К разделу
Тема 8 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Основные определения.
  2. Основное допущение элементарной теории гироскопов.
  3. Теорема Резаля.
  4. Основные свойства гироскопа с тремя степенями свободы.
  5. Применение закона прецессии к анализу движения под действием силы тяжести быстро вращающегося волчка.
  6. Определение момента сил по заданному движению гироскопа.
  7. Пример.
  8. Нахождение гироскопического момента в пакете MAPLE.

Основные определения

 Под гироскопом понимают твердое тело, которое может вращаться вокруг оси симметрии с угловой скоростью, значительно превышающей скорость вращения самой оси симметрии.
 Примером гироскопа может служить волчок, имеющий неподвижную точку О (смотри рисунок).
 Наиболее простым гироскопическим прибором является гироскоп в кардановом подвесе (смотри рисунок). Ротор вращается вокруг своей оси симметрии АА ', причем ось вращения установлена в подшипниках, укрепленных во внутреннем кольце, которое может свободно вращаться вокруг оси ВВ '. Вращение внутреннего кольца присходит в подшипниках, укрепленных в наружном кольце. Наконец, наружное кольцо может свободно вращаться вокруг оси СС ' в неподвижно укрепленных подшипниках. Таким образом, ротор может совершать три независимых друг от друга вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке — центре ротора, которая при движении ротора остается неподвижной.
 Приведенные примеры гироскопов представляют примеры гироскопов с тремя степенями свободы, так как для описания их движения необходимо иметь три независимых между собой параметра. Если же, например, у гироскопа в кардановом подвесе закрепить наружное кольцо, то ротор гироскопа будет иметь возможность вращаться только вокруг своей оси симметрии и оси внутреннего кольца, т. е. будет иметь две степени свободы. Такой гироскоп называется гироскопом с двумя степенями свободы.
 Гироскоп обладает рядом специфических свойств, позволяющих широко использовать его в технике, особенно в различных системах навигационного оборудования.

Основное допущение элементарной теории гироскопов

 Пусть однородное тело вращения совершает быстрое вращение вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью ω1, а эта ось в свою очередь вращается с угловой скоростью ω2. На основании теоремы о сложении вращений твердого тела получаем, что абсолютная угловая скорость ω равна геометрической сумме угловых скоростей ω1 и ω2, т. е
ω = ω1 + ω2.
 Пусть в системе координат Охуz ось z направлена по оси динамической симметрии тела (смотри рисунок). Тогда оси этой системы координат будут для тела главными осями инерции, и, следовательно, проекции момента количеств движения на оси х, у и z будут
где Ix, Iy и Iz – соответствующие моменты инерции тела.
 Можно назвать три непараллельные направления: направление угловой скорости собственного вращения ω1 , направление абсолютной угловой скорости ω и направление вектора момента количеств движения тела ω2.
 Для гироскопов ω1 >> ω2 и Кz >> Кx, Кz >> Кy. Имея в виду это обстоятельство, в элементарной теории гироскопов главный момент количеств движения тела (кинетический момент) относительно неподвижной точки принимают равным
К = Iz·ω1, (1)
то есть предполагается, что момент количеств движения направлен по оси динамической симметрии гироскопа. Cоотношение (1) является приближенным и будет тем более точным, чем ω1 больше ω2.

Теорема Резаля

 Для изучения движения гироскопа воспользуемся теоремой об изменении момента количеств движения.
. (2)
 Из кинематики точки известно, что скорость точки можно рассматривать как скорость конца радиуса - вектора, следящего за движущейся точкой, или как скорость изменения самого радиуса-вектора, если он проведен в движущуюся точку из какой-либо неподвижной точки ( смотри рисунок).
 Траектория движущейся точки при этом является годографом радиуса-вектора, а скорость точки направлена по касательной к этому годографу и равна первой производной по времени от радиуса - вектора. Аналогично этому, и производную по времени от кинетического момента можно рассматривать как своеобразную скорость конца этого вектора при движении по годографу кинетического момента. Эта скорость не является обычной скоростью точки, так как кинетический момент имеет другую размерность, чем радиус-вектор. Это есть скорость изменения вектора кинетического момента ( смотри рисунок).
 Таким образом, если обозначить u скорость конца кинетического момента, т. е.
, (3)
то теорему об изменении кинетического момента системы можно представить в новой форме — в виде так называемой теоремы Резаля:
. (4)
 Теорему Резаля можно сформулировать так: при движении механической системы скорость точки, совпадающей с концом вектора кинетического момента при движении по годографу этого вектора, равна по величине и параллельна по направлению главному моменту всех внешних сил системы. Точка, относительно которой вычисляется кинетический момент системы и главный момент внешних сил, одна и та же.
 В форме теоремы Резаля может быть сформулирована и теорема об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс.
 Теорема Резаля особенно удобна для приближенного исследования движения быстровращающихся гироскопов. Аналогично и теорему об изменении количества движения для системы можно сформулировать в форме теоремы Резаля для количества движения: при движении механической системы скорость точки, совпадающей с концом вектора количества движения, равна по величине и параллельна по направлению главному вектору всех внешних сил, действующих на систему.
 Согласно равенству (1) вектор кинетического момента направлен по оси собственного вращения тела. Это значит, что с помощью зависимости (4) можно следить за движением оси собственного вращения гироскопа. Формула (4) позволяет находить закон движения гироскопа по заданному моменту внешних сил и по заданному закону движения гироскопа определить момент сил, под действием которых происходит это движение.

