К разделу
Тема 15 К СОДЕРЖАНИЮ

Применение уравнений Лагранжа для составления уравнений движения

   П р и м е р 48,3.(м) Определить движение груза Р, висящего на однородном тросе весом Р1 и длиной L трос навёрнут на барабан радиуса а и весом Р2; ось вращения горизонтальна; трением пренебрегаем; массу барабана считаем равномерно распределённой по его ободу. В начальный момент t = 0 система находилась в покое; длина свисавшей части троса L0.
 Р е ш е н и е. Пренебрегаем размерами барабана по сравнению с длиной свешивающейся части троса. Кинетическая энергия системы будет состоять из трёх слагаемых: T = T1 + T2 + T3, где T1 – кинетическая энергия груза Р, T2 – кинетическая энергия свесившейся части каната, T3 – кинетическая энергия барабана вместе с намотанным на него тросом: T3 = T3′ + T3″

Вычислим элементарную работу, найдём обобщённую силу для этого перемещения
Уравнения движения, получаемые из уравнений Лагранжа, имеют вид
Уравнение движения представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение для него
имеет пару действительных корней
Общее решение однородного уравнения данного неоднородного имеет вид
Частное решение неоднородного уравнения возьмем в виде
.
Общее решение неоднородного уравнения найдём по теореме об общем решении линейного неоднородного уравнения
С учётом начальных условий  найдём
.
Ответ: .
 П р и м е р 2. Система, состоящая из двух одинаковых колёс радиуса а, могущих независимо вращаться вокруг общей нормальной к ним оси О1О2 длиной L, катится по горизонтальной плоскости. Колёса связаны пружиной с жёсткостью с, работающей на кручение. Масса каждого колеса М; С – момент инерции колеса относительно оси вращения; А - момент инерции колеса относительно диаметра. Составить уравнения движения системы и определить движение, отвечающее начальным условиям φ1 = 0; φ2 = 0; ;  (φ1; φ2 – углы поворота колёс). Массой оси пренебречь.
- кинетическая энергия системы,
U = ½·c·(φ1 - φ2)² ­ потенциальная энергия системы,
 ­ уравнения движения системы, или в развёрнутой форме
и
.
Складывая эти уравнения, получим . Если проинтегрировать это уравнение с учётом начальных условий, то получим φ1 = - φ2 + ω·t. Исключая одну переменную с помощью этого соотношения, получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
.
Круговая частота равна
.
Частные решения имеют вид
.