К разделу
Тема 9 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Классификация механических связей.
  2. Возможные положения, скорость, ускорения системы.
  3. Возможные и действительные перемещения.
  4. Обобщенные координаты.
  5. Число степеней свободы.
  6. Возможная работа.
  7. Обобщённые силы.
  8. Идеальные связи.
  9. Принцип возможных перемещений.
  10. Примеры.

Классификация механических связей

   Рассмотрим движение системы материальных точек Рk (k = 1, 2, … N) относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат, которая предполагается неподвижной. Состояние системы задаётся радиус-векторами rk и скоростями Vk  её точек. Зачастую приходится вводить предположения, что ничто не ограничивает движение точек, и что это движение предопределяется действующими на точки силами. При этом наличие иных материальных объектов в пространстве, не принадлежащих к рассматриваемой системе, существенно лишь в том отношении, что эти объекты могли создавать силовые поля, но сами по себе не препятствовали движению рассматриваемой системы.
   Пренебрегается тот факт, что ″посторонняя″ для изучаемой системы материя сама занимает некоторое место в пространстве и, следовательно, точки рассматриваемой системы уже не могут занимать того же самого места. В технике приходится считаться с кардинально иной постановкой задачи: при движении частей машины место, занятое какой-либо деталью уже не может быть занято в тот же момент другой деталью, и это накладывает ограничения на свободу движения изучаемой системы.
 Связями называют ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых, действующих на системы силах.
 Неудерживающие связи это связи, при которых точки механической системы имеют возможные перемещения, противоположные к которым не являются возможными.
 Аналитически эти связи выражаются неравенствами вида f (x, y, z, t) ≥ 0.
 Удерживающие связи это связи, при наличии которых для любого возможного перемещения точки механической системы противоположное ему перемещение являются возможными.
 Аналитически эти связи выражаются равенствами вида f (x, y, z, t) = 0.
 Геометрические связи это связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы (и, может быть, время)
f ( rk , t ) = 0.                        (1)
 Уравнения связей это уравнения, которым в силу наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени).
 Дифференциальные связи это связи, уравнения которых, кроме координат точек механической системы, содержат ещё первые производные от этих координат по времени (и, может быть, время)
f ( r k, V k, t ) = 0.                        (2)
 Голономные связи это геометрические связи и дифференциальные связи, которые могут быть проинтегрированы.
 Неголономные связи это дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы.
 Стационарные связи это связи, в уравнения которых время явно не входит.
 Нестационарные связи это связи, в уравнения которых время входит явно.

Возможные положения, скорость, ускорения системы

 Положения системы, для которых радиус-векторы rk  точек системы удовлетворяют уравнениям геометрических связей f ( rk , t ) = 0, называют возможными положениями системы.
 Дифференцируя уравнения геометрических связей, получим соотношение
.                         (3)
Совокупность векторов Vk, которые удовлетворяют соотношениям (3), называются возможными скоростями.
Дифференцируя соотношения (3) по времени, получим
                        (4)
Совокупность векторов ak, которые удовлетворяют соотношениям (4), называются возможными ускорениями.
Для заданного момента времени существует бесконечное множество возможных скоростей V k и ускорений ak.

Возможные и действительные перемещения

 Так как при движении связь не должна разрушаться, то
f α (r k + Δ r k ; t + Δ t ) − f α ( r k ; t ) = 0.
Раскладывая последнее соотношение по формуле Тейлора, получим
.                        (5)
 Если перемещение Δ r k осуществлено под действием некоторой системы сил, то Δ r k называют действительным перемещением, осуществлённым за конечное время Δ t. Если же время смещения бесконечно мало d t, то с точностью до малых второго порядка малости возможные и действительные перемещения удовлетворяют условию
.                        (6)
 Изменения δ r k, удовлетворяющие условию
                        (7)
называются виртуальными. В случае склерономных связей действительные и возможные перемещения являются одними из виртуальных.
 Возможные перемещения точки это мыслимые бесконечно малые перемещения, допускаемые связями в данный момент времени.  Возможные перемещения точки лежат в касательной плоскости к поверхности связи.

Обобщенные координаты

 Обобщёнными координатами называется совокупность значений некоторых параметров, однозначно определяющих конфигурацию системы.
r i = r i ( q1, q2, …, qn).

Число степеней свободы

 Числом степеней свободы системы с голономными связями называют число независимых обобщённых координат, через которые можно выразить декартовы координаты всех точек системы.
 Выражение виртуальных перемещений через обобщённые координаты
.

