К разделу
ЛЕКЦИЯ 2 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Определение двойного интеграла.
  2. Геометрический смысл двойного интеграла.
  3. Вычисление площади плоской фигуры двойным интегралом.
  4. Механический смысл двойного интеграла.
  5. Свойства двойных интегралов.
  6. Сведение двойного интеграла к повторному.
  7. Примеры вычисления двойных интегралов.
  8. Формула Грина.
  9. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
  10. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае наличия потенциала.
  11. Пример вычисления криволинейного интеграла в случае наличия потенциала.
  12. Вычисление двойных интегралов в математическом пакете MAPLE.
  13. Вопросы для самопроверки.

Определение двойного интеграла

   Пусть в некоторой области D на координатной плоскости XOY определена функция двух переменных z = f (x, y). Предполагается, что граница области D состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y = f (x) или x = φ (y), где f (x) и φ (y) – непрерывные функции.
  1. Разобьем область D на бесконечно малые ячейки прямыми, параллельными координатным осям.
  2. В каждой ячейке выберем точку Ci,j(xi, yj).
  3. Вычислим значения f (xi, yj) функции в этой точке.
  4. Эти значения f (xi, yj)  умножим на площади ячеек, из которых бралась точка: f (xi, yj)·Δ xi·Δ yj.
  5. Все эти произведения сложим:
    .
    Полученная сумма называется двойной интегральной суммой.
   Назовем диаметром d(D) области D наибольшее расстояние между точками этой области. Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей Di
.
   О п р е д е л е н и е. Двойным интегралом называется предел двойной интегральной суммы при условии стремления к нулю диаметров всех ячеек, если он существует и не зависит от способа разбиения области D, от способа выбора точек Ci,j (xi, yj) внутри каждой ячейки
.
В этом случае функция f (x, y) называется подынтегральной, D — областью интегрирования, x и y — переменными интегрирования, ds (или dx·dy) – элементом площади.
   Мы предполагаем, что функция f (x, y) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т.е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате

{ (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}

следующим образом:
   Т е о р е м а 1. Функция f (x, y), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, интегрируема в этой области.
   Т е о р е м а 2. Функция f (x, y),ограниченная в замкнутой ограниченной области D и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида y = ψ(x) или x = φ (y), интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла

   Пусть тело P в пространстве ограниченно сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции z = f(x, y), определенной в области D, цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, и областью D, лежащей в плоскости Oxy. Тело такого вида называют криволинейным цилиндром (цилиндроидом).

Двойной интеграл численно равен объему цилиндроида.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим определение двойного интеграла с геометрической точки зрения.
Двойная интегральная сумма
численно равна объёму ступенчатого тела.
Чем меньше размеры основания ячеек, тем ближе величина
к объёму цилиндроида. (смотри рисунок.).

Вычисление площади плоской фигуры двойным интегралом

   Если положить f (x, y) = 1 всюду в области D, то непосредственно из определения двойного интеграла получим выражение площади s области D в виде двойного интеграла:

Механический смысл двойного интеграла

   Если z = f (x, y) есть плотность распределения массы по плоскости, то двойной интеграл есть масса пластины.
   Действительно, в этом случае f (xi, yj)·Δ xi·Δ yj — масса ячейки, — приближенная масса пластины. Предел приближенной массы пластины при условии измельчения ячеек — масса пластины.

Свойства двойных интегралов

  1. Линейное свойство
    .
  2. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и

  3. Аддитивное свойство по области интегрирования

    .

  4. Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка ( ξ; μ), что

    ,

    где s — площадь фигуры D.

Сведение двойного интеграла к повторному

    Область D называется правильной вдоль оси OY, если прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области D в двух точках.
   Пусть область правильная вдоль оси OY, нижние точки границы лежат на линии с уравнением у = φ (х), верхние — на линии с уравнением у = ψ(х). Тогда двойной интеграл можно привести к повторному

Примеры

   Пример 1. Вычислить , где D = {(x; y)| 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2}.
   Решение. Область интегрирования представляет собой прямоугольник.
Преобразуя двойной интеграл к повторному, получим
.
   Пример 2. Вычислить интеграл по области G={(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1- x}.
   Решение. Область G представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой y = - x + 1. Следовательно, у1(х) = 0, у2(х) = 1 − х. Преобразуя двойной интеграл к повторному, получим
.
   З а м е ч а н и е. Если область D не удовлетворяет условиям правильности, то необходимо область D разбить на части, каждая из которых удовлетворяла бы условиям правильности, и сводить к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов отдельно.

