К разделу
Тема 14 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Уравнения Лагранжа 2го рода.
  2. Обобщённые силы в случае потенциальных сил.
  3. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил.
  4. Примеры.
  5. Вывод уравнения Лагранжа из уравнений Ньютона.

Уравнения Лагранжа 2го рода

 Пусть на систему наложены голономные, неосвобождающие, идеальные связи. Положение точек механической системы определим n независимыми обобщёнными координатами q1, q2, …, qn. Т.е.
r = r (q1, q2, …, qn). (1)
Преобразуем общее уравнение динамики
. (2)
с учётом (1) через обобщённые координаты. Для этого проварьируем (1)
. (3)
и подставим в (2)
По определению
есть обобщённая сила.
Так как
и  (4)
то
 Общее уравнение механики (1) с учётом вышесказанного примет вид
. (5)
Так как обобщённые координаты независимы, то из (5) следуют уравнения
. (6)
Доказательство вспомогательных утверждений следует из соотношения
. (7)
Из (7) непосредственно следует
.
Дифференцируя (7) по q k, получим
. (8)
Дифференцируя по времени, получим
. (9)
Сравнивая (8) и (9), получим подтверждение соотношений (4).

Обобщённые силы в случае потенциальных сил

 Обобщённые силы равны частным производным от силовой функции по соответствующим обобщённым координатам.

Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил

 Уравнения Лагранжа в этом случае принимают вид
.
Введём в рассмотрение функцию L = T - П, которая называется функцией Лагранжа. Так как
,
то уравнения Лагранжа в этом случае принимают вид
.

Примеры

 Координаты центра тяжести первого стержня
,
координаты центра тяжести второго стержня
.
Кинетическая энергия системы имеет вид
,




 Потенциальная энергия определится соотношением
 Функция Лагранжа примет вид
Уравнение Лагранжа примет вид
Так как φ <<1, то уравнения первого приближения примут вид
Период колебания рассматриваемой системы определится соотношением

Вывод уравнения Лагранжа из уравнений Ньютона

 Для механической системы из N материальных точек движение определяется 3N дифференциальными уравнениями вида
. (10)
Кинетическая энергия механической системы определится соотношением
. (11)
Соотношение (10) запишется в виде
. (12)
В случае консервативной системы сил имеем
и уравнение (12) примет вид
. (13)
Как видно из уравнений (13), для составления уравнений движения консервативной механической системы достаточно знать две функции: Т - кинетическую энергию системы и V - силовую функцию консемвативных сил.
 Пусть обобщёнными независимыми координатами механической системы являются q1, q2, …, qn, и координаты всех точек механической системы определяются через эти обобщённые координаты
xi = xi ( q1, q2, …, qn). (14)
Очевидно, что
. (15)
Так как
 (16)
то из (16) следует
и соотношение (15) может быть переписано в виде
>