К разделу
ЛЕКЦИЯ 7 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Бесконечно малые функции.
  2. Свойства бесконечно малых функций.
  3. Бесконечно большие функции.
  4. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
  5. Свойства бесконечно больших функций в точке.
  6. Сравнение бесконечно малых функций.
  7. Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела.
  8. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
  9. Сравнение бесконечно больших функций.
  10. Вопросы для самопроверки.

Бесконечно малые функции

  Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х0, если
Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0.
  Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x0 | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде
( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0)( 0 < |х – х0| < δ ) : | f (x) | < ε.
   Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х0 отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию.
  Доказательство. Пусть
Рассмотрим разность f (x) – А = α(х). Так как
,
то функция α(х) является бесконечно малой при x → х0.

Свойства бесконечно малых функций

  Опираясь на правила вычисления пределов, можно сформулировать свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x0, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x0:
1.
2.
3.
4.
  Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x0 справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0.

Бесконечно большие функции

  Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х0 | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.
  В этом случае пишут
и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х0 , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х0. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K) , то пишут
или
и говорят, что функция имеет в точке х0 бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞).
  По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы:
, , , .
Так, например, пишут если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х0 < x < х0 + δ , выполняется неравенство f (x) > К. Или в символической записи
( K > 0) ( δ = δ(K)> 0)( x0 < х < x0+δ ) : f (x) > K.

  Предлагается самостоятельно сформулировать определение бесконечно большой функции при x → + ∞, x → – ∞.

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями

   Если f (x) — бесконечно большая функция, то есть бесконечно малая функция в этой же точке.
   В самом деле, пусть , это означает, что
( K > 0) ( δ = δ(K)> 0) ( 0 < | x - x0 | < δ ) : | f (x) | > K .
   Так как |f (x)| > K , то .
Будем считать, что , тогда
( ε > 0) ( δ = δ(ε)> 0) ( 0 < | x - x0 | < δ ) : 1/| f (x)| <ε .
Это означает, что .

Свойства бесконечно больших функций в точке

Пусть f (x) бесконечно большая функция при x→ x0, a g (x) такая функция , что g(x) > h > 0 в некоторой δ - окрестности точки х0. Тогда f (x)·g(x) – бесконечно большая функция:
.
Доказательство. Так как , то
( K > 0) ( δ1 = δ1(K) > 0)( 0 < | x - x0 | < δ1 ) : | f (x)| >K/h .
где h - то число, для которого g ( x) > h > 0 (при условии 0 < | x–x0 | < δ1 ). В этом случае в этой окрестности имеем
| f (x)·g (x) | = | f (x) |·| g (x) | > h·K / h = K.
Последнее неравенство означает
.
Пусть f (x) бесконечно большая функция при x → х0, а g (x)- функция, ограниченная в некоторой окрестности точки х0. Тогда f (x) + g (x) бесконечно большая функция, то есть
.
Доказательство. Так как , то
( N > 0) ( δ1 = δ1(N) > 0)( 0 < | x – x0| < δ1 ) : | f (x)| > N + M .
Так как g (x) ограничена, то
( M > 0) ( δ2 = δ2(N) > 0)( 0 < | x – x0 | < δ2 ) : | g (x)| < M .
Если считать, что δ = min{δ1,δ2}, то справедливо неравенство
| f(x) + g(x) | > | f(x) | − | g(x) | > N + M − M = N,
что и требовалось доказать.

Сравнение бесконечно малых функций

  Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x0 и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х0 (за исключением, быть может, самой точки х0). Если
= 0,
то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) . В этом случае пишут α(x) = o(β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).
  Если
= А ≠ 0 ( A - число),
то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = O(β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).
   Если
= ∞,
то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).
   Если
= 1,
то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).
  В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если
,
то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).
  Теорема. Для того, чтобы две функции f = f (x) и g = g (x), f (x) ≠ 0, g (x) ≠ 0, были эквивалентными при х → х0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий
f - g = o(f ) или f - g = o(g).
  Доказательство необходимости. Пусть
,
тогда
,
откуда
,
то есть g − f = o(g). Аналогично из условия
доказывается g − f = o(f )
   Доказательство достаточности провести самостоятельно.

Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела

Под знаком предела
числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.
  Доказательство. Пусть в точке х = х0 имеем f (x) ~ α(x). В этом случае
,
что и требовалось доказать.
  Доказанная теорема во многих случаях упрощает вычисление пределов.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

  1. Так как , то в точке х = 0 имеем sin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство sin x = x + o(x).
  2. Так как , то в точке х = 0 имеем tg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство tg x = x + o(x).
  3. Так как , то в точке х = 0 имеем arcsin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arcsin x = x + o(x).
  4. Так как , то в точке х = 0 имеем arctg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arctg x = x + o(x).
  5. Так как
    ,
    то
    ,
    и в этом случае имеет место равенство
  6. В точке х = 0 многочлен эквивалентен своему моному младшей степени
    .
    Поэтому при х = 0 имеем .
       Использование теоремы о замене функции на эквивалентную под знаком предела упрощает вычисление предела. Например,
    .
  7. Так как
    ,
    то
    ln (1 + x) ~ x,
    и в этом случае имеет место равенство
    ln (1 + x) = x + o(x).
  8. Так как
    ,
    то

    .
  9. Так как
    ,
    то
    ex ~ 1 + x,
    и в этом случае имеет место равенство
    ex ~ 1 + x + o(x).
  10. В случае натурального k имеем
    поэтому для натурального k имеем , и в этом случае имеет место равенство
    (1 + x)k = 1 + k·x + o(x)
  11. Так как
    ,
    то
    ax ~ 1 + x·ln a,
    и в этом случае имеет место равенство
    ax ~ 1 + x·ln a + o(x)
  12. Так как
    ,
    то
    ,
    и в этом случае имеет место равенство
      Замечание. К применению таблицы эквивалентности при вычислении пределов следует относиться с большим вниманием. Не следует думать, что этот метод является всеобъемлющим. Если применение таблицы эквивалентных бесконечно малых приводит к конечному результату при вычислении предела, то этот результат будет получаться и при любых методах вычисления этого предела. Следует познакомиться с образцами выполнения самостоятельной работы. Однако, в некоторых случаях этот метод не выводит предел из неопределённости, вопрос о значении предела остаётся открытым и посему следует уже применять другие методы вычисления предела. Например

Сравнение бесконечно больших функций

  Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения. Бесконечно большие функции α(x) и β(x) являются эквивалентными бесконечно большими при x → х0, если
= 1,
          Функция α(x) является бесконечно большой более низкого порядка, чем β(x) при x → х0, если
= 0.
          Бесконечно большие Функции α(x) и β(x) имеют одинаковый порядок роста при x → х0, если
= А ≠ 0 (A- число).
  Функция α(x) является бесконечно большой n − го порядка по отношению к бесконечно большой β(x) при x → х0, если
.

Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте определение бесконечно малой функции
    − при х → х0;
    −при х → ∞. Приведите примеры таких функций.
  2. Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функцией?
  3. Что означают записи:
    , ,
  4. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями?
  5. Что значит сравнить две бесконечно малые функции?
  6. Приведите примеры бесконечно малой функции α(х):
    1. одного порядка малости с функцией β (х) в точке х0;
    2. эквивалентной функции β (х) в точке х0;
    3. более высокого порядка малости, чем β (х), при х → х0.
    4. Что означает символическая запись α (х) = o (β (х)) при при х → х0?
    5. Докажите, что:
      1. х3 = о (х2) при х → 0,
      2. (х - 1) 2 = o(x − 1) при х → 1.
    6. Верно ли при х → 0 равенство х 3 = o (β(х)), если β (х)= x2· sin x?
    7. Докажите, что 1/х 4 = o(1/х3) ?
    8. Верно ли равенство
      при х → ∞, если
    9. Докажите, что sin х – х = o(х) при х → 0.
    10. Что означают записи: х → х0, х → х0 − 0, х → х0 + 0, x → + ∞, x → − ∞ и x → ∞?