К разделу
ЛЕКЦИЯ 3 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Замена переменных в двойном интеграле.
  2. Замена переменных в пакете MAPLE.
  3. Вычисление объёма с помощью двойных интегралов.
  4. Вычисление площади с помощью двойных интегралов.
  5. Вычисление массы пластинки.
  6. Пример вычисления массы пластины.
  7. Вычисление координат центра масс пластинки.
  8. Нахождение центра масс однородной пластинки.
  9. Вычисление момента инерции пластинки.
  10. Момент инерции I0 пластинки относительно начала координат.
  11. Пример вычисления центрального момента инерции.
  12. Вопросы для самопроверки.

Замена переменных в двойном интеграле

   Пусть функция f (x, y) непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области G. Тогда для функции f (x, y) существует двойной интеграл
.
Предположим, далее, что с помощью формул x = x(u, v), y = (u, v) мы переходим к новым переменным u и v. Будем считать, что u и v определяются из формул замены переменных единственным образом: u = u (x, y), v = v (x, y). С помощью этих формул каждой точке М(х, у) из области D ставится в соответствие некоторая точка М*(u, v) на координатной плоскости с прямоугольными координатами u и v. Пусть множество всех точек М*(u, v) образуют замкнутую область G*.
   Прямолинейные координатные линии x = const, y = const разбиения области D в силу приведённой замены переменных u = u(x, y), v = v(x, y) преобразуются в криволинейные. К примеру, декартовые и полярные координаты связаны соотношениями

x = r·cos φ,
y = r·sin φ,

и криволинейными координатными линиями будут r = const, φ = const.
   По определению двойного интеграла имеем

Рассмотрим некоторую ячейку разбиения σi,j и найдём его площадь.
Так как криволинейная ячейка является бесконечно малой, то её можно приближённо считать совпадающей с параллелограммом, построенном на векторах AB и AC. Известны координаты точек
, , ,
поэтому координатами указанных выше векторов будут
,
.
Найдём векторное произведение этих векторов
.
Как известно, площадь параллелограмма численно равно модулю векторного произведения векторов, построенных на сторонах параллелограмма:
Δ σ i, j ≈ | J | ·Δ ui Δ vj,
где определитель

называется определителем матрицы Якоби. Преобразование двойного интеграла к новым переменным производится по формуле

   Действительно,

Что и требовалось доказать.
   Пример 1. Вычислить интеграл , где G – параллелограмм, ограниченный прямыми х + у = 1, х + у = 2, 2·х – у = 1, 2·х – у = 3.
   Решение. Выполним замену переменных х + у = u, 2·х – у = v. Прямые х + у = 1 и х + у = 2 в системе координат Оху переходят в прямые u = 1 и u = 2 в системе координат О'uv, а прямые 2·х – у = 1 и 2·х – y = 3 в прямые v = 1 и v = 3. Параллелограмм G взаимно однозначно преобразуется в прямоугольник G*, который является более простой областью интегрирования.
   Осталось вычислить определитель матрицы Якоби. Для этого выразим х и у через u и v: x = (u + v)/3, y = (2·u - v)/3. Следовательно,
Окончательно получаем

   Замечание. Если подынтегральная функция или уравнение границы области интегрирования содержат сумму х2 + у2, то во многих случаях упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам х = r·cosφ, y = r·sinφ.
   Вычислить интеграл , где G – четверть круга х2+ у2 = 1, расположенная в I квадранте.
   Решение. В двойном интеграле перейдём к полярным координатам по формулам х = r·cosφ, y = r·sinφ. Тогда х2 + у2 = r2 и определитель матрицы Якоби преобразования равен
Видно, что в области G радиус r изменяется в пределах от 0 до 1, а угол φ — от 0 до π. Иначе говоря, область G преобразуется в прямоугольник {( π, φ) | 0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ φ ≤ π / 2}.
Таким образом, получаем
.

Замена переменных в пакете MAPLE

> restart:with(student):assume(r>0): > di:=changevar({x=r*cos(t),y=r*sin(t)}, Doubleint (exp(x^2+y^2),x,y),[t,r] );

> di1:=combine(di,exp);

> di2:=op(di1)[1];

> op(di2)[1];

> Doubleint(op(di2)[1],r=0..1,t=0..2);

> value(%);

e - 1

Вычисление определителя матрицы Якоби в системе MAPLE

> restart:with(linalg): > A:=vector([r*cos(t),r*sin(t)]);

> J:=jacobian(A,[r,t]);

> J1:=det(J);

> simplify(J1);
r

Вычисление объема с помощью двойных интегралов

   Как известно, объем V криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y) > 0, снизу плоскостью z = 0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси Оz, а направляющей служит контур области G, вычисляется по формуле

   П р и м е р 3. Вычислить объем тела, ограниченный поверхностями х = 0, у = 0, z = 0 и x + y + z = 1.
   Р е ш е н и е. Имеем

где G – область интегрирования, ограниченна прямыми х = 0, у = 0, х + у = 1.
Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем
.

Вычисление площади с помощью двойных интегралов

   Площадь s в области G может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
.
Эта формула более универсальна, чем соответствующая формула, выражающая площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла, так как данная формула применима не только к криволинейным трапециям, но и к фигурам, расположенным произвольно по отношению к координатным осям.
   П р и м е р 4. Вычислить площадь области G, ограниченной линиями y2 = x + 1, x + y = 1.
   Р е ш е н и е. Область G представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой y2 = x + 1, справа прямой y = − x + 1. Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим точки их пересечения: М1(3; − 2), М2(0; 1). Следовательно, искомая площадь равна
.
   З а м е ч а н и е. При вычислении двойных интегралов с помощью повторного интегрирования одним из главных моментов является поиск и расстановка пределов интегрирования. Если в данном примере выбрать другой порядок повторного интегрирования, то область G предварительно пришлось бы разбить на две части, так как она ограничена сверху линией, заданной в интервале − 1 ≤ х ≤ 0 и 0 ≤ х ≤ 3 двумя различными уравнениями. Разумеется, был бы получен тот же результат, однако вычисления оказались бы более громоздкими.

