К разделу
ЛЕКЦИЯ 4 К СОДЕРЖАНИЮ

  1. Определение тройного интеграла.
  2. Свойства тройных интегралов.
  3. Преобразование тройного интеграла к повторному интегралу.
  4. Вычисление объёма тройным интегралом.
  5. Пример вычисления тройного интеграла.
  6. Вычисление тройного интеграла в системе MAPLE.
  7. Замена переменной в тройном интеграле.
  8. Вычисление определителя матрицы Якоби в пакете MAPLE .
  9. Вопросы для самопроверки.

Определение тройного интеграла

    Пусть функция u = f (x, y, z) определённа в некоторой области V. Разобьём область D на бесконечные малые трехмерные ячейки ωijk с размерами Δxi, Δyj, Δzk. Возьмём в этих ячейках по одной точке Сi,j,k (xi, yj, zk). Вычислим значение функции в этих точках: f (xi, yj, zk). Эти значения умножим на объемы соответствующих ячеек:

f (xi, yj, zk)·Δxi· Δyj· Δzk.

Эти произведения просуммируем по всем ячейкам:
.
Полученная сумма называется тройной интегральной суммой.
   Предел тройной интегральной суммы при стремлении к нулю максимума диаметров всех ячеек
λ = max diam {ω i, j, k} → 0
называется тройным интегралом, если:
.

Свойства тройных интегралов

  1. Линейное свойство
    .
  2. Если функции f (x, y, z) и g (x, y, z) интегрируемы в области V, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и
    .
  3. Аддитивное свойство по области интегрирования
    .
  4. Если функция f (x, y, z) непрерывна в области V, то в этой области найдется такая точка (ξ ; η, ς), что
    ,
    где V - объем фигуры V (теорема о среднем).

Преобразование тройного интеграла к повторному интегралу

   Область V называется правильной по всем направлениям, если прямые, параллельные координатным осям, пересекают границу области V в двух точках. Построим графически область V. Определим правильность этой области построением проекций этой области на координатные плоскости. По проекции выбирается направление интегрирования и строятся пределы интегрирования по каждой переменной:
a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x), f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y),
Тройной интеграл вычисляется приведением его к повторному интегралу:
.

Вычисление объёма тела тройным интегралом

   Объём тела вычисляется тройным интегралом вида
.
   Пример 1. Вычислить тройной интеграл
по области V, где область V ограничена плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
Область интегрирования представляется в виде системы неравенств
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y.
Тройной интеграл представляется в виде повторного
.
Вычисляется первый интеграл
.
Вычисляется второй интеграл
.
Вычисляется третий интеграл
.

Вычисление тройного интеграла в системе MAPLE

> restart:with (student):Tripleint(z,x,y,z);

> Tripleint(z,z=0..1-x-y,y=0..1-x,x=0..1);

> value(%);

Замена переменной в тройном интеграле

   Если выполняется замена переменных

x = x (u, v, w), y = y (u, v, w), z = z (u, v, w)

в тройном интеграле, то в новых переменных тройной интеграл примет вид
,
где
 — определитель матрицы Якоби.
   Доказательство. Прямоугольная ячейка разбиения с размерами Δх, Δу, Δz с заменой переменной исказиться в ячейку, которую можно приближенно считать призмой.
В прямоугольной системе координат параллелепипед с вершинами А, В, С, D преобразуется в призму с вершинами
A1 (x, y, z),
,
,
.
Призма построена на векторах

как на его сторонах. Объем призмы найдем через смешанное произведение векторов
.
Учитывая определение тройного интеграла и выражение элементарного объёма при замене переменной, получим формулу замены переменной в тройном интеграле.
   При замене переменной в интегрируемой сумме надо подставлять не только x, y, z через обозначение, но и учитывать коэффициент искажения ячейки через определитель матрицы Якоби.

Вычисление определителя матрицы Якоби в пакете MAPLE

>restart:with(linalg): >A:=vector([r*cos(phi)*cos(theta),r*sin(phi)*cos(theta),r*sin(theta)]);

>J:=jacobian(A,[r,phi,theta]);

>J1:=det(J);

>simplify(J1);

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется тройной интегральной суммой?
  2. Что называется тройным интегралом?
  3. При каких условиях по отношению к интегральной сумме рассматривается тройной интеграл?
  4. Перечислите основные свойства тройных интегралов.
  5. Как с помощью тройного интеграла можно вычислить объём тела?
  6. Что называется определителем матрицы Якоби?
  7. Какой смысл имеет определитель матрицы Якоби?
  8. Как выполнить замену переменных в тройном интеграле?