К разделу
ЛЕКЦИЯ 5 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Соответствие.
  2. Функция.
  3. Способы задания функции.
  4. Чётные и нечётные функции.
  5. Монотонные функции.
  6. Сложная функция.
  7. Понятие обратной функции.
  8. Основные элементарные функции.
  9. Определение непрерывности функции.
  10. Арифметические действия над непрерывными функциями.
  11. Непрерывность рациональных функций.
  12. Непрерывность тригонометрических функций.
  13. Непрерывность функции f (x) = |x|.
  14. Непрерывность показательной функции.
  15. Классификация точек разрыва функции.
  16. Кусочно – непрерывные функции.
  17. Первая теорема Больцано – Коши.
  18. Вторая теорема Больцано – Коши.
  19. Первая теорема Вейерштрасса.
  20. Вторая теорема Вейерштрасса.
  21. Непрерывность сложной функции.
  22. Исследование непрерывности в пакете MAPLE.
  23. Вопросы для самопроверки.

Соответствие

  Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R. Если каждому элементу х из D сопоставляется по какому - либо правилу в соответствие элемент у из множества Е, то этот способ называется соответствием между двумя множествами D и E.
  Следует отметить, что в этом случае одному элементу из множества D может соответствовать несколько элементов из множества E.

Функция

  Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R. Если каждому элементу х из D сопоставляется по какому - либо правилу один и только один элемент у из Е, то говорят, что на множестве D задана функция. Эта функция записывается в виде
y = f (x) x D или x → f (x) x D
  Следует заметить, что функция является частным случаем соответствия, при котором одному элементу из множества D ставится в соответствие только один элемент из множества Е.
  Подмножество D или D ( f ) называется областью определения (существования) функции у = f (х), подмножество Е или Е ( f ) множеством ее значений. Переменная х называют независимой переменной или аргументом, переменная y - зависимой переменной, а соответствие такого рода между ними - функциональной зависимостью.
  Функция называется числовой, если ее область определения и множество значений - числовые множества, т. е. D(f) R и E ( f ) R .
  Пример 1. Каждому значению R радиуса шара соответствует одно определенное значение объема шара
.
Следовательно, объем шара является функцией радиуса шара. Областью определения этой функции является множество D = [0, + ∞), (отрицательные значения R исключаются, поскольку радиус не может быть отрицательным). Таким образом, V = f ( R ), R [ 0, + ∞).

Способы задания функции

Аналитическое задание функции. Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.
  При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения. Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл.
  Замечание. Областью определения функций f (x) ± g (x), f (x)·g (x); f (x)/g(x) является пересечение областей определения составляющих функций, причем последняя функция, кроме того, не определена в тех точках, где знаменатель обращается в ноль g (х) = 0.
  Замечание. Функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Например, функции y = x2, x (- ∞, + ∞) , и y = x2, x [2, 4] выраженные одной и той же формулой у = х2, различны, так как имеют разные области определения.
  Функция может быть задана разными формулами на различных участках области определения. Пусть, например (рис. 5.1).
  Две функции равны только в том случае, когда их области определения совпадают, и эти функции принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях аргумента.
  Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых допустимых значениях аргумента. По заданному аналитическому выражению функции удобно изучать ее свойства. Однако недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность.
  Графический и табличный способы задания функции.
Графиком числовой функции у = f (х) называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции, т. е.
Г = {(x; y)| x D , y = f (х)}.
Графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или невозможно задать аналитически. График функции дает наглядное представление о свойствах функции. Задать функцию графически - это значит построить ее график.
  3амечание. Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает ее не более чем в одной точке.
   Пример 2. Линия, заданная уравнением y2 = 2·x, не является графиком функции, постольку прямая, параллельная оси Oy, пересекает его в двух точках при всех значениях х, кроме х = 0. Заданное уравнение эквивалентно двум уравнением, каждое из которых определяет функцию рис. 5.2.
y = ± √2x.
Верхний знак соответствует верхнейполовине параболы, нижний знак соответствует нижней половине параболы. Обе функции определены при x [0, +∞).
  При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Таблицы могут составляться также по значениям х и у, полученным из опыта или наблюдения. Для построения графика по аналитическому выражению функции в простейшем случае также составляется таблица значений аргумента и функции.
  Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

Четные и нечетные функции

  Функция у = f (х) называется четной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции совпадают
f (− х) = f (х) х D (f).
  График четной функции симметричен относительно оси Oy так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (- x, y).
  Функция у = f (х) называется нечетной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции противоположны.
f (− х) = − f (х) х D (f).
  График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (− х; − у).
  Говорить о четности либо нечетности можно говорить лишь для тех функций, области определения которых симметричны относительно начала координат.

