ЛЕКЦИЯ 4

Определение предела функции.
Односторонние пределы.
Предел функции в бесконечности.
Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.
Теорема о пределе алгебраической суммы функций.
Теорема о пределе произведения конечного числа функций.
Предел отношения двух функций.
Предел промежуточной функции.
Предел суперпозиции двух функций.
Предельный переход в неравенстве.
Вопросы для самопроверки.

Определение предела функции

Функцией, определённой на множестве Е со значениями в множестве F называется правило f, в соответствии с которым каждому элементу х из множества Е (х

Е) ставится в соответствие определённый элемент у из множества F (у

F). В этом случае пишут f: E → F, или у = f (х). Элемент х

Е называется аргументом функции, элемент у

F называют значением функции. Понятие множества считается интуитивно ясным. Множество задаётся правилом, согласно которому устанавливается, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.
Определение. Точка х₀ = а

Е называется точкой сгущения множества А

Е, если произвольная окрестность точки х₀ содержит хотя бы одну точку множества А, отличную от х₀. Сама точка х₀ может принадлежать множеству А или не принадлежать.
Число А называется пределом функции f (х), если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от ε число δ >0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х₀| < δ выполняется неравенство | f (х) – А | < ε.
Используя логические символы, это определение можно записать в виде (

ε > 0 ) (

δ = δ (ε) > 0 ) (

0 < | x - x₀ | < δ ) : | f (x) – A | < ε Определение. Окрестность точки х₀

(а, b) называется выколотой, если из неё удалена сама точка х₀.
Вышеприведённое определение функции в точке в этом случае можно перефразировать так: для любой как угодно малой ε - окрестности числа А существует такая выколотая δ - окрестность точки х₀, что для всех значений аргумента из этой выколотой δ - окрестности точки х₀ значения функции будут находиться в ε - окрестности числа А.
В связи с тем, что числовая ось задаёт взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками числовой оси, для нас понятие действительного числа и точки числовой оси будут синонимами.

Односторонние пределы

Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента меньших чем х₀ и отличающихся от него на величину меньшую δ, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ε: (

ε > 0 ) (

δ = δ (ε) > 0 ) (

x₀ - δ < x < x₀) : | f (x) – A | < ε. Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента больших, чем х₀ и отличающихся от него на величину меньшую чем δ, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ε: (

ε > 0 ) (

δ = δ (ε) > 0 ) (

x₀< x < x₀+ δ) : | f (x) – В | < ε Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как

Теорема. Функция f (x) имеет в точке х₀ конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Доказательство. Пусть

Тогда, согласно определению предела функции слева и справа, (

ε > 0 ) (

δ₁ = δ₁ (ε) > 0 ) (

x₀– δ₁ < x < x₀) : | f (x) – A | < ε. (

ε > 0 ) (

δ₂ = δ₂ (ε) > 0 ) (

x₀< x < x₀+ δ₂) : | f (x) – A |<ε Возьмем δ = min{δ₁,δ₂}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < | х - х₀| < δ, будет выполняться неравенство | f (x) - A | < ε. Что и означает

Обратно, пусть

Тогда, по определению предела функции в точке, для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от этого ε число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х₀| < δ, выполняется неравенство | f (х) – А | < ε. Тем самым, как для х₀– δ < х < х₀, так и для х₀ < x < х₀ + δ, справедливо неравенство | f (х) – А | < ε. А это,согласно определению односторонних пределов, означает, что

Предел функции в бесконечности

Число А называется пределом функции f (x) при х → ∞, если для любого как угодно малого положительного числа ε, найдётся зависящее от этого ε большое положительное число К, такое, что для всех значений аргумента, больших по величине этого числа К, значения функции отличаются по величине от указанного числа А меньше, чем на ε: (

ε > 0 ) (

K = K ( ε ) > 0 ) (

| x | > K ) : | f ( x ) − A | < ε. Число В называется пределом функции f (x) при х → + ∞, если для любого как угодно малого положительного числа ε, найдётся зависящее от этого ε большое положительное число К, такое, что для всех значений аргумента, больших этого числа К, значения функции отличаются по величине от указанного числа В меньше, чем на ε: (

ε > 0 ) (

K = K ( ε ) > 0 ) (

x > K ) : | f ( x ) − B | < ε. Такие пределы символически имеют запись

Предел функции f (x)при х → – ∞ формулируется аналогично: если для любого как угодно малого положительного числа ε, найдётся зависящее от этого ε большое отрицательное число К, такое, что для всех значений аргумента, меньших этого числа К, значения функции отличаются по величине от указанного числа В меньше, чем на ε.

