению
Разрешая последнее соотношение относительно Jn, получим рекуррентное соотношение
.
В этом случае интегрирование сводится к интегралам J0 = x, J1 = − cosx.
  Пример 6. Вычислить интеграл .
  Выведем ещё одну рекуррентную формулу для интеграла .
 Составим таблицу интегрирования по частям

+–
х 
Применение процедуры интегрирования по частям приводит к соотношению
Откуда имеем
или
.
  Пример 7. Вычислить интеграл .
 Для вычисления воспользуемся вышеприведённым рекуррентным соотношением для а2 = 3 и n = 2.
.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется рекуррентным соотношением?
  2. Выведите формулы для вычисления некоторых возвратных интегралов.
  3. Выведите некоторые рекуррентные соотношения для рассмотренных интегралов.
  4. Какой метод интегрирования применяется при вычислении возвратных интегралов и выводе рекуррентных соотношений для вышеприведённых интегралов?