К разделу
Тема 13 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Принцип Даламбера для материальной точки.
  2. Принцип Даламбера для системы материальных точек.
  3. Общее уравнение динамики. (Принцип Даламбера-Лагранжа).
  4. Примеры.

Принцип Даламбера для материальной точки

 При движении материальной точки активные силы, реакции связей вместе с силами инерции образуют равновесную систему.
F + Ф + R = 0 или ( F, Ф, R) ~ 0, где Ф = − m·a.
 Силой инерции называют минус произведение массы точки на ускорение её движения. Сила инерции направлена в противоположную сторону ускорения.
 Принцип Даламбера есть условие относительного равновесия для сил в собственной системе отсчёта (смотри рисунок).

Принцип Даламбера для системы материальных точек

 При движении механической системы активные силы, реакции связей вместе с силами инерции образуют равновесную систему для каждой точки системы.
 (1)
Из (1) следуют уравнения
, (2)
. (3)
Так как по свойству внутренних сил , то из (2) и (3) имеем
, (4)
. (5)
В соотношении (4)
.
В соотношении (5) имеем
,
откуда следует теорема о движении центра масс и теорема об изменении кинетического момента.

Общее уравнение динамики. (Принцип Даламбера-Лагранжа)

 Принцип Даламбера можно объединить с принципом возможных перемещений: cумма элементарных работ всех непосредственно приложенных к точкам системы сил, сил реакций связей и сил инерции равна нулю на любом возможном перемещении из положений, занимаемых системой в текущие моменты времени. Это можно записать так
, (6)
или
.
Если учесть, что , то принцип можно представить в виде
.
В декартовых координатах
.
Если связи, наложенные на системы, гладкие, то , и соотношение (6) примет вид
,
или
,
или
,
или
.

Примеры

 П р и м е р 1. Прямая однородная треугольная призма весом Р3 положена на гладкую горизонтальную плоскость боковой гранью. Две другие боковые грани образуют с горизонтальной плоскостью углы α и β. На эти грани положены грузы силой тяжести Р1, Р2, которые могут скользить по этим граням без трения. Центры тяжести призмы и грузов расположены в одной вертикальной плоскости. Определить ускорение призмы и грузов.
 Р е ш е н и е.


 П р и м е р 2. С каким ускорением должен двигаться клин для того, чтобы тело массой m находилось на наклонной плоскости в равновесии. Трением пренебречь.
Rx = m·a cos α − m·g sin α;
a = g· tg α.
 П р и м е р 3. Определить период колебания математического маятника, подвешенного к потолку вагона, движущегося с ускорением а.
 Р е ш е н и е.



 П р и м е р 4. Однородный стержень длиной L и массы m расположен под углом α к вертикальной оси вращения, вращается с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. Найти усилие в подшипниках крепления оси.
 Р е ш е н и е.

ΣXi = XA + XB + Фτ = 0 (7)
ΣYi = YA + YB + Фц = 0 (8)
ΣZi = ZA - mg = 0 (9)
, (10)
, (11)
 (12)
Из уравнения (11) найдём
.
Из уравнения (10) найдём
.
Из уравнения (12) найдём
.
Из оставшихся уравнений можно найти остальные реакции связей.
 П р и м е р 5. Уравновешивание сил инерции.
Так как проекции момента силы F = ( X, Y, Z) относительно
координатных осей
Mx = y·Z - z·Y, My = z·X - x·Z, Mz = x·Y - y·X,
то
Условие динамического равновесия xc = yc = 0, Jxz = Jyz = 0.
 П р и м е р 6. Стержень АВ длиной 2 L, на концах которого находятся грузы равного веса Р, вращается равномерно с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси Oz , проходящей через середину О длины стержня. Расстояние точки от подшипника С равно а, от подпятника D равно b. Угол между стержнем АВ и осью Oz сохраняет постоянную величину α. Пренебрегая весом стержня и размерами грузов, определить проекции давлений на подшипник С и подпятник D в тот момент, когда стержень находится в плоскости Oyz .
xc = yc = 0, Jxz = 0, так как ось Ох ось симметрии.
YA + YB = 0.

 П р и м е р 7. Стержень АВ длиной 2 L и массы М, вращается равномерно с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через середину О длины стержня. Расстояние точки от подшипника С равно ½h, от подпятника D равно ½h. Угол между стержнем АВ и осью Oz сохраняет постоянную величину α. Определить проекции давлений на подшипник С и подпятник D в тот момент, когда стержень находится в плоскости Oyz.
 Р е ш е н и е.
 П р и м е р 8. Прямой однородный круглый цилиндр массы m , длиной 2L и радиусом r вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через центр тяжести цилиндра; угол между осью цилиндра Oς и осью Оz сохраняет при этом постоянную величину α. Расстояние Н1Н2 между подпятником и подшипником равно h. Определить боковые давления: N1 на подпятник и N2 на подшипник.
 Р е ш е н и е.
 П р и м е р 9. Однородный тонкий стержень длины L и массы m, закреплённый шарнирно в одном из его концов, под действием силы тяжести падает в вертикальной плоскости из вертикального положения. Найти давление стержня в зависимости от угла с вертикалью.
 Р е ш е н и е. Координаты центра масс в зависимости от угла
Интегрируя последнее соотношение с учётом начальных условий, получим
.
Уравнения, определяющие давление, имеют вид