Вычисление массы пластинки

   Рассмотрим на плоскости Оху материальную пластинку, т.е. некоторую область G, по которой распределена масса m с плотностью ρ(х, у). Вычислим по заданной плотности ρ(х, у) массу m этой пластинки, считая ρ(х, у) непрерывной функцией.
   Разобьем область G произвольно на n частей Gi ( i = 1, 2, … , n) и обозначим через mi массы этих частей. В каждой части возьмем точку (ξ i; η i). Массу mi каждой такой части Gi можно считать приближенно равной ρ(ξ i; η i)·Δ Si, где Δ Si  – площадь Gi. Масса m всей пластинки приближенно равна сумме
,
которая является интегральной суммой для непрерывной функции ρ (х, у) в области G. При условии λ = max { diam Δ Sij } → 0, очевидно, получим точное значение массы пластинки, равное двойному интегралу от функции ρ(х, у) по области G, т.е.
.
   П р и м е р 5. Определить массу квадратной пластинки со стороной 2· а, если плотность ρ(х, у) в каждой точке М(х, у) пропорциональна квадрату расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей, и коэффициент пропорциональности равен R.
   Р е ш е н и е. Выберем систему координат с центром в точке пересечения диагоналей квадрата с осями параллельными его сторонам. Пусть М (х; у) — произвольная точка квадратной пластинки. Тогда квадрат расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей равен х2 + у2. Следовательно, плотность в точке М равна ρ(М) = ρ (х, у) = R·(х2 + у2). Имеем
.
Учитывая, что подынтегральная функция четна относительно х и у, а область интегрирования симметрична относительно осей координат, можно ограничиться вычислением интеграла по той части области G, которая расположена в I четверти, т.е.

Вычисление координат центра масс пластинки

   Найдем координаты центра масс пластинки, занимающей в плоскости Оху некоторую область G. Пусть ρ (х, у) – плотность распределения массы на этой пластинке в точке М(х, у), причем ρ (х, у) – непрерывная функция. Разбив область G на части Gi(i = 1, 2, …, ,n), выберем в каждой из этих частей некоторую точку (ξ i; η j) и будем приближенно считать массу mi каждой из частей пластинки равной ρ(ξ i; η j), то для координат х с и у с центра масс такой системы материальных точек получим следующие выражения:
,
которые представляют собой приближенные значения координат центра масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих координат, необходимо перейти к пределу при λ = max { diam Δ S ij} → 0. При этом интегральные суммы перейдут в соответствующие интегралы, и мы получим формулы для вычисления координат центра масс пластинки
; ,
где – масса пластинки. Если пластинка однородна, т.е. ρ = const, то формулы координат центра масс упрощаются:
.
Величины и называются статическими моментами инерции пластинки относительно осей Оу и Ох. Таким образом, вычисление координат центра масс пластинки сводится к вычислению трех двойных интегралов.
   П р и м е р 6. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной двумя параболами у2= х и х2 = у.
   Р е ш е н и е. Вычислим массу пластинки
.
Вычислим статические моменты ее относительно осей координат:
, .
Далее найдем координаты центра масс
Итак, х с = ус = 9 / 20.

Вычисление момента инерции пластинки

   Как известно, момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси, а момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции этих точек. Пусть область G плоскости Оху занята пластинкой, имеющей непрерывную плотность ρ (х, у). Разбив область G на части Gi, площади которых равны Δ S i (i = 1, 2, …, n), и выбрав в каждой из них некоторую точку (ξ i; η i ), заменим пластинку системой материальных точек с массами mi = ρ (ξ i, η j )·Δ Sij и координатами (ξ i; η j). Момент инерции такой системы точечных масс, например, относительно оси Оу, равен
.
Примем это выражение за приближенное значение момента инерции пластинки. Но оно же представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции x2·ρ (x, y). Переходя к пределу при λ = max { diam Δ Sij} → 0, получаем для момента инерции пластинки относительно оси Оу следующую формулу:
.
Аналогично, момент инерции пластинки относительно оси Ох равен
.

Момент инерции I 0 пластинки относительно начала координат

   Принимая во внимание, что момент инерции материальной точки с массой m относительно начала координат равен m·(x 2 + y 2 ), рассуждая, как и выше, получаем, что
,
то есть I 0 = Ix + I y.
П р и м е р 7. Найти момент инерции круга радиуса R с постоянной плотностью ρ(х, у) = 1 относительно начала координат.
Решение. Имеем . Переходя к полярным координатам, получим
.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется координатной линией в данной координатной системе?
  2. Что представляют собой координатные линии в полярной системе координат?
  3. Чем является якобиан при замене координатной системы?
  4. Чему равен якобиан при переходе от декартовой системы координат к полярной?
  5. Запишите формулу замены координат в двойном интеграле.
  6. Как вычислить массу пластины при помощи двойного интеграла?
  7. Как вычислить координаты центра масс пластины при помощи двойного интеграла?
  8. Как вычислить осевой момент инерции пластины при помощи двойного интеграла?
  9. Как вычислить центральный момент инерции пластины при помощи двойного интеграла?