К разделу
ЛЕКЦИЯ 5 К СОДЕРЖАНИЮ

  1. Теорема Безу.
  2. Основная теорема алгебры.
  3. Теорема о разложении многочлена на линейные множители.
  4. Кратные корни многочлена.
  5. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней.
  6. Разложение правильных дробей на простейшие для действительных корней.
  7. Разложение правильных дробей на простейшие в случае квадратичного множителя в знаменателе.
  8. Пример интегрирования рациональной дроби (корни знаменателя действительны и различны).
  9. Пример интегрирования рациональной дроби (корни знаменателя действительные и кратные).
  10. Пример интегрирования рациональной дроби (корни комплексные не кратные).
  11. Применение пакета MAPLE к интегрированию рациональных дробей.
  12. Вопросы для самопроверки.

Теорема Безу

   При делении многочлена f (x) = A0xn + A1xn-1 + … + An на разность х – а получается остаток, равный f (а).
   Доказательство. При делении f (x) на х – а частным будет многочлен f1(x), степень которого будет на единицу ниже степени многочлена f (x) и остаток, который будет постоянным числом: f (x) = (х – а )·f1(x) + R. Переходя к пределу в левой и правой части этого равенства при х → а, получим R = f(а).
    Если х = а — корень многочлена, то f (а) = 0 и многочлен f (x) нацело делится на разность х – а и многочлен представляется в виде
f (x) = ( х – а )·f1 (x),
где f1 (x) — многочлен.

Основная теорема алгебры

   Всякая целая рациональная функция f (x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.

Теорема о разложении многочлена на линейные множители

   Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида х – а и множитель, равный коэффициенту при старшей степени xn.
   Доказательство. Пусть f (x) = A0xn + A1xn - 1 + … + An — многочлен n – ой степени. Этот многочлен в силу основной теоремы алгебры имеет один корень а1. Тогда из следствия теоремы Безу будем иметь f (x) = (х – а1)·f1 (x), где f1 (x) — многочлен степени n - 1. Многочлен f1 (x) тоже имеет корень а2.
   Тогда f1 (x) = (х – а2 )·f2 (x), где f 2 (x) — многочлен степени n – 2. Аналогично f2 (x) = (х – а3)·f3 (x). Продолжая процесс выделения линейных множителей, дойдём до соотношения fn(x) = (х – а n )·fn, где fn — число (многочлен нулевой степени), и это число равно коэффициенту при хn, то есть fn = А0. На основании всех этих равенств можно записать
f (x) = А0·( х – а 1)·( х – а2)· … ·( х – аn).

Кратные корни многочлена

   Если в разложении многочлена n – ой степени на линейные множители f (x) = А0·( х – а 1) ·( х – а 2)·…·( х – аn), некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид
.
При этом k1 + k2 + … + km = n. В этом случае корень а1 называется корнем кратности k1, корень а2 называется корнем кратности k2, и так далее.
   Если многочлен имеет корень а кратности k, то будем считать, что многочлен имеет k одинаковых корней. Всякий многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней

   Если многочлен f (x) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + i·b , то он имеет и сопряжённый корень a - i ·b. В разложении f (x) = А0 ·( х – а 1) ·( х – а 2)· …·( х – аn) комплексные корни входят попарно сопряжёнными парами. Перемножив линейные множители, соответствующие паре сопряжённых корней, получим трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами
[x − (a + ib)]·[x + (a + ib)] = [(x − a) − ib]·[(x − a) + ib] = (x − a)2 + b2 = x2 − 2 ax + a2 + b2 = x2 + px + q
где р = – 2·а, q = а ² + b ² — действительные числа. Если число a+ i·b является корнем кратности k, то сопряжённое число a - i ·b должно являться корнем той же кратности k. Так что наряду с линейным множителем х - (a + i·b) в разложение многочлена входят столько же линейных множителей вида х - (a - i·b).
   Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители вида
При этом k1 + k2 + … + 2s1 + … + 2sm = n.

Разложение правильных дробей на простые дроби для действительных корней

   Рассмотрим какой – нибудь множитель ( х – а) кратности k, входящий в разложение знаменателя
Qn (x) = (x − a)k·Q1(x)
дроби
,
( n > m), где Q1(x) уже на (х – а) не делится. Тогда данная правильная дробь
может быть представлена в виде суммы правильных дробей
.
Для доказательства этого достаточно подобрать число А и многочлен Р1(х) так, чтобы выполнялось тождество
Pm(x) − Ak·Q1( x ) = ( x − a)·P1(x).
В этом случае левая часть этого равенства имеет корень, равный х = а и поэтому
.
Из оставшейся части
выделим простую дробь
и т. д., пока множитель (х - а) вовсе не исчезнет из разложения знаменателя. Таким образом, в рассматриваемом случае множителю (х - а) k будет отвечать группа из k простых дробей
.
Такое же рассуждение поочерёдно применяется к каждому из оставшихся линейных множителей, пока в знаменателе не останется линейных множителей или в его разложении останутся лишь квадратичные множители.

