К разделу
ЛЕКЦИЯ 7 К СОДЕРЖАНИЮ

  1. Задача о площади криволинейной трапеции.
  2. Вычисление объёма конуса.
  3. Понятие интегральной суммы.
  4. Геометрический смысл интегральной суммы.
  5. Определение определённого интеграла.
  6. Формула Ньютона – Лейбница.
  7. Необходимое условие интегрируемости.
  8. Суммы Дарбу.
  9. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.
  10. Интегрируемость непрерывных функций.
  11. Свойства определённых интегралов.
  12. Сохранение знака неравенства при интегрировании.
  13. Теорема о среднем.
  14. Непрерывность определённого интеграла как функция верхнего предела.
  15. Производная от интеграла с переменным верхним пределом.
  16. Замена переменной в определённом интеграле.
  17. Примеры.
  18. Примеры применения пакета MAPLE
  19. Вопросы для самопроверки.

Задача о площади криволинейной трапеции

         Вычислить площадь, ограниченную осью абсцисс, графиком функции y = a·x2 на интервале [0, х].
   Разобьём отрезок [0, х] на n одинаковых отрезков длиной : .
Вычислим значения функции в точках деления:
, , …
Площадь ступенчатой фигуры определится соотношением
При увеличении n площади ступенчатых фигур будут образовывать убывающую ограниченную последовательность и поэтому эта последовательность должна иметь предел. Пределом площадей ступенчатых фигур при этих условиях будет
.
 Замечание. Докажем, что
.
   Распишем очевидное соотношение (k + 1)3 - k3 = 3·k2 + 3·k + 1 для последовательных значений k:

23 - 13 = 3·12 + 3·1 + 1,
33 - 23 = 3·22 + 3·2 + 1,
…
(n + 1) - n3 = 3·n2 + 3·n + 1

и сложим. В результате получим
,
где
, .
Откуда
Из последнего равенства следует искомое соотношение.

Вычисление объёма конуса

   Вычислить объём V конуса, высота которого равна Н, а радиус R.
   Решение. Разделим высоту конуса на n равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные основанию. В результате конус разделится на слои. при большом n эти слои будут достаточно тонкими, и можно считать, что k - й слой имеет форму цилиндра с высотой и радиусом основания , k = 1, 2, …, n, который легко найти из подобия треугольников SO1B и SOA (смотрите рисунок)    Из подобия треугольников SOA и SO1B найдём найдём отношения радиуса k - го цилиндра и радиуса основания
откуда находим радиус k - го цилиндра
Объём k - го цилиндра равно произведению его площади основания и высоты
Сложив объёмы всех n - 1 цилиндров, получим объём ступенчатого тела, вписанного в конус:
Если делить высоту конуса на большее число равных частей, то объёмы соответствующих ступенчатых тел будут принимать различные значения. Эти объёмы будут образовывать возрастающую ограниченную сверху последовательность , следовательно, эта последовательность имеет предел. Примем этот предел за объём конуса. Тогда
Получена знакомая формула для вычисления объёма конуса.

Понятие интегральной суммы

   Пусть на отрезке [а, b] задана неотрицательная функция у = f (x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x), прямыми х = a, x = b и осью абсцисс у = 0.
   При решении вышеприведённых задач наметился общий подход к решению этих задач. Введем в рассмотрение ломаную линию, которая расположена достаточно близко к кривой у = f (x) на [a, b] (см. рисунок 1). Фигура под ломаной состоит из прямоугольников, и ее площадь Sn, равная сумме площадей этих прямоугольников, может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y = f(x), то справедливо приближенное равенство S ≈ Sn. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе ломаная к исходной кривой. Поэтому в качестве искомой площади S можно взять предел площади ступенчатой фигуры Sn в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.
   Пусть на отрезке [а, b] заданна функция у = f(x). Разобьем отрезок [а, b] на n элементарных отрезков точками x0, x1,…, xn:a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b. На каждом отрезке [xi - 1, xi] разбиения выберем некоторую точку ξ i и положим Δ xi = xi - xi - 1, где i = 1, 2,…, n. Сумму вида
будем называть интегральной суммой для функции у = f(x) на [а, b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [а, b] точками x0, x1,…, xn, так и от выбора точек ξ1, ξ2, … ξn на каждом из отрезков разбиения [x i - 1, xi], i = 1, 2, …, n.