Возможная работа

 Возможной работой называют работу силы на любом виртуальном перемещении
δ A = F·δr.

Обобщённые силы


 Для упрощения вычисления обобщенной силы целесообразно выбрать такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщённая координата qi, соответствующая искомой обобщённой силе Qi. Сумму работ всех сил на таком частном перемещении обозначим
.
Её величина выражается только одним слагаемым
.
Отсюда имеем

Идеальные связи

 Идеальными связями механической системы называют такие связи, при которых сумма всех возможных работ сил реакций связей R k  равна нулю на любом виртуальном перемещении.
.

Принцип возможных перемещений

 Для равновесия материальной системы (в некоторой инерциальной системе отсчёта), находящейся под действием активных сил и стеснённой голономными, идеальными, неосвобождающими, склерономными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма возможных работ всех активных сил равнялась нулю на любом возможном перемещении системы из предполагаемого положения равновесия.
 a) Необходимость. Пусть в некотором положении В на поверхности точка находится в равновесии R = F. Тогда R ·δr + F·δr = 0. Так как R ·δr = 0 для гладкой связи, то F·δr = 0, что и означает δ A = 0.
 b) Достаточность. Пусть δ A = 0, но система не находится в равновесии. Тогда R + F ≠ 0 и R + F = m a. Так как начальная скорость равна нулю, то направление действительного движения совпадает с направлением равнодействующей R + F . В этом случае (R + F)·d r = m a·d r > 0. Так как связь, наложенная на систему, не зависит от времени, то действительное перемещение d r совпадает с каким-то возможным перемещением δ r и рассматриваемой точки и тогда (R + F)·δ r > 0 или R·δ r + F·δ r > 0. Так как связь идеальная, то R ·δr = 0 и тогда F·δ r > 0, или δ A > 0, что приводит к противоречию.

Примеры

 П р и м е р 1. Груз Q поднимается с помощью домкрата, который приводится в движение рукояткой ОА = 0,6 м. К концу рукоятки, перпендикулярно к ней, приложена сила Р = 16 кг. Определить величину груза Q, если шаг винта домкрата h = 12 мм.
 Р е ш е н и е.
Σ δ A = 0;
Q·δs − P (L·δφ ) = 0,
Из отношений пропорциональности
h – 2 π;
δ s – δ φ;
получим
.
 П р и м е р 2. На маховик коленчатого пресса действует пара сил с моментом М, ось маховика имеет на концах винтовые нарезки шага h противоположного направления и проходит через две гайки, шарнирно прикреплённые к двум вершинам стержневого ромба со стороною а, верхняя вершина ромба закреплена неподвижно, нижняя – прикреплена к горизонтальной плите пресса. Определить силу давления пресса Р, на сжимаемый предмет в момент, когда угол при вершине ромба равен 2α.
 Р е ш е н и е.
s2 + b2 = a2; s·δs + b·δb = 0;
δb = −s δs / b = − δs·ctg α;
δφ – δb;
2 π – h.
,
Σ δA = 0;
P·2 δ s + M·δ φ = 0;
,
.
 П р и м е р 3. Внутри вертикального подвижного ромба, образованного шарнирно сочленёнными однородными стержнями длиной а и весом Р каждый, находится однородный диск радиусом r и весом Q, опирающийся на две стороны ромба. Найти положение равновесия системы.
 Р е ш е н и е. Поместим начало координат в верхней вершине ромба (точка подвеса). Ось Оz направим по вертикальной диагонали ромба. Обозначим середины сторон ромба z1, z2, z3, z4; h1, h2 – координаты центра ромба и шара.
Σ δ A = 0
P1·δ z1 + P2·δ z2 + P3·δ z3 + P4·δ z4 + Q·δh2 = 0
Выразим левую часть через координаты центра тяжести ромба
.
Откуда имеем z1 + z2 + z3 + z4 = 4 h1. Уравнение равновесия принимает вид
4·P·δh1 + Q·δh2 = 0.
Но
.
Откуда имеем
 П р и м е р 4. Определить зависимость между силами Р и Q в клиновом прессе, если сила Р приложена к концу рукоятки длиною а перпендикулярно к оси винта и рукоятки. Ход винта равен h. Угол при вершине клина α.
 Р е ш е н и е.
Σ δ A = 0;
P·a·δ φ − Q·δ s = 0;
δ s = δ se ·tg α;
.