ЛЕКЦИЯ 3

Число е.
Ускоренная сходимость к числу е.
Иррациональность числа е.
Внутренняя сходимость числовой последовательности. Критерий Коши.
Некоторые замечательные пределы числовых последовательностей
–
– , если 0 < α < 1,
–,
–, если α > 1,
Вопросы для самопроверки.

Число е

Значение предела вида

обозначается символом е (натуральное число).
Рассмотрим последовательность с общим членом в виде

. Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена. Для доказательства этого разложим

по биному Ньютона:

Выражение в каждой скобке представляет собой правильную дробь. Если выражения в каждой из этих скобок заменить нулём, то правая часть равенства уменьшится, и вместо равенства получим неравенство вида

. При n > 1 все слагаемые положительны, причём с возрастанием номера n увеличивается и число слагаемых, и каждое слагаемое в отдельности. Следовательно, последовательность

возрастает с возрастанием номера n, начиная с наименьшего значения, равного двум. Если же в правой части выражения в каждой скобке заменить единицей, а все множители знаменателей, начиная с третьего — на двойки, то получим сумму, большую первоначальной:

. По формуле суммы n членов геометрической прогрессии

имеем

. Поэтому

. Таким образом, последовательность с общим членом

возрастает с возрастанием номера n и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел, который заключён между числами 2 и 3. Этот предел обозначают буквой е.

Ускоренная сходимость к числу е

Последовательность

также имеет своим пределом число е.
Действительно, если k

N фиксировано и k < n, то из разложения

по биному следует

. Переходя в этом неравенстве к пределу при n → ∞, имеем для произвольного k

Это неравенство имеет место при любом k. Кроме этого, из вышесказанного следует, что а_n < y_n и, следовательно, а_n < y_n ≤ e. Поэтому последовательность { y_n} возрастает и и по теореме о пределе промежуточной последовательности она имеет пределом число е.
Последовательность { y_n} более быстро сходится и поэтому удобна для приближённого вычисления числа е. Чтобы доказать это, оценим разность e - y_n.
Имеем

Зафиксировав n и устремив m к бесконечности, получим

. Из этого неравенства вытекает, что

. Откуда получаем удобную формулу для приближённого вычисления числа е

. Погрешность, которую допускаем, заменяя число е на y_n, не превосходит величины

, где 0 < θ_n < 1

N. Например, при n = 10

Иррациональность числа е

Допустим, что число е является рациональным и

. Тогда

. В этом случае справедливо соотношение

. Это равенство противоречиво, так как справа целое число, а слева дробь. Источник противоречия в предположении, что число е является рациональным. Следовательно, число е является иррациональным.
Другое доказательство монотонности последовательности

.
Рассмотрим отношение последующего к предыдущему члену последовательности

Воспользуемся соотношением

для

. В этом случае имеем очевидное неравенство

, из которого следует

. Из последнего неравенства имеем

или

. В этом случае имеем

. Таким образом

, что и требовалось доказать.

Внутренняя сходимость числовой последовательности. Критерий Коши

Определение. Числовая последовательность а₁,а₂,… a_n,… называется внутренне сходящейся, если

.   Критерий Коши. Всякая внутренне сходящаяся последовательность имеет предел. И наоборот, если последовательность имеет предел, то она внутренне сходится.
  Важность критерия Коши состоит в том, что он даёт возможность говорить о пределе последовательности на основании рассмотрения самой последовательности, не имея какой - либо информации об этом пределе.
  Доказательство. (Достаточность). Пусть последовательность а₁, а₂,…, a_n,… имеет предел

. Это значит, что

. В этом случае

, " n, m > N.
Доказательство (необходимость). Пусть для числовой последовательности a₁, a₂,…, a_n, …критерий Коши выполнен, тогда все числа а_n лежат в конечном интервале. По теореме Больцано - Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Если бы при этом последовательность не имела бы предела, то можно было бы выделить подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам. Но это привело бы к противоречию с тем, что критерий Коши выполнен.
Докажем, что