Геометрический смысл интегральной суммы

   Пусть функция у = f (x) неотрицательна на [а, b]. Отдельное слагаемое f (ξi)·Δx i интегральной суммы равно площади Si прямоугольника со сторонами f (ξ i) и Δxi, где i = 1, 2, …, n. Вся интегральная сумма равна площади Sn = S1 + S2 + … + Sn под ломанной, образованной на каждом из отрезков [xi - 1, xi] прямой f (ξ i) параллельной оси абсцисс.При стремлении max Δ xi к нулю ломаная неограниченно приближается к исходной кривой и площадь переходит в площадь под кривой. (Анимация) Учитывая сказанное, мы можем получить некоторые интегралы для площадей плоских фигур, используя известные формулы из планиметрии.
   Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка разбиения .

Определение определённого интеграла

   Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:
,
или
.
В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла
,
поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы различны: в то время как
представляет семейство функций, определённый интеграл
есть число.
   Пример. Используя определение, вычислить интеграл , где С – некоторое число.
   Решение. Разобьем отрезок [a, b] на n произвольных частей точками a = x0 < x1 < x2 < … < x i - 1 < xi < … < xn = b и составим соответствующую интегральную сумму. Так как подынтегральная функция f (x) = C постоянна, то для любого выбора промежуточных точек ξ i получим интегральную сумму вида:
.
Далее имеем:
.
Видим, что интегральная сумма для данной функции не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек ξ i и равна
C·(b - a).
Следовательно, и ее предел при
равен той же величине. Таким образом, по определению,
.

Формула Ньютона–Лейбница

   Пусть f (x) произвольная непрерывная на отрезке [a, b] функция и пусть F (x) какая-нибудь её первообразная. Разобьём отрезок [a, b] на n частей и составим разность
F ( b ) - F ( a )
значений первообразной на концах интервала [a, b]. Эта разность равна сумме разностей, составленных для каждого отрезка разбиения,
По теореме Лагранжа о "конечном приращении" имеем
,
поэтому
.
Это равенство является точным при любом разбиении отрезка [a, b], но оно справедливо лишь при определённом выборе на каждом отрезке разбиения точек
c1 < c2 < … < cn,
которые предписывается теоремой Лагранжа. Если размеры всех отрезков разбиения
[а = х0, x1], [х1, x2],…, [х n - 1, b]
будут становиться всё меньше и меньше, то сумма
будет являться суммой возрастающего числа стремящихся к нулю слагаемых. Если равенство
верно всегда, то оно верно и в пределе:
.
Полученное равенство замечательно тем, что оно справедливо не только при каком-то частном выборе точек
c1 < c2 < … < cn
по одной на отрезках деления
[а = х0, x1], [х1, x2],…, [х n - 1, b]
как это предписывается теоремой Лагранжа, но при всяком выборе точек ξ 1 < ξ 2, <… < ξ n по одной на отрезках деления [а = х0, x1], [х1, x2],…,[хn - 1, b]:
.
Последнее соотношение является замечательным правилом суммирования бесконечно малых, открытых Лейбницем и Ньютоном: для отыскания предела суммы бесконечно малых
,
когда все отрезки, на которые разбит отрезок [a, b], безгранично умаляются, необходимо выполнить два действия: Сопоставляя это правило с определением определённого интеграла, получим формулу Ньютона—Лейбница
.
При применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Необходимое условие интегрируемости функции

   Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.
   Доказательство. Предположим обратное. Допустим, что f (x) является неограниченной на отрезке [a, b]. Покажем, что в этом случае интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой за счет выбора точек ξ 1, ξ 2,…, ξ n при любом разбиении отрезка [a, b].
   Действительно, так как f (x) не ограничена на [a, b], то при любом разбиении отрезка [a, b] она обладает этим свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, например на [x0, x1]. Выберем на остальных частях отрезка точки ξ 2, ξ 3,…, ξ n произвольно и обозначим
Зададим произвольное число М > 0 и возьмем такое ξ 1 на [x0, x1], чтобы
.
Это можно сделать в силу неограниченности функции f (x) на [x0, x1]. Тогда
и ,
т.е. интегральная сумма σ по абсолютной величине может быть больше любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма σ не имеет конечного предела при λ → 0, а это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует.
   Замечание. Обратная теорема неверна, т.е. условие ограниченности функции f (x) необходимое, но не является достаточным условием интегрируемости функции. Поясним это утверждение примером. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0,1]:
Функция Дирихле, очевидно, ограниченна. Однако она не интегрируема на [0,1]. Действительно, если при любом разбиении отрезка [0,1] выбрать рациональные точки ξ i (x i - 1 ≤ ξ i ≤ x i ), то получим
,
а если взять ξ i иррациональным, то получим
.
   Таким образом, при разбиении на сколь угодно малые частичные отрезки интегральная сумма может принимать как значение, равное 0, так и значение, равное 1. Поэтому интегральная сумма σ при λ → 0 предела не имеет.
   Для существования определенного интеграла от некоторой функции f (x) последняя, помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими ее интегрируемость. Для установления этих свойств необходимо ввести понятия нижних и верхних сумм.

