lek_kr1

ЛЕКЦИЯ 1

К СОДЕРЖАНИЮ

Криволинейные интегралы первого рода.
Свойства криволинейного интеграла первого рода.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода в декартовой системе координат.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода в параметрической форме.
Криволинейный интеграл второго рода.
Свойства криволинейных интегралов второго рода.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода, когда линия интегрирования задана в декартовой системе координат.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода, когда линия интегрирования задана в параметрической форме.
Вопросы для проверки.

Криволинейные интегралы первого рода

Пусть на линии γ определена функция ƒ(x; y). Проведем процесс интегрирования этой функции по линии:

1) разобьем линию между точками А и В на бесконечно малые отрезки точками М₁, М₂, М₃, … ,М_n;
2) внутри каждого отрезка выбираем точки с₁, с₂, с₃, …;
3) вычислим значение в этих точках значения функций f (с₁); f (с₂); f (с₃), …;
4) умножим эти значения на длины ячеек, в которых выбирались соответствующие точки: Эта сумма называется криволинейной интегральной суммой первого рода.

Криволинейным интегралом первого рода называют предел криволинейной интегральной суммы первого рода при условии стремления к нулю длин всех ячеек, если этот предел существует, не зависит от способа разбиения линии и выбора точек внутри каждой ячейки. Итак,

есть криволинейный интеграл первого рода.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл линейной связки функций равен линейной связки интегралов этих функций
Это свойство означает, что криволинейный интеграл обладает свойством линейности по подынтегральной функции.
Если линию интегрирования разбить на части, то интеграл по линии равен сумме интегралов по её частям
Это свойство означает, что криволинейный интеграл обладает свойством аддитивности по линии интегрирования.
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования

Криволинейный интеграл по замкнутой линии обозначается так

Способ вычисления криволинейного интеграла первого рода в декартовой системе координат

Криволинейного интеграла первого рода в декартовой системе координат вычисляется по формуле

Действительно,

Вычисление криволинейного интеграла первого рода в параметрической форме

Пусть линия интегрирования задана в параметрической форме х = φ (t), у = ψ(t). Тогда

где А(φ(α), ψ(α)), В( φ(β), ψ(β))
. Действительно, по определению криволинейного интеграла первого рода имеем

Криволинейный интеграл второго рода

Пусть задана некоторая линия γ. Найти работу, которая совершит переменная сила F( x, y ) при перемещении некоторой точки из положения А в положении В по линии γ.

Разобьем линию на бесконечно малые участки точками М₁, М₂, … , тогда работа силы на всей линии равна сумме работ на каждом участке

Так как отрезки разбиения бесконечно малы, то их условно можно считать прямолинейными отрезками. Кроме того, будем считать, что в пределах каждой ячейки сила не меняется, и она в пределах ячейки определяется вектором в некоторой точке C_i внутри этой ячейки. Работу внутри каждой ячейки приближенно заменим на элементарную работу силы (скалярное произведение силы на вектор перемещения)

Данная сумма называется криволинейной интегральной суммой второго рода.
Предел криволинейной суммы второго рода, при условии стремления к нулю всех участков разбиения, называется криволинейным интегралом второго рода, если он существует, не зависит от разбиения линии и от выбора точек внутри каждой ячейки

Если вектор силы задан своими координатами, которые являются функциями координат точки

то, воспользовавшись формулой скалярного произведения в координатной форме, получим криволинейный интеграл второго рода в координатной форме:

Свойства криволинейных интегралов второго рода

Криволинейный интеграл линейной связки функций равен линейной связки интегралов этих функций
Это свойство означает, что криволинейный интеграл обладает свойством линейности по подынтегральной функции.
Если линию интегрирования разбить на части, то интеграл по линии равен сумме интегралов по её частям
Это свойство означает, что криволинейный интеграл обладает свойством аддитивности по линии интегрирования.
При изменении направления интегрирования на противоположное направление криволинейный интеграл меняет своё значение на противоположное:
Криволинейный интеграл зависит от направления интегрирования. Следует отметить, что этим свойством не обладает криволинейный интеграл первого рода.

Криволинейный интеграл по замкнутой линии обозначается так

Этот интеграл называется циркуляцией.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода, когда линия интегрирования задана в декартовой системе координат

Пусть линия интегрирования задана уравнением у = f (x), тогда криволинейный интеграл от точки А( а, f (а)) до точки В(b, f (b)) приводится к вычислению определённого интеграла

Вычисление криволинейного интеграла второго рода, когда линия интегрирования задана в параметрической форме

Пусть линия интегрирования задана в параметрической форме х = φ(t), у = ψ(t). Тогда

где А( φ(α), ψ(α)), В( φ(β), ψ(β)) и точка сверху означает производную по параметру t.
П р и м е р 1. Вычислить криволинейный интеграл

по замкнутому контуру

L: x² + y² = a²

против хода часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Перейдём к параметрической форме задания линии:

В этом случае

П р и м е р 2. Найти работу силы

вдоль линии L: х² + у² = 1 (х ≥ 0, у ≥ 0) от точки М₀(1; 0) до точки M₁(0; 1).

Р е ш е н и е. Уравнение линии

	,

тогда d x = − sin t·d t, d y = cos t·d t. Тогда

Вопросы для проверки

Дайте определение криволинейного интеграла первого рода.
Перечислите свойства криволинейного интеграла первого рода.
Как вычисляются криволинейные интегралы первого рода в декартовой системе координат?
Как вычисляются криволинейные интегралы первого рода в параметрической форме?
Дайте определение криволинейного интеграла второго рода.
Перечислите свойства криволинейного интеграла второго рода.
Как вычисляются криволинейные интегралы второго рода в декартовой системе координат?
Как вычисляются криволинейные интегралы второго рода в параметрической форме?