К разделу
ЛЕКЦИЯ 5 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Определение площади поверхности.
  2. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
  3. Площадь поверхности, когда уравнение её задано неявным образом.
  4. Площадь сферы.
  5. Площадь поверхности в параметрическом виде.
  6. Примеры вычисления площадей поверхности фигур.
  7. Вопросы для самопроверки.

Определение площади поверхности

   О п р е д е л е н и е. Пусть на поверхности S дана некоторая область ω, разобьём эту область произвольным образом на бесконечно малые ячейки Δωij Тогда площадь поверхности равна сумме площадей всех ячеек (смотри рисунок.)
.
Выберем произвольную точку Cij внутри каждой ячейки, проведём касательную плоскость к поверхности в этой точке и спроектируем ячейку Δωij на эту касательную плоскость. Площадь проекции ячейки Δωij на касательной плоскости обозначим Δσij. Тогда для площади поверхности имеем
.
Площадью поверхности называют предел
.
Если поверхность имеет площадь, то она называется квадрируемой.

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

   Пусть поверхность S определяется уравнением z = f (x, y). Поверхность S предполагается гладкой в каждой точке этой поверхности, то есть существует нормаль к поверхности в каждой её точке. Пусть D есть область определения функции на координатной плоскости Оху. Площадь поверхности над областью D вычисляется по формуле
,
где и .
   Доказательство. Угол между этой нормалью и осью Оz определяется соотношением
.
Спроектируем каждую ячейку Δσij на координатную плоскость ХОУ, в этом случае,

где угол γij вычислен в точке cij. В этом случае

где Что и требовалось доказать.

Площадь поверхности, когда уравнение её задано неявным образом

   Пусть z является неявной функцией аргументов x и у: F (x, y, z) = 0. В этом случае
,
откуда имеем
.
Вводя обозначения
,
интеграл для вычисления площади поверхности в этом случае приводится к виду
.

Площадь сферы

   Найти площадь сферы радиуса R (смотри рисунок.)
   Уравнением сферы в декартовой системе координат имеет вид x2 + y2 + z2 = R2. Из этого уравнения имеем

A = 2 x, B = 2 y, C = 2 z.

Тогда площадь сферы с учётом симметрии сферы определится двойным интегралом
.
Для вычисления этого двойного интеграла выполним замену переменных, переходя к полярным координатам:
x =r cos φ, y = r sin φ.
Область интегрирования определится неравенствами
,
якобиан преобразования имеет значение J = r. Преобразуя двойной интеграл к повторному в полярной системе координат, окончательно будем иметь:
.

Площадь поверхности в параметрическом виде

   Пусть поверхность задана в параметрическом виде
x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v).
Будем считать, что в уравнении поверхности F (x, y, z) = 0 параметры x, y, z зависящими от других параметров u и v. Используя правила вычисления производной сложной функции многих переменных, получим
,
или, учитывая вышеприведённые обозначения, получим
,
Эти соотношения представляют собой условие перпендикулярности вектора ( A, B, C) и векторов
, .
Если это так, то вектор с координатами (А, В, С) коллинеарен вектору . Используя условие коллинеарности (пропорциональность одноименных координат), будем иметь
,
или
.
В этом случае интеграл вычисления площади примет вид
,
при этом следует иметь ввиду, что J = D3. Если ввести обозначения
,
то площадь поверхности можно вычислить по формуле
S = .
   Пример1. Вычислить площадь поверхности параболоида вращения z = x2 + y2, заключённой внутри цилиндра радиуса R (смотри рисунок.)
   Вычислим частные производные, необходимые для формирования двойного интеграла
.
Тогда площадь поверхности находится вычислением двойного интеграла
.
Для вычисления двойного интеграла перейдём к полярной системе координат
x = r cos φ, y = r sin φ.
Определитель матрицы Якоби равен J = r, пределы интегрирования определятся неравенствами

0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2·π.

В новых переменных получим площадь поверхности рассматриваемой фигуры

   Пример 2. Вычислить площадь той части плоскости 6 х + 3 у + 2 z = 12, которая заключена в первом октанте (проекция).
   Решение. Искомую площадь можно вычислить по выше приведённой формуле. Предварительно найдём
, .
Областью интегрирования является треугольник, ограниченный осями Ох, Оу и прямой 6х + 3у = 12, получаемой из уравнения данной плоскости при z = 0. Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем
.

Вопросы для самопроверки

  1. Как определяется площадь произвольной поверхности?
  2. Какая поверхность называется гладкой?
  3. Как вычислить площадь поверхности с помощью двойного интеграла?
  4. Как вычислить площадь поверхности с помощью двойного интеграла, когда уравнение поверхности задано неявно?
  5. Как вычислить площадь поверхности с помощью двойного интеграла, когда уравнение поверхности задано параметрически?
  6. Вычислите площадь поверхности сферы с помощью двойного интеграла.
  7. Вычислите площадь поверхности параболоида вращения z = x2 + y2, заключённой внутри цилиндра радиуса R.