Суммы Дарбу

   Пусть функция f (x) ограничена на отрезке [a, b] и τ – разбиение этого отрезка точками
a = x 0 < x 1 < … < x i - 1 < x i < … < x n = b.
Обозначим через m i и M i соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функции на отрезке [ x i - 1, x i] и составим следующие суммы:
, .
Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции f (x)для данного τ – разбиения отрезка [a, b]. Из определения нижней и верхней граней следует, что
mi ≤ f ( ξi ) ≤ Mi при
вследствие чего имеем
,
т. е. любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного разбиения связаны неравенствами s ≤ σ ≤ S. Суммы Дарбу имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию f (x) на [a, b] и криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графиком функции f (x), двумя вертикальными прямыми, проведенными через точки a и b оси Ох, и осью Ох. Поскольку функция f (x) непрерывна на [a, b], она непрерывна и на [x i - 1, x i]. По второй теореме Вейерштрасса функция f(x) достигает на [x i - 1, x i] свои точные грани, и, следовательно, m i и M i — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Поэтому сумма S равна площади заштрихованной на ступенчатой фигуры, «описанной» около криволинейной трапеции, а сумма s равна площади ступенчатой фигуры, «вписанной» в данную криволинейную трапецию. (Смотри рисунок)
   Следует особо отметить, что суммы Дарбу зависят только от разбиения отрезка [a, b], в то время как интегральная сумма σ зависит еще и от выбора точек ξ i на частичных отрезках [ x i - 1, xi ]. При фиксированном разбиении отрезка [a, b] суммы s и S – некоторые числа, а сумма σ – переменная величина, так как точки ξ i произвольны.

Необходимое и достаточное условие интегрируемости

   Для того чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f (x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы .
   Это условие означает, что для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε) > 0 такое, что при λ < δ выполняется неравенство |S - s| < ε. Так как s ≤ S, то последнее неравенство равносильно неравенству S - s < ε.
   Доказательство. (Необходимость) Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], т. е. существует определенный интеграл . Это означает, что для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε) > 0 такое, что для любого разбиения τ, удовлетворяющего условию λ < δ, независимо от выбора точек ξ i выполняется неравенство
.
Зафиксируем любое такое разбиение τ. Для него можно указать такие интегральные суммы σ',σ'', что
.
Отметим, что обе интегральные суммы σ',σ''  удовлетворяют неравенству |σ - I| < ε / 4. Из соотношения следует, что S - s < ε.
   Достаточность. Пусть выполнено условие S - s < ε. Предположим, что интеграл зависит от способа разбиения и существует два его значения I* и I*. Согласно свойству s ≤ I* ≤ I* ≤ S для любых нижних и верхних сумм Дарбу, поэтому 0 ≤ I* - I* ≤ S - s, откуда следует, что 0 ≤ I* - I* < ε для любого ε > 0. Значит, I* - I*= 0, т. е. I* = I*. Полагая I = I* = I*, получаем, что для любого разбиения выполняются неравенства s ≤ I ≤ S. Если же интегральная сумма σ и суммы Дарбу s и S отвечают одному и тому же разбиению τ то, как известно, s ≤ σ ≤ S. Из вышесказанного следует, что | σ - I | ≤ S - s. По условию для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при λ < δ выполняется неравенство S - s < ε. Но тогда имеем, что | σ - I | < ε  при λ < δ, а это означает, что число I является пределом интегральной суммы σ при λ → 0, т. е. функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b]. В дальнейшем понадобится другая форма записи необходимого и достаточного условия интегрируемости. Обозначая колебанием M i - mi функции f (x) на отрезке [xi - 1, xi] через ω i, имеем
.
Так как M i ≥ m i и Δ хi > 0, то каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно, и условие существования определенного интеграла можно переписать так: для любого как угодно малого ε > 0 существует ε = δ (ε) > 0 такое, что при λ < δ.