Монотонные функции

  Функция называется возрастающей на отрезке [а, b], принадлежащем области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции
x2 > x1→ f (x2) > f (x1) х1, x2 [a, b].
  Функция называется убывающей на отрезке [a, b], если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции
x2 > x1→ f (x2) < f (x1) х1, x2 [a, b].
  Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями. Участки возрастания функции на рисунке отмечены синим цветом (в чёрно белом варианте более толстым форматом).
Участки убывания отмечены красным цветом (в чёрно белом варианте более тонким форматом), рис. 5.3.

Сложная функция

  Если функция y зависит от переменной u, т. е. у = f (u), u U, а u, в свою очередь, является какой - либо функцией от независимой переменной х, т. е u = g (x), х Х, то переменная у называется функцией от функции (или сложной функцией) от x и записывается в виде Y = f (u), u = g (x), или y = f [g (x)].
  Область определения сложной функции - это множество тех значений х X, для которых функция g (x) определена, кроме того, значения u принадлежат области определения функции y = f (u).
   П р и м е р 3. Функция является сложной. Здесь y = √ u и u = x2 − 2·x − 3.
   Функция u = x2 − 2·x − 3 определена на всей числовой прямой, т. е. x R. В область определения функции y = f (x) входят лишь те значения х, для которых подкоренное выражение неотрицательно x2 − 2·x − 3 ≥ 0, поэтому х ≤ − 1 и х ≥ 3. Следовательно, D = (− ∞, 1] [3, + ∞) . На интервале [− 1, 3] заданная функция не существует.
  Из определения следует, что сложная функция у = f [g (x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций: у = f (u), u = g (x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной х.

Понятие обратной функции

    Если функция задана уравнением вида f (x, y) = 0, не разрешенным относительно у, то она при некоторых условиях называется неявной функцией аргумента x.
  Пусть задана некоторая функция у = f(х), которая каждому элементу из множества D (f) ставится в соответствие один элемент из множества Е ( f ). Если обратное соответствие есть тоже функция, то есть, каждому значению у E( f ) соответствует единственное значение х D ( f ), то ее называют обратной функцией по отношению к функции f (х).
  В этом случае соотношение у = f (х) определяет х как неявную функцию от у. Если это соотношение разрешимо относительно х, то получим явное выражение обратной функции: х = g (у).
  Если функция g является обратной по отношению к функции f, то и функция f является обратной по отношению к функции g, т. е. эти две функции - взаимно-обратные.
  Одна и та же кривая у = f (х) представляет собой график функции у = f (х) и график обратной функции х = g (у) (если она существует), но в последнем случае значения аргумента рассматриваются на оси Оу, а значения функции - на оси Ох.
  Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную обозначать через х, а функцию − через у, то функция, обратная по отношению к у = f (х), запишется в виде у = g (х). В этом случае график функции у = g (х) симметричен графику функции у = f (х) относительно прямой у = х − биссектрисы I и III координатных углов.
  Для взаимно - обратных функций имеют место следующие соотношения
D ( f ) = E ( g ), E ( f )= D (g),
т. е. область определения данной функции совпадает с множеством значений обратной функции, и наоборот.

