К разделу
ЛЕКЦИЯ 6 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Первый замечательный предел.
  2. Модификации первого замечательного предела.
  3. Второй замечательный предел.
  4. Вопросы для самопроверки.

Первый замечательный предел

  Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю
.
  Непосредственное вычисление предела
приводит к неопределённости вида .
   Из геометрических соображений имеем SDOAС< SOAC < SDOBC. Используя формулы площадей рассматриваемых фигур, получим
или
sin x < x < tg x
Разделив все части неравенства на sin x > 0, получим при условии х > 0
,
или
.
Так как функция у = cos x непрерывна, то
.
Пользуясь теоремой о пределе промежуточной функции, получим окончательно
.
  Замечание. Если х < 0, то знаки неравенств изменяются на противоположные, выводы же остаются прежними.

Модификации первого замечательного предела

  1. .
  2. .
  3. .

Второй замечательный предел

  Ранее для натурального n было доказано
.
  Докажем, что для любого действительного x имеет место так же равенство
.
  Доказательство. Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем
.
Прибавим ко всем частям неравенств единицу
.
По свойству степеней имеем
Так как
и
,
то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и
,
что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично.

Вопросы для самопроверки

  1. Докажите первый и второй замечательные пределы.
  2. Докажите, что .
  3. Приведите модификации первого замечательного предела.
  4. Найдите значение предела .
  5. Найдите значение предела .