Интегрируемость непрерывных функций

   Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.
   Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем. Выберем произвольное как угодно малое ε > 0. Согласно следствию из теоремы Кантора для положительного числа ε /(b - a) найдется δ > 0 такое, что при разбиении отрезка [a, b] на частичные отрезки [x i - 1, xi], длина которых Δ xi < δ, все колебания ωi меньше ε /(b - a). Отсюда
 при λ < δ.
   Следовательно, для непрерывной на отрезке [a, b] функции f (x) выполнено достаточное условие интегрируемости, а из него вытекает существование определенного интеграла.

Свойства определённых интегралов

  1. Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (x), осью абсцисс, и прямыми х = а, х = b.
    Ниже приведена программа для построения криволинейной трапеции в пакете MAPLE.
    >restart:with(plots):a_plot:=proc(f,a,b,am,bm)local i,n,x1,x2,y1,y2,A,d:n:=200:d:=(b-a)/n:x2:=a:for i from 1 to n do x1:=evalf(x2):y1:=evalf(f(x1)):x2:=evalf(a+i*d):y2:=evalf(f(x2)):if(y1>0)then A[i]:=polygonplot([[x1,0],[x1,y1],[x2,y2],[x2,0]], color=green,style=patchnogrid):else A[i]:=polygonplot([[x1,0],[x1,y1],[x2,y2],[x2,0]],color=red, style=patchnogrid):fi:od:display([plot(f(x),x=am..bm,color=blue,thickness=2,discont=true),seq(A[i],i=1..n)]);end:
    >f:=x->sin(x)/x:a_plot(f,-2,5,-10,10);
    (Смотри рисунок)
  2. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то значение определённого интеграла изменится на противоположное
    .
       Доказательство.
    .
  3. Если промежуток интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю
    .
  4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
    ,
    где С — некоторое число.
       Доказательство.
  5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
    ,
    Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
       Доказательство.
  6. Если промежуток интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по каждой части.
    .
       Доказательство. Пусть а < с < b и функция f (x) неотрицательна на [a, b]. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла , есть площади соответствующих криволинейных трапеций. Тогда при сделанных предположениях имеем равенство между площадями S = S 1 + S 2.
    (Смотри рисунок)
  7. Если на отрезке [a, b], где а < b, имеет место неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g (x), то
    .
       Обе части неравенства можно проинтегрировать, при этом смысл неравенства остаётся прежним.
       Доказательство. Пусть фиксированы разбиение отрезка [a, b] и выбор точек x 1, x 2,…, x n на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства f (x) ≤ g (x) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:
    .
    Переходя к пределу при max Δ xi → 0, получим рассматриваемое неравенство для интегралов.
       Следствие. Пусть на отрезке [a, b] где а < b, имеют место неравенства m ≤ f (x) ≤ M, где m и М — некоторые числа. Тогда
  8. Теорема о среднем. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], где а < b, то найдется такое значение c Î [a, b], что
    .
       По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х Î [a, b] вверны неравенства m ≤ f(x) ≤ M, где m и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [a, b]. Тогда,
    Функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число с Î [a, b], что
    ,
    что и требовалось доказать.
       Геометрический смысл теоремы о среднем. Пусть f (x) ≥ 0 на [a, b]. По теореме о среднем найдется такая точка, из отрезка [a, b], что площадь под кривой y = f(x) на отрезке [a, b] равна площади прямоугольника со сторонами f (с) и (b - а).
    (Смотри рисунок)

Непрерывность определенного интеграла как функции верхнего предела

   Если функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке [а, х], вложенном в [a, b]. Функция
,
где х Î [a, b], называется интегралом с переменным верхним пределом. Значение функции Ф (х) в точке х равно площади S(x) под кривой y = f (x) на отрезке [а, х]. В этом состоит геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом.
   Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] то функция Ф (х) также непрерывна на [а, b].
   Пусть Δх таково, что х + Δ х Î [a, b]. Имеем
.
По теореме о среднем найдется такое значение с Î [ x, x + Δ x], что
.
Поскольку с Î [x, x + Δ x], и функция f (x) ограничена, то переходя к пределу при Δ x → 0, получим
.
что и требовалось доказать.

