К разделу
ЛЕКЦИЯ 6 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Поверхностная интегральная сумма первого рода.
  2. Определение поверхностного интеграла первого рода.
  3. Основные свойства поверхностных интегралов.
  4. Представление поверхностного интеграла первого рода двойным интегралом.
  5. Вычисление площади поверхности через поверхностный интеграл первого рода.
  6. Пример вычисления поверхностного интеграла первого рода.
  7. Вопросы для самопроверки.

Поверхностная интегральная сумма первого рода

   Пусть в пространстве трёх переменных в системе координат Охуz задана некоторая поверхность S и некоторая область σ на ней. Пусть в области σ задана функция f (x, y, z) непрерывная в области σ (смотри рисунок.) .
   Разобьём область σ произвольным способом на n частичных областей σ1, σ2,… , σn. Выберем в каждой области точку (ξ k, η k, ς k), которую назовём опорной точкой этой области. Составим сумму произведений площади σk каждой частичной области на значение данной функции f (x, y, z) в опорной точке (ξ k, η k, ς k) этой области
.
Эта сумма называется поверхностной интегральной суммой первого рода, составленной для функции f (x, y, z) и распространённой по данной области σ.

Определение поверхностного интеграла первого рода

   Предел поверхностной интегральной суммы первого рода при безграничном ростре числа областей дробления σ1, σ2, … , σ n и стремления к нулю длины контуров всех областей дробления называется поверхностным интегралом первого рода
.

Основные свойства поверхностных интегралов

  1. Линейное свойство
    .
  2. Если функции f (x, y , z) и g (x, y , z ) интегрируемы в области S , то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и

  3. Аддитивное свойство по области интегрирования

    .

  4. Если функция f (x, y ) непрерывна в области σ, то в этой области найдется такая точка (ξ, η, ς), что

    .

    где σ — площадь области σ (теорема о среднем).

Представление поверхностного интеграла первого рода двойным интегралом

Теорема. Предел поверхностной интегральной суммы при неограниченном увеличении числа частичных областей не зависит ни от способа дробления области, ни от выбора опорных точек внутри частичных областей и равен поверхностному интегралу

.

При этом предполагается, что функция f ( x, y, z) непрерывна в области σ, γ — угол нормали к поверхности с осью Оz, и способ дробления области σ правильный.
   Доказательство. Предположим, что для рассматриваемой области σ уравнение поверхности однозначно разрешено относительно z

z = g (x, y).

В силу этого ξ k = g(ξ k, η k). Площадь ячейки равна

.

где s k — проекция ячейки σ k на координатную плоскость Оху, γ — угол нормали к σk в текущей точке. Этот угол является функцией γ = γ (x, y) независимых переменных в текущей точке. Применив теорему о среднем, получим

,

где (ξk, ηk)  — некоторая точка на sk (смотри рисунок.), которая в общем отличается от проекции опорной точки (ξ k, η k, ς k). Подставим выражения ς k = g(ξ k, η k) и σk в поверхностную интегральную сумму

.

Последний предел представляет собой двойной интеграл по проекции s области σ на плоскость Оху

.

Если раскрыть знак абсолютной величины, то получим

Таким образом, доказанную формулу можно записать в виде

.

Аналогично проводится доказательство и для других плоскостей, в соответствии с чем получим ещё две формулы

, .

Правило: под знаком поверхностного интеграла можно пользоваться условными формулами

.

Вычисление площади поверхности через поверхностный интеграл первого рода

   Площадь поверхности вычисляется с помощью поверхностного интеграла первого рода

.

Пример вычисления поверхностного интеграла первого рода

   Вычислить поверхностный интеграл

,

где σ — треугольная площадка с вершинами (1, 0, 0); (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Направление нормали выбрано таким, что оно образует острый угол с осью Оz (смотри рисунок.).
   В соответствии с выше выведенными формулами, имеем

Из уравнения плоскости x + y + z = 1 находим z = 1 − x − y, и . Подставив эти выражения в интеграл, получим

.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется поверхностной интегральной суммой первого рода и как она получается?
  2. Как определяется поверхностный интеграл первого рода?
  3. При каких условиях должен существовать поверхностный интеграл первого рода и от чего он не должен зависеть?
  4. Каким образом поверхностный интеграл первого рода можно примести к двойному интегралу?
  5. Как можно вычислить площадь поверхности через поверхностный интеграл первого рода?
  6. Приведите пример вычисления поверхностного интеграла первого рода?