Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Отделение корней
Графическое решение уравнений
Метод половинного деления
Метод хорд
Метод Ньютона (метод касательных)
Комбинированный метод
Задание 6
Литература

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Отделение корней

   Если уравнение алгебраическое или трансцендентное достаточно сложно, то его корки сравнительно редко удается найти точно. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Поэтому важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.
   Пусть дано уравнение
f (x) = 0,                        (1)
где функция f (x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале а < х < b.
   В дальнейшем в некоторых случаях нам понадобится существование и непрерывность первой производной f ' (х) или даже второй производной f " (х), что будет оговорено в соответствующих местах.
   Всякое значение ξ, обращающее функцию f (x) в нуль, т. е. такое, что
f (ξ) = 0,
называется корнем уравнения (1) или нулем функции f (x).
   Мы будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения (1) существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
   Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов:    Для отделения корней полезна известная теорема из математического анализа.
   Теорема 1. Если непрерывная функция f (x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [α, β], т. е. f(α)·f (β) < 0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f (x) = 0, т. е. найдется хотя бы одно число ξ ∈ (α, β) такое, что f (ξ) = 0 (смотри рисунок.).
   Корень ξ заведомо будет единственным, если производная f ' (x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (α, β), т. е. если f '(x) > 0 (или f '(x) < 0) при α < x < β (смотри рисунок.).
   Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f (x) в граничных точках х = α и х = β области её существования.
   Затем определяются знаки функции f (x) в ряде промежуточных точек x = α1, α2, ..., выбор которых учитывает особенности функции f (x). Если окажется, что f (αk)·f (αk+1) < 0, то в силу теоремы 1 в интервале (αk, αk+1) имеется корень уравнения f (x) = 0. Нужно тем или иным способом убедиться, является ли этот корень единствешшм. Для отделения корней практически часто бывает достаточно провести процесс половинного делення, приближенно деля данный интервал (α, β) на две, четыре, восемь и т. д. равных частей (до некоторого шага) и определяя знаки функции f (x) в точках делений. Полезно помнить, что алгебраическое уравнение n-й степени
a0xn + a1xn-1 + … + an = 0                     a0 ≠ 0
имеет не более n действительных корней. Поэтому если для такого уравнения мы получили n + 1 перемену знаков, то все корни его отделены.
   Пример 1. Отделить корни уравнения
f (x) = x3 - 6 x + 2 = 0.                      (2)
   Решение. Составляем приблизительную схему
x f(x) x f(x)
- ∞ - 1 -
-3 - 3 +
-1 + + ∞ +
0 +    
   Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах (- 3, - 1), (О, 1) и (1, 3). Если существует непрерывная производная f ' (x) и корни уравнения
f ' (x) = 0
легко вычисляются, то процесс отделения корней уравнения (1) можно упорядочить. Для этого, очевидно, достаточно подсчитать лишь знаки функции f (x) в точках нулей ее производной и в граничных точках х = а и х = b.
   Пример 2. Отделить корни уравнения
f (x) = x4 - 4 x - 1 = 0.                      (3)
   Решение. Здесь f ' (х) = 4 (х3 - 1), поэтому f ' (x) = 0 при х = 1.
   Имеем f (- ∞) > 0; f (1) < 0 (-); f (+ ∞) > 0 (+). Следовательно, уравнение (3) имеет только два действительных корня, из которых один лежит в интервале (- ∞, 1), а другой - в интервале (1, + ∞).
   Пример 3. Определить число действительных корней уравнения
f (x) = x + ex = 0.                      (4)
   Решение. Так как f ' (х) = 1 + ех > 0 и f (- ∞) = - ∞, f (+ ∞) = + ∞, то уравнение (4) имеет только один действительный корень.
   Дадим теперь оценку погрешности приближенного корня.
   Теорема 2. Пусть ξ - точный, а х* - приближенный корни уравнения f (x) = 0, находящиеся на одном и том же отрезке [α, β], причем | f ' (x) | ≥ m1 > 0 при α ≤ x ≤ β. В частности, за m1 можно взять наименьшее значение | f ' (x) | при α ≤ x ≤ β. В таком случае справедлива оценка
.                     (5)
   Доказательство. Применяя теорему Лагранжа, будем иметь:
f (x*) - f (ξ) = (x* - ξ) f ' (c),
где с - промежуточное значение между х* и ξ, т. е. с ∈ (α, β).
   Отсюда, так как f (ξ) = 0 и | f ' (c) | ≥ m1, получим:
| f (x*) - f (ξ) | = | f (x*) | ≥ m1 | x* - ξ |.
Следовательно,
.
   Замечание. Формула (5) может дать грубые результаты, и ее не всегда удобно применять. Поэтому на практике тем или иным способом сужают общий интервал, (α, β), содержащий корень ξ и его приближенное значение х, и полагают
| x* - ξ | ≤ β - α.
   Пример 4. Приближенным корнем уравнения f (x) = x4 - х - 1 = 0 является х = 1,22. Оценить абсолютную погрешность этого корня.
   Решение. Имеем f (x*) = 2,2153 - 1,22 - 1 = 0,0047. Так как при x = 1,23 получаем
f (x*) = 2,2888 - 1,23 - 1 = + 0,0588,
то точный корень ξ содержится в интервале (1,22; 1,23). Производная f ' (x) = 3 x3 - 1 монотонно возрастает. Поэтому ее наименьшим значением в данном интервале является:
m1 = 3·1,223 - 1 = 3·1,816 -1 = 4,448.
Отсюда по формуле (5) получим:
   Замечание. Иногда на практике точность приближенного корня x* оценивают по тому, насколько хорошо он удовлетворяет данному уравнению f (х) = 0, т. е. если число | f (x) | малое, то считают, что х* является хорошим приближением точного корня ξ; если же | f (x*) | велико, то х* полагают грубым значением точного корня ξ. Такой подход, как показывают рисунки (смотри рисунок) и (смотри рисунок), является неправильным. Не следует также забывать, что если уравнение f (x) = 0 умножить на произвольное число N ≠ 0, то получается равносильное уравнение N f (x) = 0, причем число | N f (x) | можно сделать сколь угодно большим или сколь угодно малым за счет выбора множителя N.