Основные элементарные функции

  Линейная функция подробно рассматривалась в разделе "Аналитическая геометрия".
  Степенная функция определяется соотношением y = xn, n ≠ 0 . При натуральных значениях n эта функция определена на всей числовой прямой, т. е. х R. При четном показателе степени степенная функция является четной и y принимает положительные значения. Ее графиками служат параболы соответственно второго, четвертого и т.д. порядков, рис. 5.4.
   При нечетном показателе функция является нечетной и принимает значения y (− ∞, + ∞) . Ее графиками служат параболы третьего, пятого и т. д. порядков, рис. 5.5.
   П о к а з а т е л ь н а я функция y = ax, (a ≠ 1, a > 0). Область ее определения x (- ∞, + ∞), множество значений y ( 0, + ∞). Если a > 1, то функция монотонно возрастает, а если 0 < a < 1 - монотонно убывает. При этом для любого основания выполняется равенство a0 = 1. Следовательно, график любой показательной функции проходит через точку (0; 1), рис. 5.6.
   Л о г а р и ф м и ч е с к а я функция. Эта функция является обратной по отношению к показательной. График логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой у = х. При этом для любого основания а > 0 и а ≠ 1 выполняется условие loga1 = 0, поэтому график всякой логарифмической функции проходит через точку (1; 0), рис. 5.7.
   Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Функции y = sin х и у = cos х определены на всей числовой прямой и имеют множеством значений промежуток [− 1, 1], рис. 5.8.
  Функция у = tg х определена при всех значениях , монотонно возрастает в каждом интервале области определения.
   Функция у = ctg х определена при всех значениях x ≠ π n, n N, и монотонно убывает в каждом интервале области определения.
   Множеством значений тангенса и котангенса служит промежуток (− ∞; + ∞).
  Функции у = sin х, у = tg х и у = ctg х − нечетные, их графики симметричны относительно начала координат. Функция у = cos x - четная, ее график симметричен относительно оси Оу.
  Тригонометрические функции являются периодическими.
   Определение. Функция f (х) называется периодической, если существует такое число Т > 0, что для любых значений аргумента из области определения функции имеет место равенство f (x ± T) = f (x).
  Основной период функций у = sin х и у = cos x равен 2·p, основной период функций у = tg x и y = ctg x равен p.
  Обратные тригонометрические функции. Функция y = arcsin x , где х [− 1; + 1], y [− p/ 2, p/2 ], означает, что у есть угол из промежутка [− p/ 2, p/2 ], синус которого равен х, то есть х = sin у.
   Функция y = arcsin x является обратной для функции y = sin x, x [− p/ 2, p/ 2 ], у [− 1; + 1], рис. 5.9.
  Функция у = arcсos х, x [− 1, 1], y [0, p] обратная функции у = сos х, где х [0, p] и y [− 1, 1]. Её график симметричен графику у = сos х относительно прямой у = х, рис. 5.10.
   Функция у = arctg x, где x (− ∞; + ∞) и y (− p/ 2, p/ 2 ), является обратной функции y = tg x, y (− ∞; + ∞) и . Ее график симметричен графику функции y = tg x, x (− p/ 2, p/ 2 ), относительно прямой у = х, рис. 5.11.
  Функция у = arcctg x, x (− ∞; + ∞), y (0; p) обратная функции у = ctg x, x (0; p), у (− ∞; + ∞). Ее график симметричен графику у = ctg x, x (0; p), относительно прямой у = х, рис. 5.12.

Определение непрерывности функции

  Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х0. Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.
                     (5.1)
или
( ε > 0 ) ( δ = δ (ε, x0) > 0 ) ( | x - x0 | < δ ) : | f ( x ) − f ( x0) | < ε
  Заметим, что в этом случае окрестность точки х0 не является выколотой, в отличие от определения предела.
Напомним, что δ – окрестностью точки х0 называют множество всех точек х, удалённых от точки х0 на расстояние, меньшее чем δ. Для непрерывности функции в точке требуется выполнение двух условий: существование предела функции в данной точке и совпадение этого предела с тем значением, которое функция принимает в этой точке. Так как , то соотношение (5.1) можно записать в следующем виде:
т. е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. Если функция непрерывна в точке х0, то она определенна в этой точке, т.е. существует f (x0). Заметим, что при определении предела функции в точке х0 этого не требовалось.
  Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое по существу является перефразировкой данного определения непрерывности функции в данной точке. Если
то функция непрерывна в этой точке. Это определение вытекает из свойства предельного перехода функции в данной точке.
  Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое является перефразированной первого определения непрерывности. Перенесем в равенстве (5.1) f (x0) под знак предела. Так как условие х → х0 и (х − х0) → 0 равносильны, то получаем
                     (5.2)
  Разность Δx = x - x0 называется приращением аргумента х в точке x0, разность Δy = f (x) − f (x0) называется приращением функции в точке х0, вызванным приращением аргумента Δх (рис. 5.13). При фиксированной точке х0 величина Δу является функцией аргумента Δ х. Равенство (5.2) в новых обозначениях принимает вид
                     (5.3)
(5.3) является свойством непрерывной функции, которое можно сформулировать так: функция f (x) является непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Δх → 0.

Арифметические действия над непрерывными функциями

  Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х0. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x) и f (x) : g (x) также непрерывны в этой точке (в последнем случае предполагается g (х0) ≠ 0).