Разложение правильных дробей на простейшие в случае квадратичного множителя в знаменателе

   Пусть знаменатель правильной рациональной дроби имеет комплексный корень. Так как сопряжённый корень тоже является корнем знаменателя, то знаменатель можно представить в виде
Q (x) = (x2 + px + q)m·Q1(x),
где Q1(x) уже не делится на x2 + p·x + q. Тогда правильная дробь
может быть представлена в виде суммы правильных дробей
.
Для доказательства достаточно подобрать M и N и многочлен Р1(х) так, чтобы имело место тождество
P (x) − (Mx + N)·Q1 (x) = (x2 + px + q)m·P1(x).
Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение
P(x) − (M·x + N)·Q1(x) = 0
имело корни a ±i·b , что и многочлен x2 + p·x + q. Следовательно,
P(a + ib) − (M·(a + ib) + N)·Q1(a + ib) = 0
или
.
Отсюда
или
.
При этих значениях M и N многочлен P(x) - (M·x + N)·Q1(x) имеет корни a ± i·b и без остатка разделится на х – (a + i·b) и на х – (a - i·b), и следовательно, на многочлен x2 + p·x + q. Степень многочлена Р1(х) меньше степени знаменателя, поэтому можно продолжить дальнейшее разложение. Применяя к правильной рациональной дроби результаты пунктов 6 и 7 данной лекции, можно выделить последовательно все простейшие дроби, соответствующие всем корням знаменателя. Таким образом, если знаменатель правильной рациональной дроби можно разложить на множители
,
то дробь  можно представить в виде
Коэффициенты А1, А2,… ,В1, В2, …можно определить из следующих соображений. Написанное равенство есть тождество. Приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения этих неизвестных коэффициентов А1, А2,…, В1, В2, …. Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределённых коэффициентов.

Пример интегрирования рациональной дроби
(корни знаменателя действительны и различны)

   Найти неопределённый интеграл
.
   Решение. Подынтегральное выражение разложим на простейшие рациональные дроби
.
Используя выводы доказанных выше теорем, найдём значения неопределённых коэффициентов
, , .
Таким образом, подынтегральное выражение в представлении простейших рациональных дробей будет иметь вид
.
И окончательно

Пример интегрирования рациональной дроби
(корни знаменателя действительные и кратные)

    Найти неопределённый интеграл
.
   Р е ш е н и е. Подынтегральную функцию разложим на простейшие
.
Если дроби, стоящие в правой части, привести к общему знаменателю, то знаменатели дробей в правой и левой частях будут совпадать, значит, будут совпадать и их числители:
x3 + 6x2 + 13x + 6 = A·(x + 2)3 + B·(x − 2) + C·(x − 2)·(x + 2) + D·(x − 2)·(x + 2)2.
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях х будут совпадать. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений
Коэффициенты А и В можно найти не решая систему:
, .
Из уравнений системы далее имеем D = 0, C = 0. Таким образом, подынтегральная функция имеет разложение
и в этом случае
.

Пример интегрирования рациональной дроби (корни комплексные не кратные)

   Найти неопределённый интеграл
.
   Решение. Подынтегральную функцию разложим на простейшие
.
Если дроби, стоящие в правой части, привести к общему знаменателю, то знаменатели дробей в правой и левой частях будут совпадать, значит, будут совпадать и их числители:
2x3 + 3x2 + 3x + 2 = (Ax + B)·(x2 + 1) + (Cx + D)·(x2 + x + 1).
Раскроем скобки в правой части этого равенства и сгруппируем величины по степеням:
2x3 + 3x2 + 3x + 2 = (A + C)·x3 + (B + С + D ) x2 + (A + C + D) x + (B + D ).
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях х будут совпадать. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений
Решением этой системы является A = B = C = D = 1. Таким образом, подынтегральная функция имеет разложение вида
.
Окончательно, в этом случае имеем

Применение пакета MAPLE к интегрированию рациональных дробей

>restart:
>f:=(x)->(-40*x-8)/(x*(x+4)*(x-2));
>convert(f(x),parfrac,x);

Вопросы для самопроверки

  1. Как рациональную дробь разложить на элементарные дроби?
  2. Что называется методом неопределенных коэффициентов?
  3. К каким функциям приводит интегрирование рациональных дробей?
  4. Приведите примеры элементарных функций, первообразные от которых не выражаются через элементарные функции.