К разделу
ЛЕКЦИЯ 8К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Различные виды для вычисления потока.
  2. Пример вычисления потока через замкнутую поверхность.
  3. Формула Остроградского.
  4. Формула Остроградского в векторной форме.
  5. Пример.
  6. Нахождение дивергенции в пакете MAPLE.
  7. Вопросы для самопроверки.

Различные виды для вычисления потока

   Если векторное поле и вектор нормали представлены в виде
F = P·i + Q·j + R·k, n = cos α·i + cos β·j + cos γ·k,
то получим формулу для вычисления потока в координатной форме
.
Если под знаком интеграла воспользоваться соотношениями
,
то формулу для вычисления потока можно представить в виде
.
Если уравнение поверхности разрешено относительно третьей координаты z = f (x, y), то
,
где .
Следовательно,
.
Подставив всё это в формулу вычисления потока, получим
.

Пример вычисления потока через замкнутую поверхность

   Дано векторное поле F = (3x + 5y + 3z) j и плоскость 3·x + 2·y + 3·z = 6, которая с координатными плоскостями образует пирамиду V. Вычислить поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности.
   Р е ш е н и е (смотри рисунок.).
   Поток вектора через поверхность σ σxy σxz σyz равен сумме потоков векторного через каждую составляющую
.
Вычислим значение первого интеграла

Область интегрирования (смотри рисунок.) представим в виде системы неравенств

Далее, приводя двойной интеграл к повторному, получим

Вычислим значение второго интеграла

Значение третьего и второго интеграла равны нулю. Окончательно, поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности равен

Q = 18 − 8 = 10.

Формула Остроградского

   Поток поля через замкнутую поверхность (σ)равен расходу поля из области (V), ограниченной этой поверхностью
.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в пространстве задана правильная трёхмерная область V ограниченной замкнутой поверхностью σ, которая проектируется на плоскость Оху в правильную область D. Предположим, что область σ можно разбить на три части σ1, σ2, σ3, так что уравнения первых двух имеют вид z = f1(x, y) и z = f2(x, y), а третья — есть цилиндрическая область с образующей, параллельной оси Оz. Рассмотрим интеграл
.
Проведём его преобразование

По определению поверхностных интегралов, распространённых по верхней и нижней части рассматриваемой поверхности имеем далее
.
Применив аналогичные преобразования, получим
,.
Сложив эти три соотношения, получим формулу Остроградского.

Формула Остроградского в векторной форме

   Если ввести обозначение
,
то формула Остроградского в векторной форме представится в виде
.
Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен дивергенции этого поля по объёму, заключённому внутри этого объёма.

Свойства дивергенции

Пример

   Дано векторное поле F = (3x + 5y + 3 z) j и плоскость 3·x + 2·y + 3·z = 6, которая с координатными плоскостямио бразует пирамиду V. Вычислить поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности по формуле Остроградского.
   Р е ш е н и е. Дивергенция векторного поля равна
.
По формуле Остроградского имеем
.
Что совпадает с ранее полученным результатом.

Нахождение дивергенции в пакете MAPLE

> restart:with(linalg):
> F:=vector([0,3*x+5*y+3*z,0]):v:= vector([x, y, z]):
> diverge(F, v);

Вопросы для самопроверки

  1. Приведите формулы вычисления потока векторного поля.
  2. Приведите пример вычисления потока поля через замкнутую поверхность.
  3. Сформулируйте и докажите формулу Грина.
  4. Перечислите условия независимости криволинейного интеграла от траектории.
  5. Как вычисляется криволинейный интеграл второго рода в случае независимости криволинейного интеграла от траектории?
  6. Приведите пример вычисления криволинейного интеграла второго рода в случае независимости его от траектории.
  7. Какой вид имеет формула Остроградского?
  8. Докажите формулу Остроградского.
  9. Какой вид имеет формула Остроградского в векторном виде?
  10. Приведите пример вычисления потока поля через замкнутую поверхность по формуле Остроградского.