К разделу
ЛЕКЦИЯ 9 К СОДЕРЖАНИЮ

  1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
  2. Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования.
  3. Геометрический смысл несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования.
  4. Интеграл Эйлера – Пуассона.
  5. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
  6. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов первого рода.
  7. Признак Коши сходимости несобственных интегралов первого рода.
  8. Необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла первого рода.
  9. Абсолютная сходимость интеграла в промежутке [а, +∞).
  10. Признак Абеля.
  11. Признак Дирихле.
  12. Вопросы для самопроверки.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

   Пусть функция y = f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [а, t], т.е. функция

определена для произвольного значения t ≥ a. Несобственным интегралом (интегралом первого рода) от функции f(x) на полуинтервале [а, +∞) называется предел
                        (9.1)
   Если предел, стоящий в правой части равенства (9.1), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае — расходящимся.
   Выделяют следующие две задачи:
а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
б) вычисление значения интеграла в случае, если несобственный интеграл сходится.
В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.
   По аналогии с (9.1) определяется несобственный интеграл на полуинтервале (-∞, b]:
                        (9.2)
Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше.
   Несобственный интеграл на интервале (-∞ , +∞) определяется следующим образом
                        (9.3)
   Интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел справа как предел функции двух переменных. Если предела нет, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования

   Может оказаться, что несобственного интеграла в смысле (9.3) нет, но существует интеграл в смысле а = b,
,
и это значение интеграла называется его главным значением:
.
   Если функция f(x) нечётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен нулю, и поэтому для нечётной функции
.
   Если функция f(x) чётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка интегрирования, и поэтому для чётной функции
.
Например,
.

Геометрический смысл несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования

   Несобственным интегралам можно придать смысл площади бесконечной фигуры.
   Пример 1. Вычислить .
   Решение. По определению имеем
.
Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница
.
Тогда
,
т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1.
   Аналогично, можно убедиться, что интеграл

сходится к , если m > 1, и расходящимся, если m ≤ 1.
    Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида гипербола является своеобразным "порогом". Если кривая данного вида на интервале [1; + ∞) лежит ниже гиперболы, то полубесконечная фигура имеет конечную площадь. Если же кривая лежит выше или совпадает с гиперболой , то соответствующая фигура имеет бесконечную площадь.(смотри рисунок.)
   Пример 2. Вычислить .
   Решение. Исследуем на сходимость интегралы и :
т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но
т.е. этот интеграл расходится и, следовательно, расходится несобственный интеграл .

Интеграл Эйлера – Пуассона

   В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона. В разделе "двойные интегралы" доказывается, что
                        (9.4)
Другими словами, площадь S под кривой Гаусса (смотри рисунок.) на интервале (-∞, +∞) равна 1. Вычисление значения интеграла Пуассона будет дано в разделе двойные интегралы.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

   Пусть функция y = f (x) непрерывна, но не ограниченая на полуинтервале [a, b).
   Определение. Если существует и конечен предел
,
где δ > 0, то он называется несобственным интегралом (несобственным интегралом второго рода) от функции y = f (x) на [а, b) и обозначается , т.е.
                        (9.5)
В этом случае данный несобственный интеграл (9.5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
   Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y = f(x) непрерывной, но неограниченной на (а, b]:
                        (9.6)
   Пример 3. Вычислить интеграл .
   Решение. По определению (9.6) имеем
.
Найдём интеграл под знаком предела
,
тогда по определению окончательно получим

т.е. бесконечная фигура, ограниченная осями координат, кривой  и прямой х = 1, имеет конечную площадь, равную 2 ед.2

Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов первого рода

   Теорема 1. Если хотя бы при х ≥ А (А ≥ а) имеет место неравенство f(x) ≤ g( x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла и из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
   Теорема 2. Если существует предел
,
то в вопросах сходимости интегралы и ведут себя одинаково.

Признак Коши.

    Пусть для достаточно больших х функция f (x) имеет вид
.
Тогда: 1) если λ > 1 и φ (х) ≤ с < +∞, то интеграл сходится, 2) если же λ ≤ 1 и φ(х) ≥ с > 0, то интеграл расходится.

Необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла первого рода

   Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы любого как угодно малого числа ε > 0 существует такое число А0 > a, чтобы при любых А > A0 и А' > А0 выполнялось неравенство
.

Абсолютная сходимость интеграла в промежутке [а, +∞)

   Теорема 3. Если сходится интеграл , то интеграл подавно сходится.
   Доказательство основывается на применении необходимых и достаточных условиях сходимости и неравенстве
.
Если сходится интеграл , то интеграл называется абсолютно сходящимся.
   Теорема 4. Если функция f(x) абсолютно интегрируема в промежутке [а, +∞), а функция g( x) ограничена, то произведение их f(x)· g(x) будет функцией абсолютно интегрируемой в промежутке [а, +∞).
   Доказательство основывается на использовании неравенства
.
Например, интеграл сходится абсолютно, так как функция g(x) = cos(a·x) ограничена, а функция абсолютно интегрируема.

Признак Абеля

   Пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке [а, +∞), причём тогда интеграл сходится.
   Доказательство. Воспользуемся второй теоремой о среднем значении, при любых A' > A > a, будем иметь
,
где А ≤ x ≤ А'. Так как интеграл сходится, то для произвольного как угодно малого ε > 0 найдётся такое число А0 > a, чтобы при А > A0 и А' > А0 выполнялись неравенства
.
Далее из соотношения
вытекает сходимость рассматриваемого интеграла.

Признак Дирихле

   Пусть:   Так интегралы
при λ > 0 и а > 0 сходятся по признаку Дирихле, так как все условия этого признака выполнены:
и монотонно стремится к нулю при х→ ∞.

Вопросы для самопроверки

  1. Исследовать сходимость интеграла .
  2. Исследовать сходимость интеграла .
  3. Дать определение несобственного интеграла с бесконечным промежутком интегрирования.
  4. Дать определение несобственного интеграла от неограниченной функции.
  5. Чему равна площадь под линией Гаусса?
  6. Как понимать конечность площади неограниченной фигуры?
  7. Сформулировать признаки сравнения сходимости несобственных интегралов первого рода.
  8. Какие несобственные интегралы первого рода называются сходящимися абсолютно?
  9. Сформулируйте теорему об абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода.
  10. Сформулируйте признак Абеля сходимости несобственного интеграла первого рода.
  11. Сформулируйте признак Дирихле сходимости несобственного интеграла первого рода.