Графическое решение уравнений

   Действительные корни уравнения
f (x) = 0
приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции у = f (x) с осью Ох (смотри рисунок.). Если уравнение (1) не имеет близких между собой корней, то этим способом его корни легко отделяются. На практике часто бывает выгодно уравнение (1) заменить равносильным ему уравнением
φ(х) = ψ(x),                        (6)
где функции φ(х) и ψ(x) - более простые, чем функция f (x). Тогда, построив графики функций у = φ(х) и у = ψ(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
   Пример 5. Графически решить уравнение
x lg x = 1.                        (7)
   Решение. Запишем уравнение (7) в виде равенства
.
   Отсюда ясно, что корни уравнения (7) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы у = 1/x. Построив эти (кривые) на координатной плоскости, приближенно найдем единственный корень ξ ≈ 2,5 уравнения (7).
   Нахождение корней уравнения (6) упрощается, если одна из функций φ (х) или ψ(x) линейная, т. е., например, φ (х) = а х + b. В этом случае корни уравнения (6) находятся как абсциссы точек пересечения кривой у = φ(x) и прямой у = а х + b. Особенно выгодным оказывается этот прием при решении ряда однотипных уравнений, отличающихся только коэффициентами а и b линейной функции. Здесь графическое построение сводится к нахождению точек пересечения фиксированного графика y = ψ (x) различными прямыми. К указанному типу, очевидно, относятся трехчленные уравнения
х n + а х + b = 0.
   Пример 6. Решить кубические уравнения
х3 - 1,75 x + 0,75 = 0
и
x3 + 2 x + 7,8= 0.
   Решение. Построим кубическую параболу y = x3. Искомые корни находятся как абсциссы точек пересечения этой параболы кубическую параболу y = x3 прямыми у = 1,75 x - 0,75 и у = -2 х - 7,8. По чертежу ясно, что первое уравнение имеет три действительных корня: х1 = - 1,5; х2 = 0,5; x3 = 1, а второе уравнение - лишь один действительный корень х1 = - 1,65.
   Отметим, что хотя графические методы решения уравнений весьма удобны и сравнительно просты, но они, как правило, применимы лишь для грубого определения корней. Особенно неблагоприятным в смысле потери точности является случай, когда линии пересекаются под очень острым углом и практически сливаются по некоторой дуге.