Теоремы о пределах функций

Пусть числовые функции f (x) и g (x) определены на некотором интервале, быть может, кроме точки х₀ этого интервала, и имеют конечные пределы в этой точке

Тогда

если | A | < ∞, то функция f (x) ограничена в окрестности точки х₀.
Доказательство. Так как то ( ε > 0 ) ( δ = δ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < δ ) : | f (x) − A | < ε Из этого определения следует ограниченность функции: A - ε < f (x) < A + ε в окрестности x₀– δ < x < x₀ + δ, что и требовалось доказать.
Предел алгебраической суммы конечного числа функций, имеющих в данной точке конечный предел, равен алгебраической сумме пределов этих функций в этой же точке: Доказательство. Так как по условию теоремы существуют пределы и то ( ε > 0 ) ( δ₁ = δ₁ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₁ ) : | f (x) − A | < ε
( ε > 0 ) ( δ₂ = δ₂ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₂ ) : | g (x) − B | < ε Выберем δ = min{δ₁, δ_2}}. В этом случае 0 < | x - x₀| < δ неравенства | f (x) - A| < ε/2 и | g(x) – B | < ε/2 будут выполняться одновременно. И в этом случае модуль разности " 0 < | x - x₀| < δ является как угодно малой величиной. Это означает, что выполняется свойство Что и требовалось доказать.
Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, при условии, что последние существуют. Доказательство. Так как по условию теоремы существуют пределы и то ( ε > 0 ) ( δ₁ = δ₁ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₁ ) : | f (x) – A | < ε,
( ε > 0 ) ( δ₂ = δ₂ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₂ ) : | g (x) – B | < ε. Выберем δ = min{δ₁, δ₂}. В этом случае 0 < | x - x₀| < δ неравенства | f (x) - A | < ε и | g(x) – B | < ε будут выполняться одновременно, и функция g (x) является ограниченной окрестности точки x₀. И в этом случае модуль разности 0 < |x - x₀| < δ является как угодно малой величиной. Это означает, что выполняется свойство что и требовалось доказать.
Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, при условии, что последние существуют и предел знаменателя не равен нулю.
Докажем вспомогательное утверждение: если , то .
Доказательство. Из условия существования предела следует Так как g(x) имеет ненулевой предел, то В этом случае разность может быть сделана как угодно малой " 0 < |x – x₀| < δ если считать, что δ = min{δ₁,δ₂}
Предел отношения двух функций, имеющих предел в данной точке, равен отношению пределов этих функций в той же точке, если предел знаменателя отличен от нуля: и , то Доказательство легко вытекает из предыдущих утверждений
Предел промежуточной функции
Если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство g (x) < f (x) < p (x) и то Доказательство. Так как то ( ε > 0 ) ( δ₁ = δ₁ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₁ ) : | g (x) – A | < ε Так как , то ( ε > 0 ) ( δ₂ = δ₂ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₂ ) : | p (x) – A | < ε Пусть δ = min(δ₁,δ₂} то " 0 < |x - x₀| < δ имеем A – ε < g ( x ) < f ( x ) < p ( x ) < A + ε то есть ( ε > 0 ) ( δ = δ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < δ ) : | f (x) – A | < ε. Это означает, что
Предел суперпозиции двух функций.
Пусть функция g отображает выколотую окрестность точки х₀ (а, b) радиуса δ в выколотую окрестность точки y₀ (c, d). Это значит, что найдётся такое число Δ, что для всех значений аргумента х, не совпадающих с х₀ и меньших по величине этого числа Δ, значения функции не будут принимать значения у₀: ( Δ > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < Δ ) : | g ( x ) – y₀ | > 0. Пусть функции g: (a, b) → (c, d) и f : (c, d) \ { y₀} → Z и имеют пределы и Тогда Доказательство. Так как то ( ε > 0 ) ( σ = σ (ε) > 0 ) ( 0 < | y - y₀ | < σ ) : | f (y) – A | < ε. Далее " σ > 0, в том числе и для только что указанного, имеем Это влечёт за собой неравенство | f ( g ( x ) ) - A | < ε, 0 < | x - x₀ | < δ, что и означает .
Предельный переход в неравенстве.
   Пусть в некоторой выколотой δ – окрестности точки х₀ функции f (x) и g (x) определены и выполнено неравенство f (x) < g (x). Пусть существуют пределы и тогда справедливо неравенство А ≤ B.
  Доказательство. Пусть это не так,пусть А > B. Выберем как угодно малое положительное число ε таким, чтобы окрестности точек А и В не пересекались (A – ε; A + ε ) ∩ (B – ε; B + ε ) ) = Ø Кроме того по предположению Знак между интервалами означает, что интервал (A - ε; A + ε) лежит правее интервала (B - ε; B + ε).
   Из существования пределов функций f (x) и g (x) в точке х₀ следует ( ε > 0 ) ( δ₁ = δ₁ (ε) > 0, δ₁ < Δ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₁ ) : | f (x) – A | < ε, и ( ε > 0 ) ( δ₂ = δ₂ (ε) > 0, δ₂ < Δ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₂ ) : | g (x) – B | < ε, Если принять δ = min {δ₁,δ₂} < δ, то для 0 < | x - x₀| < δ следует неравенство f (x) > g(x). Но это противоречит условию теоремы, значит, наше предположение А > B неверное.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте определение предела функции.
Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.
При каких условиях из существования односторонних пределов функции следует существование предела функции и наоборот?
Существует ли предел ?
Сформулируйте определение предела функции при x → ∞.
Сформулируйте основные теоремы о пределе функции.
Сформулируйте и докажите теорему о пределе суперпозиции двух функций.
Что значит выколотая окрестность точки?
Почему в формулировке предела функции окрестность точки сгущения должна быть выколотой?
Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.
Как понимается предел функции в бесконечности?
Указать правильный вариант ответа значения предела