int_lek8

ВВЕРХ

ЛЕКЦИЯ 8

К СОДЕРЖАНИЮ

Интегрирование по частям в определённом интеграле.
Обобщённая формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
Пример применения интегрирования по частям в определённом интеграле.
Приближённое вычисление определённых интегралов (формула прямоугольника).
Приближённое вычисление определённых интегралов (формула трапеции).
Приближённое вычисление определённых интегралов (формула Симпсона).
Вопросы для самопроверки.

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Интегрирование по частям является методом преобразования интеграла специального вида

. Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем

.Интегрируя обе части этого соотношения на интервале [a, b] , имеем

,или

.Учитывая связь дифференциала с производной, окончательно получим

.Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Обобщённая формула интегрирования по частям в определённом интеграле

Многократное применение вышеприведённой формулы интегрирования по частям к интегралу вида

приводит к обобщённой формуле интегрирования по частям

Для облегчения выполнения интегрирования по частям рекомендуется заполнение таблицы по следующему правилу

+	—	+	…	(-1)ⁿ	(-1)^{n + 1}
u	u '	u ''	…	u ⁽ⁿ⁾	u ^{(n + 1)}
v ⁽ⁿ⁾	v ^{(n - 1)}	v ^{(n - 2)}	…	v

   Умножая соответствующие элементы в столбцах этой таблицы с учётом знаков в первой строчке, получим слагаемые вне знака интеграла. Конечное интегральное слагаемое формируется с учётом соответствующего знака в первой строчке, конечного элемента второй строчки и предпоследнего элемента третей строчки таблицы.
   При заполнении таблицы составляющие второй строки дифференцируется, а составляющие третьей строчки интегрируется.
   Целесообразность применения формулы связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).

Пример применения интегрирования по частям в определённом интеграле

Вычислить интеграл

.
Решение.

Откуда получаем рекуррентную формулу

.Применение этой формулы приводит к интегралам

В частности

Приближённое вычисление определённых интегралов (формула прямоугольника)

   В инженерных расчетах зачастую нет необходимости знать точное значение определённого интеграла. Численные методы позволяют найти приближенное значение искомого интеграла с требуемой точностью. Эти методы основываются на истолковании определённого интеграла как площади и как предела интегральной суммы.
   Учитывая условия выполнения предельного перехода, можно сказать, что степень измельчения промежутка интегрирования влияет на погрешность вычисления.
   Таким образом получается приближённая формула прямоугольников .

.Если считать

то формула прямоугольников принимает вид

.Определённый интеграл приближённо и численно равен площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников:

Применим формулу прямоугольников к интегралу, для которого известно точное значение

. Предварительные вычисления представлены в таблице ниже.

i	х_i	f(x_i)
1/2	0,05	0,997506
3/2	0,15	0,977995
5/2	0,25	0,941176
7/2	0,35	0,890869
9/2	0,45	0,831601
11/2	0,55	0,767754
13/2	0,65	0,702988
15/2	0,75	0,64
17/2	0,85	0,580552
19/2	0,95	0,525624
	Σ	7,856065
		0,785606

.Как видно, расхождение происходит в тысячных.

Приближённое вычисление определённых интегралов (формула трапеции)

Заменим данную кривую вписанной в неё ломаной с вершинами в точках (x_i, y_i), где y_i = f (x_i).

Тогда

,где S₁, S₂, … , S_n - площади трапеций (площади под хордами на каждом из отрезков разбиения).
И, таким образом,

Предварительные вычисления для рассматриваемого в качестве примера интеграла представлены в таблице 2.
Таблица 2

x₀ = 0	y₀ = 1	x₁ = 0,1	y₁ = 0,990099
x₁₀ = 1	у₁₀ = 0,5	x₂ = 0,2	y₂ = 0,961538
	Σ ₁ = 1,5	x₃ = 0,3	y₃ = 0,917431
		x₄ = 0,4	y₄ = 0,862069
		x₅ = 0,5	y₅ = 0,8
		x₆ = 0,6	y₆ = 0,735294
		x₇ = 0,7	y₇ = 0,671141
		x₈ = 0,8	y₈ = 0,609756
		x₉ = 0,9	y₁₀ = 0,552486
			Σ ₂ = 7,099815

			0,1·(Σ ₁/2 + Σ₂) = 0,784981

И таким образом

.Как видно, результат вычисления отличается от точного значения в сотых.

Приближённое вычисление определённых интегралов (формула Симпсона)

Для вывода формулы Симпсона следует учесть, что через каждые три точки графика функции можно провести параболу и заменить функцию у = f(x) этой параболой.

Уравнение этой параболы имеет вид

Будем считать, что точка x₁ является серединой отрезка [ x₁, x₂ ]: .

Найдём площадь, ограниченной этой параболой, осью абсцисс и прямыми х = x₁, х = x₂. Интегрируя уравнение параболы на интервале[ x₁, x₂ ], для каждого слагаемого уравнения параболы будем иметь

а)

в) аналогично

Складывая результаты, получим окончательно

.В общем случае будем иметь

Вычислим рассматриваемый выше интеграл по формуле Симпсона.
Предварительные вычисления для рассматриваемого интеграла представлены в таблице 3.

Таблица 3

x₀ = 0	у₀ = 1	x₁ = 0,1	у₁ = 0,990099	x₂ = 0,2	у₂ = 0,961538
х₁₀ = 1	у₁₀ = 0,5	x₃ = 0,3	у₃ = 0,917431	x₄ = 0,4	у₄ = 0,862069
	Σ ₀ = 1,5	x₅ = 0,5	у₅ = 0,8	x₆ = 0,6	у₆ = 0,735294
		x₇ = 0,7	у₇ = 0,671141	x₈ = 0,8	у₈ = 0,609756
		x₉ = 0,9	у₉ = 0,552486		Σ ₂ = 3,168658
			Σ ₁ = 3,931157		2·Σ ₂ = 6,337315
			4· Σ ₁ = 15,72463
I = 1/30 ·( Σ ₀ + 2· Σ₂ + 4· Σ₁) = 0,785398

Окончательно будем иметь

.Как видно, все шесть цифр после запятой совпадают с результатом точного вычисления.

Вопросы для самопроверки

Докажите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
Кратко сформулируйте идею доказательства формулы прямоугольников для приближённого вычисления определённого интеграла?
Какой геометрический смысл имеет формула прямоугольников приближённого вычисления определённого интеграла?
Кратко сформулируйте идею доказательства формулы трапеции приближённого вычисления определённого интеграла?
Какой геометрический смысл имеет формула трапеции приближённого вычисления определённого интеграла?
Кратко сформулируйте идею доказательства формулы Симпсона приближённого вычисления определённого интеграла?