Метод половинного деления

   Пусть дано уравнение
f (x) = 0,
где функция f (x) непрерывна на [а, b] и f (а)·f(b) < 0. Для нахождения корня уравнения (1), принадлежащего отрезку [а, b], делим этот отрезок пополам. Если = 0, то вляется корнем уравнения. Если ≠ 0, то выбираем ту из половин или , на концах которой функция f (x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [al , b1] снова делим пополам и проводим то же рассмотрение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения (1), или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков [a1, b2], [а2, b2], ..., [аn, bn], ... таких, что
f(an)·f (bn) < 0 (n = 1, 2, ...)                     (8)
и
.                     (9)
   Так как левые концы а1, а2, ...,аn, ... образуют монотонную неубывающую ограниченную последовательность, а правые концы b1, b2, ...,bn, ... - монотонную невозрастающую ограниченную последовательность, то в силу равенства (9) существует общий предел
.
   Переходя к пределу при n → ∞ в неравенстве (8), в силу непрерывности функции f (x) получим [f (ξ)]2 ≤ 0. Отсюда f (ξ) = 0, т. е. ξ является корнем уравнения (1), причем, очевидно,
.                     (10)
   Если корни уравнения (1) не отделены на отрезке [а, b], то таким способом можно найти один из корней уравнения (1).
   Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, так как при увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы.
   Заметим, что метод половинного деления легко реализуется на электронных счетных машинах. Программа вычисления составляется так, чтобы машина находила значение правой части уравнения (1) в середине каждого из отрезков [аn, bn] ( n = 1, 2, .. .) и выбирала соответствующую половину его.
   Пример 7. Методом половинного деления уточнить корень уравнения
f (x) = х4 + 2 х3 - х - 1 = 0,
лежащий на отрезке [0, 1].
   Решение. Последовательно имеем:
f (0) = - 1;f (1) = 1;
f (0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1= - 1,19;
f (0,75) = 0,32 + 0,84 - 0,75 - 1 = - 0,59;
f (0,875) = 0,59 + 1,34 - 0,88 - 1 = + 0,05;
f (0,8125) = 0,436 + 1,072 - 0,812 - 1 = - 0,304;
f (0,8438) = 0,507 + 1,202 - 0,844 - 1 = - 0,135;
f (0,8594) = 0,546 + 1,270 - 0,859 - 1 = - 0,043 и т.д.
Можно принять
ξ = - (0,859 + 0,875) = 0,867.

Способ пропорциональных частей (метод хорд)

