К разделу
ЛЕКЦИЯ 6 К СОДЕРЖАНИЮ

  1. Универсальная тригонометрическая подстановка.
  2. Вычисление интеграла вида
  3. Вычисление интеграла вида
  4. Вычисление интеграла вида
  5. Вычисление интеграла вида , где sin x и cos x входят в чётных степенях.
  6. Интегрирование иррациональности вида
  7. Интегрирование иррациональности вида
  8. Интегрирование иррациональности вида
  9. Вычисление интеграла вида
  10. Вычисление интеграла вида
  11. Вычисление интеграла вида , где
  12. Вопросы для самопроверки.

Универсальная тригонометрическая подстановка

   Рассмотрим интеграл вида
.                        (6.1)
С помощью подстановки
интеграл (6.1) сводится к интегралу от рациональной функции. Действительно,
, .
И так как
x = 2·arctg t, .
то sinx, cosx, dx выражаются рационально через t и dt. Так как рациональная функция от рациональных функций есть рациональная функция, то, подставляя полученные выражения в интеграл (6.1), получим интеграл от рациональной функции
.
   Пример 1. Вычислить интеграл
.
   Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку
.
Рассмотренная подстановка даёт возможность вычислять интегралы вида
,
однако, на практике эта подстановка часто приводит к интегрированию слишком сложных рациональных рациональнх функций. Поэтому наряду с универсальной тригонометрической подстановкой полезно знать и другие подстановки, которые в некоторых случаях приводят быстрее к цели.

Вычисление интеграла вида

Вычисление интеграла вида

   Пример 2. Вычислить интеграл
.
   Решение.
.

Вычисление интеграла вида .

.

Вычисление интеграла , где sin x и cos x входят в чётных степенях

   Пример 3. Вычислить интеграл .
   Решение.
   Пример 4. Вычислить интеграл .
   Решение.

Интегрирование иррациональности вида

   Пример 5. Вычислить интеграл .
   Решение.

Интегрирование иррациональности вида

   Пример 6. Вычислить интеграл . Решение.
   Замечание. Такого типа интегралы можно было бы вычислить, воспользовавшись заменой x = a·tg x.

Интегрирование иррациональности вида

   Пример 7. Вычислить интеграл .
   Решение.
   Замечание. Такого типа интегралы можно было бы вычислить, воспользовавшись заменой .

Вычисление интеграла вида

.
   Пример 8. Вычислить интеграл .
   Решение.

Вычисление интеграла вида

   Пример 9. Вычислить интеграл .
   Решение.

Вычисление интеграла вида , где , и где a, b,c, d — постоянные числа, a·d - b·c ≠ 0, ni, mi — натуральные числа, i = 1, 2, …, n

    Пример 10. Вычислить интеграл .
   Решение. Сделаем подстановку
.
Из этого соотношения найдём
,
а затем
.
В результаты такой замены интеграл примет вид
,
или окончательно
,

Вопросы для самопроверки

  1. Вычислить интеграл .
  2. Вычислить интеграл .
  3. Вычислить интеграл .