Непрерывность функций на интервале

  Будем говорить, что функция f (x) непрерывна в интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (а, b) и непрерывна в точке x = а справа, а в точке x = b слева, т. е.
и

Непрерывность рациональных функций

  Простейшим примером функции, непрерывной в любой точке х0 числовой прямой, может служить постоянная функция f (x) = c.
  Действительно, в этом случае
т. е. постоянная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой.
  Функция f (x) = x непрерывна также в каждой точке х0 числовой прямой, так как предел функции в точке х0 равен ее значению в этой точке:
  Из сказанного следует, что в любой точке х0 функции х2 = х ·x, х3 = х2· x, …, хn = xn-1·x (n - натуральное число) непрерывны.
  Функция f (x) = xn называется степенной, а функция вида
Pn = C0 xn + C1 xn - 1 + C2 xn - 2 + … + Cn - 1 x + Cn
называется алгебраическим многочленом, где n ≥ 0 — целое число; С0, С1, С2, …, Сn — любые числа. Каждое из слагаемых слагаемых в выражении многочлена
Pn = C0 xn + C1 xn - 1 + C2 xn - 2 + … + Cn - 1 x + Cn
является непрерывным в любой точке х.
  Дробно рациональная функция
где pm(х) и qn(х) — алгебраические многочлены, непрерывна во всех таких точках х числовой оси, в которых ее знаменатель не равен нулю.

Непрерывность тригонометрических функций

  Рассмотрим тригонометрические функции sin х, cos х, tg х, ctg х, sec x, cosec х.
  Функция sin х непрерывна в любой точке числовой прямой.
  Рассмотрим разность
,
если | x − x0 | мало, то | sin x − sin x0 | тоже достаточно мало:
( ε > 0 ) ( δ = δ (ε, x0) > 0 ) ( | x - x0 | < δ ) : | sin x − sin x0 | < ε
Таким образом, функция sin x непрерывна в любой точке числовой оси.
  Непрерывность функции cos x в любой точке числовой оси доказывается аналогично. Рассмотрим разность
если | x − x0 | мало, то |cos x − cos x0| тоже достаточно мало:
( ε > 0 ) ( δ = δ (ε, x0) > 0 ) ( | x - x0 | < δ ) : | cos x - cos x0 | < ε
  Из непрерывности функций sin x и cos x следует непрерывность функций tg x и sec x во всех точках, где cos x ≠ 0, т.е. во всех точках, кроме х = p/2 + p· k ( k Z), и функций ctg x и cosec x во всех точках, кроме х = p· k (k = 0, ±1, ±2,… ).

Непрерывность функции f (x) = |x|

  Функция f (x) = | x |. график которой изображен на рис. 5.14 определена и непрерывна во всех табличках числовой прямой.    Действительно, в точках полупрямой (0; + ∞) функция f(x) = x непрерывна. В точках полупрямой (- ∞; 0) функция f( x ) = − x также непрерывна. Чтобы установить непрерывность функции в точке x = 0 вычислим односторонние пределы функции в этой точке
  
Пределы функции в точке х = 0 слева и справа совпадают и равны значению функции в этой точке. Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 и, следовательно, непрерывна во всех точках числовой прямой.

Непрерывность показательной функции

   Докажем что .
  Доказательство. Так как для любого аргумента можно найти два последовательных натуральных числа, что будут выполнены условия n < x < n + 1. По свойству неравенств имеем
.
При а > 1 показательная функция является монотонно возрастающей, поэтому
.
Так как , то по теореме о пределе промежуточной функции справедливо соотношение
Далее имеем, , что и требовалось доказать.

Классификация точек разрыва функции

  Точка х0 называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) в точке х0 не является непрерывной.
  Это значит, что или не существует предела функции в данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает в этой точке.
  Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы
  Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f (x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
  Так для функции
в точке х = 0 односторонние пределы равны
,
то х = 0 является точкой разрыва второго рода (рис. 5.15).

Кусочно-непрерывные функции

  Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках [а, b] за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках a и b (рис. 5.16).
  Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно - непрерывна на любом отрезке числовой прямой.

Первая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) непрерывна в точке х0 и кроме этого f (x0) ≠ 0. Тогда существует δ > 0 такое, что для всех х (х0 − δ; х0 + δ) функция f (x) имеет тот же знак, что и f (х0).
  Эта теорема характеризует устойчивость знака непрерывной функции.

Вторая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения f(a) = A, f (b) = B, то, каково бы ни было число m (A, B), найдётся такая точка х = с (a, b), что f (c) = m (рис. 5.17).
  Как частный случай имеет место следующее утверждение. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка отрезка с (a, b), в которой f(c) = 0.
  Данная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, граница которой является ось абсцисс, в другую, пересекает эту ось (рис. 5.18).
  Теорема. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] , то она на этом отрезке принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшими и наибольшими значениями.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что А < m < B. Рассмотрим на промежутке [а, b] вспомогательную функцию φ (x) = f (x) − m. Эта функция непрерывна на промежутке [а, b] и на концах его имеет разные знаки: φ (a) = f (a) − m = A − m < 0 и φ(b) = f(b) − m = B − m > 0. Тогда, по второй теореме Больцано – Коши, между a и b найдётся точка х = с, для которой φ(c) = m. Что и требовалось доказать.

