К разделу
ЛЕКЦИЯ 7 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Векторное поле.
  2. Элементарный поток векторного поля.
  3. Поток поля через поверхность.
  4. Вопросы для самопроверки.

Векторное поле

   Если в каждой точке некоторой части пространства определён вектор F, то говорят, что в этой части пространства задано векторное поле. Векторное поле можно определить как векторную функцию векторного аргумента

F : R3 → R3.

Векторное поле представляется также вектором с переменными координатами

F = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).

Если поле отнести к прямоугольной системе координат с ортами осей i, j, k, то векторное поле можно представить в векторном виде

F = P·i + Q·j + R·k.

Элементарный поток векторного поля

   Рассмотрим в векторном поле небольшую область σ на некоторой поверхности. Возьмём на ней произвольную точку М(ξ, η, ς), которую назовём опорной точкой.
   Через опорную точку проведём касательную плоскость и спроектируем ячейку σ поверхности на касательную плоскость и примем эту проекцию σ за основание цилиндра, образующие которого равны по длине и параллельны по направлению вектору поля F (ξ, η, ζ) в опорной точке. Объём полученного цилиндра называется элементарным потоком поля через область поверхности σ (смотри рисунок.).
Этот объём можно представить через скалярное произведение вектора F векторного поля и нормали к поверхности в опорной точке

F(ξ i, ηi, ς i)·n(ξ i, ηi, ς i)·σi.

   Элементарный поток не является определённой величиной для области σ. Он меняется при изменении опорной точки. Если размеры области σ малы, то эти изменения элементарного потока будут незначительными. При изменении направления орта нормали на противоположное элементарный поток меняет только свой знак.

Поток поля через поверхность

   Разобьём область σ произвольным образом на n частей s1, s2, … , sn. В каждой ячейке разбиения выберем произвольную опорную точку (ξ i, ηi, ς i) , определим элементарный поток через эту частичную область

Qi = F(ξ i, ηi, ς i)·n(ξ i, ηi, ς i)·σi.

   Потоком поля через поверхность σ называется предел суммы элементарных потоков через частичные области, на которые разбивается область σ, когда число частичных областей неограниченно растёт, максимальный диаметр частичных областей неограниченно убывает, не зависит от способа дробления области на частичные области, не зависит от выбора опорных точек внутри частичных областей (смотри рисунок.).

.

Обозначим поток векторного поля через поверхность σ обозначается так

.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется скалярным полем?
  2. Что называется линией уровня, поверхностью уровня скалярного поля?
  3. Дайте определение производной по направлению скалярного поля?
  4. Как производная по направлению связана с частными производными?
  5. Дайте определение градиента скалярного поля.
  6. Как расположен градиент поля по отношению линии уровня поля?
  7. Как дифференциал поля выражается через градиент поля?
  8. Как производная поля по направлению выражается через дифференциал поля?
  9. Как найти направление и максимальную скорость изменения скалярного поля в данной точке?
  10. Что называется векторным полем?
  11. Что называется векторной линией векторного поля?
  12. Что называется элементарным потоком векторного поля через элементарную ячейку поверхности?
  13. Как меняется элементарный поток векторного поля, если вектор нормали в ячейке поменять на противоположное?
  14. Как определяется поток векторного поля через поверхность?