К разделу
ЛЕКЦИЯ 4 К СОДЕРЖАНИЮ

  1. Рациональная дробь.
  2. Неправильная рациональная дробь.
  3. Виды простейших рациональных дробей.
  4. Интегрирование простейшей дроби А.
  5. Интегрирование простейшей дроби В.
  6. Интегрирование простейшей дроби С.
  7. Интегрирование простейшей дроби D.
  8. Вопросы для самопроверки.

Рациональная дробь

   Дробь вида , где Pn(x) и Qm(x)  являются многочленами степени n и m, называется рациональной.
    Если показатель степени числителя больше показателя степени знаменателя, то дробь называется неправильной, в противном случае — правильной. Делением многочлена на многочлен из неправильной рациональной дроби можно выделить целую рациональную часть. Например,

   Поэтому
.

Виды простейших рациональных дробей

   Простейшими рациональными дробями будем называть дроби вида
А) ,B) ,C) ,D) .

Интегрирование простейшей дроби А

Интегрирование простейшей дроби А приводит к логарифму.

Интегрирование простейшей дроби B

Интегрирование простейшей дроби В приводит к степени.

Интегрирование простейшей дроби C

   Выделим в числителе производную знаменателя и воспользуемся линейным свойством неопределённого интеграла
Как видно из вышесказанного, интегрирование сводится к вычислению двух интегралов:
и .
Для первого интеграла вводим промежуточный аргумент интегрирования и приходим к логарифму
Для второго интеграла из квадратичного трёхчлена необходимо выделить полный квадрат:
Второй интеграл преобразуется к виду
,
где
,
знак выбирается в зависимости от знака дискриминанта. Если дискриминант отрицателен, то имеем далее
Если же дискриминант положителен, то в этом случае имеем
.
Интегрирование рациональной дроби этого типа приводит к логарифму и арктангенсу, если дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен. Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то интегрирование рациональной дроби этого типа приводит к логарифмам.

Интегрирование простейшей дроби D

   Выделим в числителе производную знаменателя и воспользуемся линейным свойством неопределённого интеграла
Как видно из вышесказанного, интегрирование сводится к вычислению двух интегралов:
и .
Первый интеграл путём введения промежуточного аргумента интегрирования приводит к степени
Второй интеграл преобразуется к виду
где
,
знак выбирается в зависимости от знака дискриминанта. Если дискриминант отрицателен, то далее интегрирование сводится к применению рекуррентной формулы для интеграла
.
Если дискриминант положителен, то интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей второго типа.

Вопросы для самопроверки

  1. Какое дробно рациональное выражение называется неправильным?
  2. Как выделить целую часть в дробно рациональном выражении?
  3. Какой вид имеют основные типы простейших рациональных дробей?
  4. Как интегрируется каждая простейшая рациональная дробь?