ЛЕКЦИЯ 2

ЛЕКЦИЯ 2

Определение предела числовой последовательности.
Лемма о непрерывности расстояния.
Предел постоянной величины.
Единственность предела.
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
Предел суммы или разности сходящихся последовательностей.
Предел произведения сходящихся числовых последовательностей.
Предел частного сходящихся числовых последовательностей.
Предельный переход в неравенствах.
Предел промежуточной последовательсности.
Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
Монотонные последовательности.
Теорема Больцано – Вейерштрасса.
Теорема о вложенных отрезках.
Предел в несобственном смысле.
Неопределённости.
Примеры.
Вопросы для самопроверки.

Определение предела числовой последовательности

Последовательность точек x_n

R на числовой оси называется сходящейся, если существует такая точка M ₀, что для для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 найдётся для этой последовательности номер, зависящий от этого ε, такой, что для всех последующих номеров расстояние между членами числовой последовательности и точкой M₀ будет меньше этого ε:

(2.1) Это означает, что в любую как угодно малую окрестность точки М₀ попадают все точки этой последовательности, начиная с некоторой (и тем самым вне этой окрестности остаётся лишь конечное число точек последовательности). Расстояние между точками числовой оси было определено в курсе аналитической геометрии.
Точка М₀ называется пределом последовательности x_n, что обозначается символом

.
Если для заданной последовательности не существует точки М₀, для которой было бы справедливо свойство (2.1), то последовательность называется расходящейся.
Для точек числовой оси расстояние между двумя любыми её точками определяется соотношением d (x, y) = | x - y |. Последовательность действительных чисел {x₁, x₂, x₃,…,x_n,…} сходится к числу х, если

Неравенство | x_n - x | < ε можно записать в виде x - ε < x_n < x + ε,

n > N и

n > N все точки числовой последовательности будут находиться в указанном интервале.

Лемма о непрерывности расстояния

Если и , то .

Доказательство. Так как

, то

Так как

, то

Так как имеет место неравенство четырёхугольника

то в случае для N = max{N₁, N₂} и n > N имеем

что и требовалось доказать.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если последовательность {x_n} сходится и имеет своим пределом число a, то символически это записывается так:

или x_n→ a при n → ∞

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.
Замечание 1. Пусть последовательность {x_n}имеет своим пределом число a. Тогда {α_n} = {x_n - a } является бесконечно малой последовательностью, так как для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, зависящий от этого ε такой, что при n > N выполняется неравенство |α_n| = | x_n - a | < ε. Следовательно, любой элемент x_n последовательности, имеющей пределом число a, можно представить в виде суммы значения предела и бесконечно малой числовой последовательности: x_n = a + α_n, где α _n – члены бесконечно малой последовательности {α _n}.Очевидно, справедливо и обратное: если x_n можно представить в виде x_n = a + α_n, где {α _n} – бесконечно малая последовательность, то

Замечание 2. Неравенство | x_n - a | < ε равносильно неравенствам - ε < x_n - a < ε или a - ε < x_n < a + ε, которые означают, что элемент x_n находится в ε – окрестности точки a, начиная с некоторого номера N. Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать следующим образом: число a называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любой ε – окрестности точки a существует номер N, зависящий от ε такой, что все элементы x_nс номерами n > N находятся в этой ε– окрестности точки a.
Замечание 3. Будем говорить, что бесконечно большая последовательность {x_n } имеет бесконечный предел, и записывать так:

Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительны (отрицательны), то последнее записывается так

З а м е ч а н и е 4. Очевидно, всякая бесконечно малая последовательность является сходящей и имеет своим пределом число a = 0.

Предел постоянной величины

Если все элементы последовательности {x_n} равны одному и тому же числу с, то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что условие | c - c | < ε выполняется, начиная с любого номера N и для любого как угодно малого положительного числа ε > 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Доказательство. Пусть

, это значит, что

. В этом случае

. Это означает, что

Единственность предела

Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.
Доказательство. Предположим противное, т.е. что сходящаяся последовательность {x_n} имеет два предела a ≠ b. Тогда

. Так как числовая последовательность имеет второй предел, то

. Пусть N = max{N₁, N₂ }, тогда при всех n > N имеем

. И, поскольку ε является как угодно малым положительным числом, как единственно возможное, имеем a = b.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена.
Определение. Числовая последовательность {x_n} ограничена, если существует такое конечное число К, что для всех n выполнено d (x_n, a ) < K. Доказательство. Пусть

Тогда

n > N: d (x_n, a) < 1. Внутри окрестности радиуса R = 1 бесконечное число точек, а вне этой окрестности конечное число точек, допустим, что это точки x₁, x₂, … x_N. Выберем число

, тогда уже для всех n будет выполнено d (x_n, a ) < K.