   Укажем более быстрый способ нахождения корня ξ уравнения f (x) = 0, лежащего на заданном отрезке [а, b] таком, что f (a)·f (b) < 0.
   Пусть для определенности f(a) < 0 и f (b) > 0. Тогда, вместо того чтобы делить отрезок [а, b] пополам, более естественно разделить его в отношении - f (a) : f (b). Это дает нам приближенное значение корня
x1 = a + h1,                     (11)
где
.                     (12)
   Далее, применяя этот прием к тому из отрезков [а, х1] или [x1, b], на концах которого функция f (x) имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня х2 и т. д.
   Геометрически способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой у = f (х) хордой, проходящей через точки A(a, f (a)] и B [b, f (b)] (смотри рисунок). В самом деле, уравнение хорды АВ есть
Отсюда, полагая х = х1 и у = 0, получим:
                     (1')
эквивалентна формулам (11) и (12).
   Для доказательства сходимости процесса предположим, что корень отделен и вторая производная f "(x) сохраняет постоянный знак на отрезке [а, b].
   Пусть для определенности f " (х) > 0 при а ≤ х ≤ b (случай f " (x) < 0 сводится к нашему, если записать уравнение в виде - f (x) = 0). Тогда кривая у = f (х) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) f (а) > 0 (смотри рисунок) и 2) f (а) < 0 (смотри рисунок).
   В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: х0 = b;
                     (13)
образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем
a < ξ < … < xn+1 < xn < … < x1 < x0.
   Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения: х0 = а;
                     (14)
образуют ограниченную монотонно возрастающую последователь ность, причем
x0 < x1 < x2 < … < xn < xn+1 < … < ξ < b.
   Обобщая эти результаты, заключаем: 1) неподвижен тот конец, для которого знак функции f (x) совпадает со знаком ее второй производной f "(x); 2) последовательные приближения хn лежат по ту сторону корня ξ, где функция f (x) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f " (х). В обоих случаях каждое следующее приближение хn+1 ближе к корню ξ, чем предшествующее хn. Пусть
(предел существует, так как последовательность ( хn ) ограничена и монотонна). Переходя к пределу в равенстве (13), для первого случая будем иметь:
отсюда f (ξ*) = 0. Так как по предположению уравнение f (x) = 0 имеет единственный корень ξ на интервале (а, b), то, следовательно, ξ* = ξ, что и требовалось доказать.
   Совершенно так же переходом к пределу в равенстве (14) доказывается, что ξ* = ξ для второго случая.
   Для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой (5)
,
где | f ' (x) | ≥ m1 при a ≤ x ≤ b.
   Приведем еще формулу, позволяющую оценивать абсолютную погрешность приближенного значения хn, если известны два последовательных приближения хn-1 и хn.
   Будем предполагать, что производная f ' (х) непрерывна на отрезке [а, b], содержащем все приближения, и сохраняет постоянный знак, причем
0 < m1 ≤ | f ' (х) | ≤ M1 < + ∞.                     (15)
Примем для определенности, что последовательные приближения хn точного корня ξ вырабатываются по формуле (13) (рассмотрение формулы (14) аналогично)
(n = 1, 2, ...), где конец а является неподвижным. Отсюда, учитывая, что f (ξ) = 0, будем иметь:
.
Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим:
(ξ - xn-1) f ' (ξn-1) = (xn - xn-1) f '(cn-1),
где ξn-1 ∈ (xn-1, ξ) и cn-1 ∈ (a, xn-1). Следовательно,
.                     (16)
Так как f '(x) сохраняет постоянный знак на отрезке [а, b], причем cn-1 ∈ [a, b] и ξ ∈ [а, b], то, очевидно, имеем:
| f '(cn-1) - f '(ξn-1) | ≤ M1 - m1.
Поэтому из формулы (16) выводим:
,                     (17)
где за m1 и M1 могут быть взяты соответственно наименьшее и наибольшее значения модуля производной f ' (х) на отрезке [а, b]. Если отрезок [а, b] столь узок, что имеет место неравенство
M1 ≤ 2 m1,
то из формулы (17) получаем:
| ξ - xn | ≤ | xn - xn-1 |.
Таким образом, в этом случае, как только будет обнаружено, что
| xn - xn-1 | < ε,
где ε - заданная предельная абсолютная погрешность, то гарантировано, что
| ξ - xn | < ε.
   Пример 8. Найти положительный корень уравнения
f (x) = x3 - 0,2 х2 - 0,2 x - 1,2 = 0
с точностью до 0,002.
   Решение. Прежде всего отделяем корень. Так как
f (1)= - 0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0,
то искомый корень ξ лежит в интервале (1, 2). Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как
f (1, 5) = 1,425, то 1 < ξ < 1,5.
Последовательно применяя формулы (11) и (12), будем иметь:

f (x1) = - 0,173;

f (x2) = - 0,036;

f (x2) = - 0,0072;
Так как f ' {х) = 3 х2 - 0,4 x - 0,2 и при x3 < x < 1,5 имеем
f ' (x) ≤ 3·1,1982 - 0,4·1,5 - 0,2 = 3·1,43 - 0,8 = 3,49,
то можно принять:
.
Таким образом, ξ = 1,198 + 0,002 θ, где 0 < θ < 1. Заметим, что точный корень уравнения есть ξ = 1,2.

Метод Ньютона (метод касательных)

