К разделу
ЛЕКЦИЯ 9 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Формула Стокса.
  2. Пример применения формулы Стокса.
  3. Оператор Гамильтона.
  4. Пример нахождения потенциала векторного поля.
  5. Формальные операции с ∇.
  6. Нахождение потенциала и вихря векторного поля в пакете MAPLE.
  7. Вопросы для самопроверки.

Формула Стокса

   Циркуляция векторного поля вдоль контура на некоторой поверхности равна потоку вихря через область, охватываемую этим контуром
,
где
 — вихрь поля.
   Доказательство. Пусть поверхность σ такая, что всякая прямая, параллельная оси Оz, пересекает её в одной точке. Границу поверхности σ обозначим через λ. Положительное направление нормали n возьмём так, чтобы она образовывала с положительным направлением оси Оz острый угол (смотри рисунок.).
Пусть уравнение поверхности есть z = f (x, y). Направляющие косинусы нормали выражаются соотношениями
, .
Пусть в области V, в которой лежит поверхность σ, задана функция Х(x, y, z), непрерывная вместе с частными производными первого порядка. Рассмотрим криволинейный интеграл по λ
.
На линии λ имеем z = f (x, y), где х и у — координаты точек линии L, которая является проекцией линии λ на плоскость Оху. Следовательно, имеет место равенство
.
Преобразуем последний интеграл по формуле Грина
.
На основании производной сложной функции имеем
.
Подставляя выражение производной сложной функции в последний двойной интеграл, получим
.
Последнее соотношение можно записать в виде

То есть
. (1)
Аналогично можно записать формулы
. (2)
. (3)
Складывая левые и правые части соотношений (1) – (3), получим
.
Если ввести обозначение вихря поля
,
то полученную формулу Стокса можно записать в векторном виде
.

Пример применения формулы Стокса

   Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t.
   Решение (смотри рисунок.).
   Вычислим циркуляцию векторного поля непосредственно
Вычислим теперь циркуляцию по формуле Стокса. Контур Г лежит на плоскости х + у + z = 1. Вектор нормали к этой плоскости имеет координаты
.
Вихрь поля равен
.
Скалярное произведение равно
.
Поэтому

Что совпадает с ранее полученным результатом.

Оператор Гамильтона

   Векторный символ

называется оператором Гамильтона, знак ∇ читается "набла". Так как для скалярной функции U = U ( x, y, z)
,
то градиент можно представить в виде
grad U = ∇ U . (4)
   Полный дифференциал скалярной функции можно представить в виде
dU = ∇ U·dr.
Используя формулу скалярного произведения в координатной форме, получим
.
Используя формулу векторного произведения в координатной форме, получим
∇× F = rot F.
Действительно,
.
Векторное поле
F = P·i + Q·j + R·k.
называется потенциальным, если вектор F есть градиент некоторой скалярной функции.
F = grad U.
В этом случае проекции вектора F есть частные производные этой скалярной функции U.
Из этих равенств следует
,
или
.
Следовательно, признаком потенциальности векторного поля является
rot F = 0.
Таким образом
rot ( grad U ) = 0 . (5)
Применяя оператор ∇, равенство (5) на основании (4) можно записать так
∇ × (∇ U) = 0. (6)
Пользуясь тем свойством, что для умножения векторного произведения на скаляр достаточно умножить на этот скаляр один из сомножителей, соотношение (6) можно записать в виде

( ∇ × ∇ )U = 0.

Оператор ∇ обладает свойствами обыкновенного вектора: векторное произведение вектора на самого себя равно нулю.
   Векторное поле F называется безвихревым, если rot F = 0. Потенциальное поле является безвихревым.
   Векторное поле F, для которого div F = 0, называется соленоидальным или трубчатым. Для соленоидального поля нет источников.
   Докажем, что
div (rot F) = 0 , (7)
то есть поле вихрей является соленоидальным.
   Действительно, если
F = P·i + Q·j + R·k,
то

и поэтому
.
С помощью оператора ∇ равенство (7) запишется так
∇·(∇×F ) = 0.
Смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей есть коллинеарные. Вывод: интенсивность вихревых трубок есть величина постоянная: они замыкаются или сами на себя или на свободные поверхности.
   Легко доказать, что
. (8)
Если ввести символ
,
который называется оператором Лапласа и действие этого оператора рассматривать в соответствии с соглашением
,
то (8) можно представить в виде
div ( grad U ) = Δ U . (9)
С помощью оператора ∇ соотношение (9) можно записать в виде

(∇ · ∇ U) = ΔU,

то есть

∇ · ∇ = Δ.