Предел суммы или разности сходящихся последовательностей

Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n) есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {x_n} и {y_n).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a и b – соответственно пределы последовательностей {x_n} и {y_n}. Тогда по определению имеем

Абсолютная величина разности может быть как угодно малой при всех n > N, если выбрать N = max{N₁, N₂ }:

, что и доказывает сходимость последовательности {x_n ± y_n} к a ± b.

Предел произведения сходящихся числовых последовательностей

Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.
Доказательство. Пусть a и b – есть соответственно пределы последовательностей {x_n} и {y_n}. Тогда по определению

Выберем M = max {N₁, N₂} для того, чтобы неравенства выполнялись, начиная с одного и того же N. Рассмотрим разность

. Так как последовательность у_n имеет конечный предел, то она ограничена и поэтому существует такое положительное число A, что для n > N будет выполнено | y_n | < A. И поэтому абсолютная величина разности

может быть сделано как угодно малой, начиная с некоторого номера N. Это означает, что последовательность {x_n·y_n} сходится и имеет своим пределом число a·b.

Предел частного сходящихся числовых последовательностей

Частное двух сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} при условии, что предел последовательности {y_n} отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x_n} и {y_n}:

Доказательство. Пусть a и b – соответственно пределы последовательностей числовых последовательностей {x_n} и {y_n}. Тогда по определению

. Так как у_n → b ≠ 0, (предположим, что b > 0) выберем ε таким, что

, тогда

. для n > N₂. Из неравенства

следует неравенство

. Абсолютная величина разности

начиная с N = max{N₁, N₂}, есть ε₁– новая как угодно малая положительная величина.
Предельный переход в частном можно обосновать ещё и другим путём.
Т е о р е м а 1. Если

то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как

, то

Так как b ≠ 0, то

, поэтому для N = max{N₁, N₂} и n > N имеем

. Т е о р е м а 2 . Если

, то

.
Д о к а з а т е л ь с т в о.

Предельный переход в неравенствах

Если x_n ≤ y_n и

, то x ≤ y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как

, то

Так как

, то

Для n > N₁ имеем x - ε < x_n < x + ε. Для n > N₂ имеем у - ε < у_n < у + ε. Выберем N = max{N₁,N₂}, тогда неравенства будут выполняться одновременно. Пусть, наоборот, х > y. Выберем ε таким, чтобы окрестности x - ε < x_n < x + ε и у - ε < у_n < у + ε не пересекались, то есть у + ε < х - ε, откуда находим

. Но тогда для n >N имеем x_n ≥ y_n, что противоречит условию теоремы.
Для трёх последовательностей {x_n}, {y_n}, {z_n}, из того, что x_n + y_n ≤ z_n и

, следует a + b ≤ c.

Предел промежуточной последовательности

Если, начиная с некоторого номера, выполнено x_n≤ y_n≤ z_n и

, то и

.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , то

Так как

, то

Выберем N = max{N₁, N₂}, тогда при n > N в силу неравенств x₀ - ε < x_n < x₀ + ε и x₀ - ε < z_n < x₀ + ε будут выполнены неравенства x₀ - ε < x_n ≤ y_n ≤ z_n < x₀ + ε, что означает

Верхняя и нижняя грани числовых множеств

Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху числовое множество Е

R, называется его верхней гранью и обозначается β = sup E, то есть

x E: x ≤ β,
ε > 0 x E: x > β - ε.

Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих числовое множество Е

R, называется его нижней гранью и обозначается α = inf E, то есть

x E: x ≥ α,
ε > 0 x E: x < α + ε.

Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {x_n} называется возрастающей, если для всех номеров n имеем x_n < x_n+1; неубывающей, если для всех номеров n имеем x_n ≤ x_n+1; убывающей, если для всех номеров n имеем x_n > x_n+1; невозрастающей, для всех номеров n имеем x_n ≥ x_n+1.

