Вычислить предел функции 
.
Р е ш е н и е. Под знаком предела бесконечно малую функцию числителя или знаменателя можно заменить на эквивалентную.
Известно, что arctg x = x + о(х), ax = 1 + x· ln a + о(х); в точке х = 0 многочлен
эквивалентен своему моному младшей степени, поэтому
Другой метод решения этого примера заключается в использовании свойства предельного перехода для функций и
теореме о замене под знаком предела числителя или знаменателя на эквивалентную бесконечно малую
Вычислить предел 
.
Р е ш е н и е. Представим предел в виде
Проводя группировку, представим предел в виде
Воспользовавшись формулами суммы n - 1 первых чисел
и суммы квадратов n - 1 первых чисел
выражение предела представим в виде
откуда окончательно получим
Вычислить предел 
Р е ш е н и е. Известно, что
С учётом этого соотношения наш рассматриваемый предел примет вид
Так как под знаком предела бесконечно малые числитель и знаменатель можно заменить на эквивалентные, то этот предел после применения этой теоремы примет
вид, из которого легко получается ответ
Вычислить предел 
.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись тригонометрическими формулами преобразования синуса суммы двух углов, представим предел в виде
Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемы в числителе, представим предел далее в виде
Применив свойства пределов, получим
Для первого предела имеем
Для второго предела имеем
Для третьего предела имеем
Учитывая всё это, получим окончательно
О т в е т: 