Первая теорема Вейерштрасса

  Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b], то она на этом промежутке ограничена.
  Доказательство. Функция f (х) ограничена на промежутке [а, b], если существуют такие конечные числа m и M, что m ≤ f (х) ≤ М при a ≤ x ≤ b. Допустим, что функция f (х) при изменении х в промежутке [а, b] оказывается неограниченной. В таком случае для каждого натурального числа n найдётся в промежутке [а, b] такое значение х = хn, что f ( xn) ≥ n. Однако по лемме Больцано – Вейерштрасса из этой ограниченной последовательности {xn} можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность:
Причем, очевидно, х0 [a, b]. Вследствие непрерывности функции в точке х0 должно быть выполнено
Однако, в силу f (xn) ≥ n имеем
Полученное противоречие и доказывает теорему.

Вторая теорема Вейерштрасса

  Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани (рис. 5.19).
   Доказательство. Пусть f (x) C[a, b] (функция принадлежит классу непрерывных функций на отрезке [a, b]) и пусть .
Согласно определению верхней грани функции, для каждого n существует такая точка хn [а, b], что
,
Из последовательности xn [а, b] можно выделить сходящуюся к некоторому значению х0 подпоследовательность:
.
В силу непрерывности функции имеем далее
.
В то же время
.
И в пределе f (x0) M. Но f (x0) не может быть больше верхней границы М и, следовательно, f (x0) = М. Что и требовалось доказать.

Непрерывность сложной функции

  Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х0, а функция f (y) непрерывна в точке у0 = φ (x0), тогда сложная функция f(φ(x)) непрерывна в точке х0.
  Доказательство. Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z0) точки z0 = f (y0). Тогда в силу непрерывности функции f (y) найдётся такая окрестность V(y0) точки у0, что, если у V(y0), то значения функции f (y) U(z0). Далее, для полученной окрестности V(y0) в силу непрерывности функции у = φ (x) в точке х0 существует такая окрестность W(x0), что если х W(x0), то значения функции у = φ(x) V(y0). Следовательно, для произвольной точки х W(x0) следует z = f (φ(x)) U(z0). Что и требовалось доказать.
  Это можно записать ещё и так
.
Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х0, а функция f (y) непрерывна в точке у0 = φ(x0), тогда

Исследование непрерывности в пакете MAPLE

> f(x):=x^4/(x +1)^3;— задание функции;
> readlib(discont); — подключение библиотеки по исследованию точек разрыва функции.
> discont(f(x),x); — показывается точка разрыва функции;
{- 1}
> Limit(f(x),x =-1, left)=limit(f(x),x=-1,left); — вычисляется левый предел функции в точке х = − 1;
> Limit(f(x),x =-1, right)=limit(f(x),x=-1,right); — вычисляется правый предел функции в точке х = − 1;
  Вычисления показывают о наличии точки разрыва второго рода.

Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке х0.
  2. В чем различие между понятиями непрерывности функции и пределом функции в точке х0?
  3. Почему из непрерывности функции слева и справа в точке х0 следует непрерывность функции в этой точке? На основании какой теоремы?
  4. Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями.
  5. Докажите, что функция f(x) = cos x непрерывна в любой точке х числовой оси.
  6. Почему можно утверждать, что функция непрерывна на всей числовой прямой?
  7. Какие точки называются точками разрыва функции?
  8. Дайте определения точек разрыва первого и второго рода.
  9. Укажите, в какой точке и какого рода разрыв имеет функция
  10. Сформулируйте теорему об устойчивости знака непрерывной функции.
  11. Можно ли утверждать, что если функция f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0) = 0, то функция f(x) : а) имеет определенный знак в некоторой окрестности точки х0; б) не имеет определённого знака ни в какой окрестности точки х0? Приведите соответствующие примеры.
  12. Можно ли утверждать, что, если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и на концах отрезка имеет значения одного знака, то на [а, b] нет такой точки, в которой функция обращается в нуль? Приведите пример.
  13. Может ли непрерывная на интервале функция быть ограниченной на замкнутом интервале?
  14. Может ли неограниченная на замкнутом отрезке функция быть непрерывной на этом отрезке?
  15. Дайте определение сложной функции.
  16. Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции.
  17. Сформулируйте первую теорему Больцано - Коши.
  18. Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.
  19. Может ли ограниченная на отрезке функция принимать значения своих точных граней?
  20. Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса.
  21. Может ли непрерывная на интервале функция достичь на этом интервале своих точных граней?