Производная от интеграла с переменным верхним пределом

   Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда в каждой точке х отрезка [a, b] производная функции Ф (х) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции f (x):
.
Из вышесказанного имеем
,
где с Î[х, х + Δх]. Переходя к пределу при Δх → 0 и учитывая, что
в силу непрерывности функции f (x), получаем требуемое условие.
   Следствие. Если функция y = f (х) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существует первообразная на отрезке [а, b] .
   Действительно, примером первообразной для f (x) является функция Ф (х).

Замена переменной в определённом интеграле

   Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β], а = φ (α), b = φ (β) и функция f (x) непрерывна в каждой точке x = φ (t), где t Î [α, β]. Тогда справедливо равенство
.
   Действительно, пусть F(x) и Ф(t) — некоторые первообразные для функций f ( x) и f (φ (t))·φ ' (t). Доказано, что F (φ (t)) также является первообразной для функции f (φ (t))·φ ' (t). Тогда найдется такое число С, что Ф(t) = F(φ (t)) + C, где t Î [ α, β]. Поэтому

Ф(β) - Ф(α) = F(φ (β)) + C - (F(φ (α)) + C) = F(b) - F(a).

   Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к «табличному». При этом в отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t из уравнений φ (t) = a и φ (t) = b.

Примеры

Пример 1. Вычислить .
    Решение.
   Пример 2.Вычислить
   Р е ш е н и е. Сделаем подстановку x = sin t, 0 ≤ t ≤ π / 2.
Пример 3.Вычислить
    Решение. Непосредственным вычислением получим . С другой стороны,

Подстановка tg x = t формально приводит к следующему результату:

Получен неверный результат, так как π ≠ 0. Это произошло потому, что функция t = tg x разрывная при x = π / 2  и не удовлетворяет условиям теоремы.

Примеры применения пакета MAPLE

> restart:with(plots):with(plottools):fig:=proc(f,a,b,n) local p1,p2,l: display(plot(f(x),x=a..b,color=black,thickness=3, ytickmarks=0,xtickmarks=0), student[leftbox](f(x),x=a..b,n), student[rightbox](f(x),x=a..b,n));end: - процедура построения графика функции, левых и правых прямоугольников разбиения.
> f:=(x)->x^2;fig(f,1,5,20); - построение вышеуказанной процедуры для заданной функции.
> display([seq(fig(f,1,5,i),i=10..80)], insequence =true,axes=BOXED); - анимация приближения площади ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции при стремлении к нулю максимального отрезка разбиения.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется разбиением отрезка [a, b] ?
  2. Что называется интегральной суммой функции f (х) на отрезке [a, b] и в чем состоит ее геометрический смысл?
  3. Дайте определение определенного интеграла как предела интегральной суммы. Почему вместо l → 0 нельзя писать n → ∞?
  4. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла. Докажите аддитивное свойство определённого интеграла по промежутку интегрирования для расположения точек b < с < а.
  5. Пусть . Следует ли отсюда, что f (x) ≥ 0 на [a, b]?
  6. Сформулируйте теорему о среднем.
  7. Почему в формуле среднего значения функции точку с нельзя считать произвольной?
  8. Приведите пример, когда формула среднего значения функции справедлива для любой точки с Î [a, b]?
  9. Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функции.
  10. Всякая ли ограниченная функция интегрируема? Ответ обоснуйте примером.
  11. Сформулируйте достаточное условие интегрируемости функции.
  12. Приведите пример неинтегрируемой функции.
  13. Какая функция называется интегралом с переменным верхним пределом? В чем состоит ее геометрический смысл?
  14. Чему равна производная от интеграла по его верхнему пределу? Докажите теорему о производной от интеграла по его верхнему пределу интегрирования.
  15. Докажите формулу Ньютона-Лейбница.
  16. Почему формулу Ньютона-Лейбница считают основной формулой интегрального исчисления?
  17. При каких условиях справедлива замена переменной в определенном интеграле?
  18. Почему при замене переменной в определенном интеграле можно не возвращаться к старой переменной?
  19. Доказать, что
    .
    Применить полученный результат к вычислению интегралов и .
  20. Доказать, что
    .
    Применить полученный pезультат к вычислению интеграла
    .