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность должна иметь предел.
Действительно. В этом случае для возрастающей последовательности должна существовать такая точка ξ , для которой а) справа нет ни одной точки последовательности, б) слева от неё в любой как угодно малой окрестности существует бесконечно много членов последовательности. Если справа от точки ξ попалась хотя бы одна точка последовательности, то из-за возрастания последовательности справа от точки ξ будет бесконечно много членов числовой последовательности. Тогда это должна быть другая точка η > ξ и так далее. Если всё - таки такой точки не будет, то это приведёт к противоречию с требованием ограниченности последовательности. Так как в сколь угодно малой окрестности точки ξ (хотя бы слева) есть бесконечное число точек последовательности, то эта точка ξ является пределом этой последовательности. Если слева было бы конечное число точек последовательности и бесконечно справа, то это была бы другая точка ξ, что приводит опять к противоречию об ограниченности последовательности.
Существует другая формулировка теоремы Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть последовательность ограничена, то есть существует такой отрезок [а, b], что х_n

[а, b]

n = 1, 2, 3, … Разделим отрезок [а, b] пополам, и по крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечно много элементов данной последовательности. Пусть это будет отрезок [а₁, b₁], и так далее. Получим систему вложенных отрезков (см. ниже) [a, b]

[a₁,b₁]

[a₂,b₂]

…

[a_n,b_n]

… Выберем по одному элементу последовательности из каждого отрезка

Последовательность {x_{n_k}} является подпоследовательностью последовательности {x_n}. Так как

то существует такая точка ξ

[а, b], что

Так как a_n ≤ x_n ≤ b_n, то

Теорема о вложенных отрезках

Пусть дана последовательность отрезков [а₁;b₁], [а₂;b₂],…, [а_n;b_n],… таких, что каждый последующий содержится в предыдущем: [а₁; b₁]

[а₂; b₂]

…

[а_n; b_n]

…, т.е. a_n≤ a_n+1 < b_n+1≤ b_n для всех n и пусть

Будем называть эту последовательность последовательностью вложенных отрезков.
Теорема3. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия теоремы следует, что левые концы отрезков образуют неубывающую последовательность а₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤…≤ a_n ≤…, а правые концы – невозрастающую последовательность b₁ ≥ b₂≥ b₃ ≥…≥ b_n≥…. При этом последовательность левых концов ограничена сверху, а последовательность правых концов ограничена снизу, так как a_n≤ b₁, а b_n≥ a₁ для любого n. Следовательно, на основе теоремы Больцано – Вейерштрасса эти последовательности имеют предел.
Пусть

, а

. Тогда из условия

следует, что c ' = c '', т.е. последовательности {a_n} и {b_n} имеют общий предел. Обозначая этот предел буквой с, получаем, что для любого номера n справедливы неравенства a_n≤ c ≤ b_n, т.е. точка с принадлежит всем отрезкам последовательности вложенных отрезков.
Докажем теперь, что такая точка только одна. Допустим, что существует еще одна точка c₁ (c₁ ≠ c), принадлежащая всем отрезкам последовательности вложенных отрезков. Тогда для любого n > N должно выполнятся неравенство

, и, следовательно, начиная с некоторого номера, b_n - a_n ≥ | c₁ - c |, что противоречит условию теоремы.

Предел в несобственном смысле

О п р е д е л е н и е. Δ– окрестностью "точки + ∞" ("точки - ∞") называется множество точек числовой оси, удовлетворяющих неравенству Δ < x < + ∞ (- ∞ < x < Δ). Δ – окрестностью " точки ∞ " называется множество точек числовой оси, не принадлежащих сегменту [-Δ, + ∆].
О п р е д е л е н и е.

, если

Аналогично

, если

Т е о р е м а 4. Последовательность { x_n} сходится к + ∞ (или - ∞) тогда и только тогда, когда произвольная окрестность "точки + ∞" (или - ∞) содержит все точки последовательности, кроме конечного их числа.
Т е о р е м а 5 . Пусть n → ∞. Тогда

Если х_n → + ∞ и y_n > m , то x_n + y_n → + ∞.
Если х_n → - ∞ и y_n < М, то x_n + y_n → - ∞.
Если х_n → + ∞ и y_n > m > 0, то x_n · y_n → + ∞.
Если х_n → 0 и | y_n | < M, то x_n · y_n → 0.
Если х_n → + ∞ и 0 < y_n < М, то x_n / y_n → + ∞.
Если х_n → 0 и | y_n| > m > 0, то x_n / y_n → 0.
Если | х_n| < M и |y_n| → + ∞, то | x_n / y_n| → 0.
Если | х_n| > m > 0 и | y_n| → 0, то | x_n / y_n| → + ∞.