Уравнение или Δ U = 0 называется уравнением Лапласа.
Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической.
 Согласно dU = dr·∇ U = ( dr·∇ )U выражение можно рассматривать как символ скалярной дифференциальной операции.
 Полагая dr = ds τ, то dU = ds (τ·∇) U. Выражение
называют производной по направлению скалярного поля U.
 Аналогично получается выражение производной векторного поля v по заданному направлению. Изменение векторного поля v при переходе от точки Р, радиус-вектор которой есть r = x i + y j + z k, к точке Р ', радиус-вектор которой r + dr равно
.
С помощью бесконечно малого вектора dr можно преобразовать изменение dv:
 Аналогично выводится производная векторного поля в заданном направлении

Формальные операции с ∇

 Дифференцирование суммы (аддитивное свойство операции ∇):
  1. ∇ ( φ + ψ) = ∇ φ + ∇ ψ,
  2. ∇· ( u + w) = ∇ · u + ∇ · w,
  3. ∇ × ( u + w) = ∇ × u + ∇ × w.
Аддитивное свойство операции ∇ соответствует аддитивному свойству grad, div, rot:
  1. grad ( φ + ψ) = grad φ + grad ψ,
  2. div ( u + w) = div u + div w,
  3. rot ( u + w) = rot u + rot w.
 Действие операции ∇ на произведение нетривиально и требует подробного рассмотрения. При умножении скалярной функции φ на векторную u имеем
  1. ∇ ( φ ψ) = ψ ∇ φ + φ ∇ ψ,
  2. ∇ · ( φ u) =(∇ φ)·u + φ ( ∇ · u),
  3. ∇× ( φ u) =(∇ φ )×u + φ ( ∇ × u).
Эти соотношения для grad, div, rot будут иметь вид
  1. grad ( φ ψ) = ψ grad φ + φ grad ψ,
  2. div ( φ u) =(grad φ)·u + φ ( div u),
  3. rot ( φ u) =(grad φ)×u + φ ( rot u).
Для скалярного произведения двух векторных функций u и w получим
  1. ∇ ( u·v ) = (∇ u)·v + ( ∇ v)·u ,
  2. ∇ · ( u × v ) = v · (∇ × u) − u · ( ∇ × v),
  3. ∇ × ( u × v ) = v · (∇ u) − u · ( ∇ v) + u ∇·v − v ∇·u.

Пример нахождения потенциала вектоного поля

   Показать, что данное векторное поле

F = ( 4 x - 7 y·z)·i + ( 4 y - 7 x·z)·j + ( 4 z - 7 x·y)·k

является потенциальным и найти его потенциал.
   Решение. Компоненты этого векторного поля определятся соотношениями
P = 4 x − 7 y z; Q = 4 y − 7 x z, R = 4 z − 7 x y.
Найдём вихрь этого векторного поля

Так как rot F = 0, то поле потенциально. В этом случае существует такая функция U, что для неё выполняются соотношения
Интегрируем первое уравнение этой системы при постоянных переменных y и z
U = 2 x2 − 7 xyz + φ (y; z ).
Продифференцируем выражение функции U по переменной y
.
Подставим выражение этой производной во второе уравнение системы
.
Проинтегрируем это соотношение по переменной у при постоянной переменной z
φ (y, z) = 2 y2 + ψ (z).
Потенциал в этом случае примет уже вид
U = 2 x2 − 7 xyz + 2 y2 + ψ (z).
Дифференцируем это выражение по переменной z и подставим полученное выражение в третье уравнение системы
.
Приводя подобные и интегрируя оставшееся выражение по переменной z, получим
ψ (z) = 2 z2,
и выражение потенциала окончательно примет вид
U = 2 x2+ 2 y2 + 2 z2 − 7 xyz.

Нахождение потенциала и вихря векторного поля в пакете MAPLE

> restart:with(linalg):
> f:=[4*x-7*y*z,4*y-7*x*z,4*z-7*x*y]:
> potential(f, [x,y,z],'V'); # проверка поля на потенциальность

true

> print(V);

2 x2+ 2 y2 + 2 z2 - 7 xyz

> f := [x^2, x*z, y^2*z]: v := [x, y, z]:
 > curl(f, v);

[2 y z - x, 0, z]

Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте теорему Стокса.
  2. Запишите формулу Стокса в векторном виде.
  3. Докажите формулу Стокса.
  4. Что называется вихрем векторного поля?
  5. Приведите пример применения теоремы Стокса.
  6. Какой вид имеет оператор Гамильтона?
  7. Какой вид имеет оператор Лапласа?
  8. Как оператор Лапласа связан с оператором Гамильтона?
  9. Какие свойства имеет оператор Гамильтона?
  10. Приведите пример нахождения потенциала векторного поля.