   Пусть корень ξ уравнения
f (x) = 0
отделен на отрезке [а, b], причем f ' (x) и f "(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при а ≤ х ≤ b. Найдя какое-нибудь n-e приближенное значение корня xn ≈ ξ (a ≤ xn ≤ b), мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Положим
ξ = xn + hn,                         (18)
где hn считаем малой величиной. Отсюда, применяя формулу Тейлора, получим:
0 = f (xn + hn) ≈ f (xn) + hn· f '(xn).
Следовательно,
.
Внеся эту поправку в формулу (18), найдем следующее (по по рядку) приближение корня
.                        (19)
   Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y = f (x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что f '' (х) > 0 при а ≤ х ≤ b и f (b) > 0 (смотри рисунок).
   Выберем, например, х0 = b, для которого f (x0)·f "(x0) > 0. Проведем касательную к кривой y = f (x) в точке В0[х0, f(x0)]. В качестве первого приближения х1 корня ξ возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ох. Через точку B1[x1, f (x1)) снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст нам второе приближение х2 корня ξ и т. д.. Очевидно, что уравнение касательной в точке Вn [хn, f(xn)] (n = 0, 1, 2, ...) есть
y - f (xn) = f ' (xn) ( x - xn ).
Полагая у = 0, x = xn+1 получим формулу (19)
.
   Заметим, что если в нашем случае положить х0 = а и, следовательно, f (x0)·f "(x0) < 0, то, проведя касательную к кривой у = f(х) в точке А[а, f (a)], мы получили бы точку х'1, лежащую вне отрезка [а, b], т. е. при этом выборе начального значения метод Ньютона оказывается непрактичным. Таким образом, в данном случае "хорошим" начальным приближением х0 является то, для которого выполнено неравенство
f (x0)·f "(x0) > 0.                         (20)
   Докажем, что это правило является общим.
   Теорема. Если f (a)·f (b) < 0, причем f '(x) u f "(x) отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при а ≤ х ≤ b, то, исходя из начального приближения х0 ∈ [а, b], удовлетворяющего неравенству (20), можно вычислить методом Ньютона (формула (19)) единственный корень ξ уравнения (1) с любой степенью точности.
   Доказательство. Пусть, например, f (а) < 0, f (b) > 0, f '(x) > 0, f "(х) > 0 при a ≤ x ≤ b (остальные случаи рассматриваются аналогично). Согласно неравенству (20) имеем f (x0) > 0 (например, можно принять х0 = b).
   Методом математической индукции докажем, что все приближения xn > ξ (n = 0, 1, 2, ...) и, следовательно, f (xn) > 0. В самом деле, прежде всего, х0 > ξ.
   Пусть теперь хn > ξ. Положим
ξ = хn + (ξ - хn).
Применяя формулу Тейлора, получим:
,                        (21)
где ξ < сn < хn.
   Так как f "(х) > 0, то имеем:
f (xn) +f ' (xn)(ξ - хn) < 0
и, следовательно,
,
что и требовалось доказать.
   Из формулы (19), учитывая знаки f (xn) и f '(хn), имеем хn+1 < хn (n = 0, 1, ...), т. е. последовательные приближения x0, xl, ..., хn, ... образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность. Следовательно, существует .
   Переходя к пределу в равенстве (19), будем иметь:
.
т. е. f (ξ*) = 0. Отсюда ξ* = ξ, что и требовалось доказать.
   Поэтому, применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х0 выбирается тот конец интервала (а, b), которому отвечает ордината того же знака, что и знак f " (х).
   Замечание 1. Если: 1) функция f (x) определена и непрерывна при - ∞ < x < ∞; 2) f (a)·f (b) < 0; 3) f ' (х) ≠ 0 при а ≤ х ≤ b; 4) f "(х) существует всюду и сохраняет постоянный знак, то при применении метода Ньютона для нахождения корня уравнения f (х) = 0, лежащего в интервале (а, b), за начальное приближение х0 можно принять любое значение с ∈ [а, b]. В частности, можно взять х0 = а или х0 = b.
   Действительно, пусть, например, f '(x) > 0 при a ≤ x ≤ b, f "(х) > 0 и х0 = с, где a ≤ c ≤ b.
   Если f (с) = 0, то корень ξ = с и задача, таким образом, решена.
   Если f (с) > 0, то справедливо приведенное выше рассуждение и процесс Ньютона с начальным значением с сходится к корню ξ ∈ (a, b).
   Наконец, если f (с) < 0, то находим значение
.
Применяя формулу Тейлора, будем иметь:
,
где с* - некоторое промежуточное значение между с и х1.
   Таким образом,
f (xl)·f "(xl)>0.
