ЛЕКЦИЯ 1

Числовые последовательности.
Арифметические действия над числовыми последовательностями.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
Вопросы для самопроверки.

Числовые последовательности

Если каждому числу n из натурального ряда чисел: 1, 2, 3, …, n, … поставлено в соответствие вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁, x₂, …,x_n, … называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Числа x₁, x₂, x₃, …, x_n,… будем называть элементами (или членами) последовательности, x_n = f (n) – формула, по которой находится каждый член последовательности, называется общим членом последовательности. Сокращенно последовательность будем обозначать символом { x_n } Примеры числовых последовательностей

1)
2)
3) a_n = a₁ + (n - 1)·d – арифметическая прогрессия,
4) x_n = x₁·q^{n - 1}– геометрическая прогрессия,
5) x_n = τ (n) – число делителей числа n,
6) x_n = n !

Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Последовательность можно задать соотношением между двумя последовательными членами последовательности. К примеру, арифметическую прогрессию можно задать соотношением a_n = a_n-1 + d, начиная со второго члена. По самому определению, последовательность содержит бесконечное число элементов, любые два ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами.

Арифметические действия над числовыми последовательностями

Пусть даны последовательности {x_n} и {y_n}.

Произведением последовательности {х_n} на число m назовем последовательность m·x₁, m·x₂, …, m·x_n, ….
Суммой данных последовательностей назовем последовательность x₁+ y₁, x₂+ y₂, …, x_n + y_n, ….
Разностью – последовательность x₁ − y₁, x₂− y₂, …, x_n− y_n, …,
Произведением — последовательность x₁·y₁, x₂·y₂, … x_n·y_n,…
Частным — последовательность если все члены последовательности {y_n} отличны от нуля.

Указанные действия над последовательностями символически записываются так:

– m·{ x_n} = {m· x_n}
– { x_n} + { y_n} = { x_n + y_n}
– { x_n} - { y_n} = { x_n - y_n}
– { x_n} · { y_n} = { x_n · y_n}
– если y_n ≠ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Числовая последовательность {х_n} называется ограниченной, если существуют числа m и M, такие, что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенствам m ≤ x_n ≤ M. Пусть А = max{ | m |, | M |}. Тогда условие ограниченности последовательности можно записать в виде | x_n | ≤ А

n ≥ N:

Здесь и в дальнейшем будем пользоваться квантором всеобщности

и квантором существования

. Не вдаваясь в подробности определения этих логических операций, будем читать квантором всеобщности

как "для любого", а квантор существования

как "существует". Последовательность {х_n} называется неограниченной, если для любого как угодно большого положительного числа А существует элемент x_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству | x_n | > A, (т.е. либо x_n > A, либо x_n < - A):

Последовательность ограничена сверху, если все ее элементы принадлежат промежутку ( - ∞, M]:

Последовательность ограничена снизу, если все ее элементы принадлежат промежутку [m, + ∞):

З а м е ч а н и е. Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху (снизу).
Сравнивая запись с помощью логических символов двух последних определений, видим, что при построении отрицаний символы

заменяют друг друга и неравенства меняют свой смысл.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность { х_n} называется бесконечно большой, если для как угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующих номеров n > N выполняется неравенство | x_n | > A:

Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n + 1, … не является бесконечно большой, поскольку при A > 1 неравенство | x_n| > A выполняется не для всех элементов x_n с нечетными номерами.
Определение. Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, зависящий от этого ε, такой, что для любых n > N выполняется неравенство |α_n| < ε:

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями

Теорема 1. Если { х_n} — бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность

бесконечно малая, и, обратно, если {α_n} — бесконечно малая последовательность и все её члены отличны от нуля {α_n} ≠ 0, то последовательность { 1 / α_n } – бесконечно большая.
Доказательство. Пусть { х_n} — бесконечно большая последовательность. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0 и положим

Согласно определению для этого существует такой номер N , что при n > N будет | x_n | > A. Отсюда получаем, что

для всех n > N. А это значит, что последовательность

бесконечно малая.