Формула Грина

   Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру L с двойным интегралом по области D, которую охватывает этот контур
.
   Д о к а з а т е л ь с т в о: Рассмотрим правильную область по оси Oх и Oу (смотри рисунок.).
   Пусть область D задаётся системой неравенств: а ≤ х ≤ b, f1 (x) ≤ у ≤ f2 (x ). В совокупности линии с уравнениями у = f 1( x ) и у = f1 ( x ) образуют замкнутый контур. Рассмотрим преобразование

То есть
.
Аналогично доказывается
.
Складывая эти два соотношения, получим формулу Грина.
    Если в формуле Грина положить Q = x, P = − y, то получим формулу для вычисления площади плоской фигуры через криволинейный интеграл по контуру, ограничивающий область

Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

   Условием независимости интегрирования от пути интегрирования будут:
1. .
2. .
3. Существование потенциала , .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть есть две точки и их соединяют два пути MAN, MBN (смотри рисунок.).
Пусть выполнено условие 1, тогда

что и доказывает независимость интеграла от линии интегрирования
.
   Пусть выполняется условие 2. Из формулы Грина для любой конечной области в этом случае вытекает
,
так как
.
Откуда следует условие 1.
   Пусть выполняется условие 3. В этом случае выполняется условие 2, а, значит, и 1.
   В физике силы F с координатами ( P, Q) обладающие таким свойством называются потенциальными, а функция П = − U потенциальной энергией. К таким силам относятся:
1) сила гравитационного притяжения;
2) сила упругости на прямолинейном участке диаграммы Гука;
3) электростатическая силы взаимодействия зарядов (смотри рисунок.).

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае наличия потенциала

   Если для вектора с координатами (Р, Q) существует потенциал, то криволинейный интеграл по не замкнутому пути равен приращению потенциала на концах пути.
   Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть имеется путь от точки А до точки В (смотри рисунок.).
В этом случае имеем
.
Что и требовалось доказать.

Пример вычисления криволинейного интеграла в случае наличия потенциала

   Вычислить интеграл

по дуге АВ, где А (1; 2) и В (4; 6) по отрезку прямой, соединяющей эти точки.
   Р е ш е н и е. Из условия задачи имеем

Условие независимости интегрирования от пути выполняется

Интеграл не зависит от линии, которая соединяет эти две точки А и В, а зависит от положения этих точек и равен разности потенциалов на концах линии интегрирования.
   Из условия существования потенциала имеем

Проинтегрировав первое уравнение, при условии y = const, получим
U = 2 x2 + 2 xy + φ(y).
Подставив найденное выражение во второе уравнение системы, получим
2 x + φ ' = 2 x − 6 y,
откуда получим
φ = − 3 y2.
Таким образом, потенциал имеет вид
U = 2x2 + 2 xy − 3 y2.
Значение интеграла в этом случае равно
.

Вычисление двойных интегралов в математическом пакете MAPLE

> with(student):
> Doubleint(x^2+y^2,x,y);
> Doubleint(x^2+y^2,y=x..2*x,x=0..4);
> value(%);
   Как видно из вышеприведённого, при вычислении двойного интеграла в математическом пакете MAPLE, необходимо область задать в виде неравенств.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется двойной интегральной суммой?
  2. Какой геометрический смысл имеет двойная интегральная сумма?
  3. Что называется двойным интегралом?
  4. Какой геометрический смысл имеет двойной интеграл?
  5. Перечислите свойства двойного интеграла.
  6. Как определить правильность области по направлению оси?
  7. Как привести двойной интеграл к повторном интегралу?
  8. Как вычислить площадь фигуры двойным интегралом?
  9. Какой механический смысл имеет двойной интеграл?