, если р > 0.
Лемма. Если 1 + h > 0, то (1 + h)ⁿ > 1 + h·n при натуральном значении n.
Доказательство проведём по методу математической индукции. При n = 2 неравенство (1 + h)² > 1 + 2·h справедливо. Пусть оно справедливо при некотором значении m: (1 + h)^m > 1 + m·h. Докажем, что оно справедливо и при m + 1. Умножим предыдущее неравенство на 1 + h: (1 + h )^m·(1 + h) > (1 + m·h)·(1 + h). Далее имеем (1 + h )^m+1 > 1 + h + mh + mh² = 1 + h(1 + m) +mh² > 1 + h(1 + m), что доказывает справедливость неравенства при m + 1. В соответствии с методом математической индукции следует справедливость неравенства при любом n. Введём обозначение

. В этом случае

, откуда следует, что

. Используя теорему о пределе промежуточной последовательности, имеем

и, таким образом,

. Если же р < 1, то

. Возводя обе части этого соотношения в n - ю степень, получим далее

. Из этого неравенства имеем

, откуда следует неравенство

. По теореме о пределе промежуточной последовательности имеем

. Так что и в этом случае справедливо соотношение

. Докажем, что

, если 0 < q < 1.
Доказательство. Так как 0 < q < 1, то

, где h > 0, и

. Используя теорему о пределе промежуточной последовательности, получим окончательно

. Геометрическая интерпретация пределов

, если р > 0 (рисунок 1) и

, если 0 < q < 1 (рисунок 2) состоит в асимптотическом поведении графиков рассматриваемых функций.
При фиксированном основании степени из указанного промежутка при увеличении показателя степени до бесконечности значения степени этого числа стремятся к нулю. При фиксированном подкоренном выражении из указанного промежутка при увеличении показателя степени корня до бесконечности значения корня этого выражения стремятся к единице.
Доказать, что

.
Доказательство. Рассмотрим последовательность

. Возводя обе части последнего равенства в n - ю степень, получим

. Решив это неравенство относительно h_n, получим

. С другой стороны, справедливы неравенства

. Используя теорему о пределе промежуточной последовательности, из этого получим

, что и требовалось доказать.
Доказать , если α > 1
Доказательство. Наряду с числовой последовательностью

рассмотрим числовую последовательность

Так как α > 1, то

. В этом случае имеем

. Тогда можно утверждать, что

и по теореме о пределе промежуточной последовательности окончательно имеем

, что и требовалось доказать.

Вопросы для самопроверки

Докажите теорему о сходимости монотонной последовательности для случая невозрастающей последовательности.
Предел какой последовательности назван числом e?
Сформулируйте теорему о вложенных отрезках.
Дайте геометрическую интерпретацию последовательности вложенных отрезков.
Приведите пример последовательности вложенных отрезков, стягивающихся к точке с = 3.
Последовательность x_n задается двумя первыми элементами x₁ = 0, x₂ = 1 и рекуррентным соотношением x_n+2 = x_n+1 - x_n для любого ноиера n > 1. Найдите х₉₀ и x₈₈₅.
Докажите, что последовательность является бесконечно большой.
Докажите, что последовательность является бесконечно малой.
Докажите теорему: если {а_n} - бесконечно малая последовательность, (a_n ≠ 0), то { x_n} = {1/а_n } — бесконечно большая последовательность.
Покажите, что неограниченная последовательность не является бесконечно большой.
Докажите, что последовательность имеет своим пределом число 2.
Докажите, что последовательность имеет своим пределом число 0.
Докажите, что .
Докажите, что если , то .
Известно, что последовательность {x_n} бесконечно большая, а последовательность {у_n} имеет конечный предел а ≠ 0. Что можно сказать о последовательности {x_n·y_n}?
Известно, что последовательность {x_n} расходится, а последовательность {у_n} имеет конечный предел а ≠ 0. Что можно сказать о сходимости последовательности {x_n·y_n}?
Известно, что последовательности {x_n} и {y_n} расходятся. Могут ли последовательности {x_n + у_n}, {x_n· у_n} быть сходящимися? Расходящимися?
Найдите значения пределов:

1) 2)

3) 4)
Докажите, что , (a - любое число).
Найдите .
Найдите .