Оновные свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема.Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {α_n} и {β_n} — бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность α_n ± β_n тоже бесконечно малая. Пусть ε – произвольное как угодно малое положительное число, N₁ – номер, начиная с которого выполняется неравенство

, N₂ - номер, начиная с которого выполняется неравенство

. (Такие номера N₁ и N₂ найдутся по определению бесконечно малой последовательности.) Возьмем N = max {N₁, N₂}, тогда при n > N будут одновременно выполняться два неравенства:

Следовательно, при n > N имеем

Это значит, что последовательность α_n ± β_n бесконечно малая.
  Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  Доказательство. Пусть {α_n} и {β_n} — бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность {α_n·β_n} тоже является бесконечно малой. Так как последовательность {α_n} бесконечно малая, то для любого как угодно малого положительного числа ε> 0 существует номер N₁, зависящий от ε, такой, что для всех последующих номеров n > N₁ ,будет выполнено неравенство

а так как {β_n) – также бесконечно малая последовательность, то для любого как угодно малого положительного числа ε> 0 существует номер N₂, зависящий от ε, такой, что для всех последующих номеров n > N₂ ,будет выполнено неравенство

Возьмём N = max{N₁, N₂}, тогда при n > N будут одновременно выполняться оба неравенства. Следовательно,

Это означает, что последовательность {α_n·β_n} бесконечно малая.
  Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
   Теорема 4.Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
  Доказательство. Пусть {x_n} – ограниченная, а {α_n} – бесконечно малая последовательности. Требуется доказать, что последовательность{x_n·α_n} бесконечно малая. Так как последовательность {x_n} ограничена, то существует число А > 0 такое, что любой элемент числовой последовательности {x_n} удовлетворяет неравенству | x_n| ≤ A. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0. Поскольку последовательность {α_n} бесконечно малая, то для любого как угодно малого положительного числа ε/ A существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство

Следовательно, при n > N имеем

Это означает, что последовательность {x_n·α_n} является бесконечно малой числовой последовательностью.
Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Вопросы для самопроверки

Что называется числовой последовательностью?
Что называется общим членом числовой последовательности?
Как определяются арифметические действия над числовыми последовательностями?
Как символически записываются действия над числовыми последовательностями?
Какая последовательность называется ограниченной снизу?
Какая последовательность называется ограниченной сверху?
Какая последовательность называется ограниченной?
Как символически записывается ограниченность снизу числовой последовательности?
Как символически записывается ограниченность сверху числовой последовательности?
Как символически записывается ограниченность числовой последовательности?
Какая числовая последовательность называется бесконечно большой?
Какая числовая последовательность называется малой?
Как символически записывается определение бесконечно малой числовой последовательности?
Как символически записывается определение бесконечно большой числовой последовательности?
Перечислите свойства бесконечно малых и бесконечно больших числовых последовательностей.
Когда последовательность считается заданной? Приведите примеры.
В чем заключается рекуррентное задание последовательности? Приведите пример.
Дайте геометрическую интерпретацию последовательности. Приведите примеры.
Дайте определение арифметических действий над последовательностями.
Почему из определения последовательности следует, что она имеет бесконечное число элементов?
Сформулируйте определение арифметической прогрессии.
Выведите формулу суммы n членов арифметической прогрессии.
Сформулируйте определение геометрической прогрессии.
Выведите формулу суммы n членов геометрической прогрессии.
Сформулируйте определения ограниченной и неограниченной последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.
Приведите пример ограниченной последовательности, которая: а) имеет и наибольший и наименьший элемент; б) имеет наибольший, но не имеет наименьшего элемента; в) имеет наименьший, но не имеет наибольшего элемента.
Сформулируйте определения бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.
Приведите пример неограниченной последовательности, не являющейся бесконечно большой.
Можно ли назвать бесконечно малой последовательность с общим элементом х_n = 0?
Приведите пример, когда значения элементов бесконечно малой последовательности, возрастая, стремятся к нулю.
Приведите пример, когда значения элементов бесконечно большой последовательности убывают при возрастании n.
Дана последовательность Почему эта последовательность не является бесконечно малой, несмотря на то что, какое бы малое число ε > 0 мы ни взяли, среди элементов последовательности всегда найдутся элементы, по модулю меньшие чем ε? Почему эта последовательность не является бесконечно большой, несмотря на то что, какое бы большое число А > 0 мы ни взяли, среди элементов последовательности всегда найдутся элементы, по модулю большие, чем А?
Является ли бесконечно малая последовательность ограниченной?
Известно, что последовательность { х_n } является: а) бесконечно малой; б) бесконечно большой. Следует ли отсюда, что последовательность {1/ х_n } (при условии х_n ≠ 0 для всех n) является: а) бесконечно большой; б) бесконечно малой?