Кроме того, из условия f "(x) > 0 вытекает, что f ' (х) - возрастающая функция и, значит, f ' (x) > f ' (а) > 0 при x > а. Следовательно, х1 можно принять за начальное значение для процесса Ньютона, сходящегося к некоторому корню ξ* функции f (x) такому, что ξ > с ≥ а. Так как в силу положительности производной f' (х) при х > а функция f (x) имеет единственный корень на интервале (а, + ∞), то ξ* = ξ ∈ (а, b).
Аналогичное рассмотрение можно провести для других комбинаций знаков производных f ' (х) и f " (х).
   Замечание 2. Из формулы (19) видно, что чем больше численное значение производной f ' (х) в окрестности данного корня, тем меньше поправка, которую нужно прибавить к n - му приближению, чтобы получить (n + 1) - е приближение. Поэтому метод Ньютона особенно удобно применять тогда, когда в окрестности данного корня график функции имеет большую крутизну. Но если численное значение производной f '(x) близ корня мало, то поправки будут велики, и вычисление корня по этому методу может оказаться очень долгим, а иногда и вовсе невозможным. Следовательно, если кривая y = f (x) вблизи точки пересечения с осью Ох почти горизонтальна, то применять метод Ньютона для решения уравнения f {x) = 0 не рекомендуется.
   Для оценки погрешности n-го приближения хn можно воспользоваться общей формулой (5)
,
где m1 - наименьшее значение |f '(x) | на отрезке [а, b].
   Выведем еще одну формулу для оценки точности приближения хn. Применяя формулу Тейлора, имеем:
,(23)
где ξn-1 ∈ (xn-1, xn). Так как в силу определения приближения хn имеем
f (xn-1) + f '(xn-1) (xn-1, xn) = 0,
то из (23) находим:
где М2 - наибольшее значение | f " (х) | на отрезке [а, b ].Следовательно, на основании формулы (23) окончательно получаем:
                        (24)
Если процесс Ньютона сходится, то xn - xn-1 → 0 при n → ∞. Поэтому при n ≥ N имеем:
| ξ - xn | ≤ | xn - xn-1 |,
т. е. "установившиеся" начальные десятичные знаки приближений xn-1 и xn, начиная с некоторого приближения, являются верными.
   Заметим, что в общем случае совпадение с точностью доедвух последовательных приближений xn-1 и xn вовсе не гарантирует, что с той же точностью совпадает значение xn и точный корень ξ (смотри рисунок).
   Установим также формулу, связывающую абсолютные погрешности двух последовательных приближений хn и xn+1. Из формулы (21) получаем:
где сn ∈ ( хn, ξ ). Отсюда, учитывая формулу (19), будем иметь:
и, следовательно,
.                        (25)
Формула (25) обеспечивает быструю сходимость процесса Ньютона, если начальное приближение х0 таково, что
.
В частности, если
и | ξ - xn | < 10-m,
то из формулы (25) получаем:
| ξ - xn+1 | < 10-2m,
т. е. в этом случае, если приближение хn имело m верных десятичных знаков после запятой, то следующее приближение хn+1 будет иметь по меньшей мере 2m верных знаков; иными словами, если μ ≤ 1, то с помощью метода Ньютона число верных знаков после запятой искомого корня ξ удваивается на каждом шаге.
   Пример 1. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения f (x) = x4 - 3 x2 + 75 x - 10 000 = 0 с пятью верными знаками.
   Решение. Полагая в левой части уравнения х = 0, -10, - 100, …, получим f (0) = - 10 000, f (- 10) = - 1050, f (- 100) ≈ + 108.
   Следовательно, искомый корень ξ находится в интервале - 100 < ξ < - 10. Сузим найденный интервал. Так как f (- 11) = 3453, то - 11 < ξ < - 10. В этом последнем интервале f '(х) < 0 и f "(х) > 0. Так как f ( - 11) > 0 и f "( - 11) > 0, то можем принять за начальное приближение х0 = - 11. Последовательные приближения хn (n = 1, 2, ...) вычисляем по следующей схеме:
n xn f (xn) f ' (xn)
0 - 11 3453 - 5183 0,7
1 - 10,3 134,3 - 4234 0,03
2 - 10,27 37,8 - 4196 0,009
3 - 10,261 0,2 - -
   Останавливаясь на n = 3, проверяем знак значения f (xn + 0,001) = f ( -10,260). Так как f ( - 10,260) < 0, то - 10,261 < ξ < - 10,260, и любое из этих чисел дает искомое приближение.

Комбинированный метод

   Пусть f (а) f (b) < 0, a f '(x) и f "(х) сохраняют постоянные знаки на отрезке [, b]. Соединяя способ пропорциональных частей и метод Ньютона, получаем метод, на каждом этапе которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня ξ уравнения f (x) = 0.
   Отсюда, в частности, вытекает, что цифры, общие для хn и хn*, обязательно принадлежат точному корню ξ. Теоретически здесь возможны четыре случая:    Образец применения комбинированного метода показан на примере.