Д о к а з а т е л ь с т в о первого свойства.

Тогда

что и означает х_n+ y_n → + ∞.
Д о к а з а т е л ь с т в о седьмого свойства.

Тогда

Что и означает

Неопределённости

Говорят о неопределённостях для разности { x_n - y_n} расходящихся последовательностей { x_n} и { y_n}, когда х_n→ + ∞ и y_n → + ∞ при n → ∞.
Говорят о неопределённостях для частного {x_n/ y_n} последовательностей {x_n} и {y_n}, когда x_n → + ∞ и y_n → + ∞ или когда x_n→ 0 и y_n→ 0 при n → ∞.
Говорят о неопределённостях для произведения {x_n·y_n} для последовательностей { x_n} и { y_n}, когда x_n→ + ∞ и y_n→ 0.

Примеры

П р и м е р 1. Покажем, что

. Выберем произвольное как угодно малое положительное число ε, по этому ε найдём номер N[1 / ε], что из неравенства

n > N будет следовать

, что и означает

.
П р и м е р 2. Доказать, что

Р е ш е н и е. Для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 необходимо указать такой номер N = N(ε), начиная с которого будет выполнено неравенство

. Р е ш е н и е.

Таким образом,

и при n > N(ε) выполняются условия существования предела.
П р и м е р 3.Используя определение предела последовательности, докажем, что справедливо соотношение

Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0. Так как

то для нахождения значений n , удовлетворяющих неравенству |x_n - 1| < ε достаточно решить неравенство 1 / (n + 1) < ε, откуда получаем n > (1 - ε) / ε, т.е. N = [(1 - ε) / ε]. Тогда неравенство |x_n - 1| < ε будет выполняться при всех n > N. Этим и доказано, что

П р и м е р 4. Найти предел

При n → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, следовательно, принять теорему о пределе частного нельзя, так как в условии теоремы предполагается существование конечных пределов числителя и знаменателя. Преобразуем данную последовательность, разделив числитель и знаменатель на n² . Затем, применяя теоремы о пределе частного и о пределе суммы, найдем

П р и м е р 5. Найти предел числовой последовательности

Р е ш е н и е.

Если члены числовой последовательности представлены в виде рациональной дроби, то при больших значениях n преобладают высшие степени числителя и знаменателя, и они определяют значение предела:

П р и м е р 6. Вычислить предел

Р е ш е н и е.

П р и м е р 7. Вычислить предел

Р е ш е н и е.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте определение предела последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию.
Как символически записывается определение предела?
Как связаны члены числовой последовательности с пределом числовой последовательности?
Что можно сказать о пределе бесконечно большой последовательности?
Приведите примеры, когда номер N в определении предела последовательности зависит от ε; не зависит от ε.
Является ли бесконечно малая последовательность сходящейся?
Является ли бесконечно большая последовательность сходящейся?
Может ли последовательность иметь два разных предела?
Может ли неограниченная последовательность быть сходящейся?
Приведите пример ограниченной последовательности, но не являющейся сходящейся.
Приведите пример сходящейся и ограниченной последовательности.
Приведите примеры сходящихся последовательностей, когда: а) элементы последовательности с ростом n приближаются к пределу только с одной стороны; б) с двух сторон одновременно. Дайте геометрическую интерпретацию.
Какая последовательность называется расходящейся?
Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечно много элементов последовательности {x_n}. Следует ли из этого условия, что ?
Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много элементов последовательности {x_n}. Следует ли отсюда, что
Может ли последовательность с положительными элементами иметь отрицательный предел, а последовательность с отрицательными элементами — положительный предел?
Приведите пример, когда при переходе к пределу строгое неравенство сохраняется (не сохраняется).
Сформулируйте определения: а) невозрастающей и возрастающей последовательностей; б) неубывающей и убывающей последовательностей.
Приведите пример немонотонной последовательности.
Приведите пример монотонной ограниченной (неограниченной) последовательности.