Основные свойства гироскопа с тремя степенями свободы

 Рассмотрим сначала случай M(е) = 0. Это имеет место, когда точка подвеса (точка опоры) совпадает с центром масс гироскопа (астатический или уравновешенный гироскоп).
 Если M(е) = 0, то согласно формуле Резаля (4)
u = 0
и
K = const.
Иначе говоря, ось уравновешенного быстро вращающегося трехстепенного гироскопа сохраняет неизменным свое направление в пространстве.
 Если теперь на уравновешенный трехстепенной гироскоп подействовать кратковременной силой, то благодаря тому, что скорость u не будет равна нулю только в промежутке времени действия этой кратковременной силы, ось гироскопа почти не изменит своего направления. Таким образом, ось свободного быстро вращающегося гироскопа нечувствительна к мгновенным ударным нагрузкам [в действительности ось гироскопа начнет совершать колебания малой амплитуды с большой частотой (нутационные колебания), но в элементарной теории гироскопов этими колебаниями пренебрегают].
 Приложим теперь к гироскопу силу F ( смотри рисунок). Если гироскоп не вращается, то под действием силы F ось гироскопа будет перемещаться в сторону действия силы. Если же скорость собственного вращения гироскопа достаточно велика, то действие силы F вызовет совершенно другое движение оси гироскопа. Действительно, момент М(e) силы F относительно неподвижной точки будет направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через линию действия силы и точку О, т. е. перпендикулярно к плоскости рисунка "на нас". Согласно теореме Резаля конец вектора K приобретет скорость
.
В результате ось гироскопа начнет движение в направлении момента M(е) , т. е. перпендикулярно к линии действия приложенной силы.  Такая же картина будет наблюдаться и у гироскопа в кардановом подвесе, если к внутреннему кольцу приложить силу F.
 Приложим теперь к гироскопу силу F ( смотри рисунок). Момент этой силы F направлен по оси внутреннего кольца, и, следовательно, ось гироскопа начнет совершать вращение вокруг оси наружного кольца. Движение оси гироскопа называют прецессией, а угловую скорость вращательного движения оси — угловой скоростью прецессии.
 Найдем модуль угловой скорости прецессии ω2. Согласно формуле v = ω × r для скорости точки твердого тела в его вращательном движении скорость u конца вектора K определяется равенством
u = ω2 × K.
Учитывая, что u = M(е), K = Izω1, найдем
M(е) = ω2 × K. (5)
Отсюда
, (6)
где θ — угол между осью гироскопа z и вектором угловой скорости прецессии ω2.
 Из всего сказанного следует, что под действием внешних сил ось быстро вращающегося трехстепенного гироскопа начинает прецессировать. Скорость u конца вектора кинетического момента K , направленного по оси симметрии гироскопа, равна по модулю и совпадает по направлению с моментом относительно точки подвеса внешних сил. Угловая скорость прецессии, определяемая равенствами (5) и (6), пропорциональна моменту внешних сил М(е), обратно пропорциональна кинетическому моменту Izω1 гироскопа и синусу угла между осью гироскопа и вектором угловой скорости прецессии. Это свойство гироскопа часто называют законом прецессии оси гироскопа.

Применение закона прецессии к анализу движения под действием силы тяжести быстро вращающегося волчка

 Применим закон прецессии к анализу движения под действием силы тяжести быстро вращающегося волчка. На волчок действуют две внешние силы: сила тяжести Р и реакция R опоры О. Момент реакции R относительно точки О равен нулю, а модуль момента силы тяжести относительно опоры О определяется равенством
М(e) = Ра sin θ,
где а — расстояние от точки О до центра тяжести С волчка, а θ – угол между осью волчка и вертикалью ( смотри рисунок).
 Так как момент M(е) всегда перпендикулярен к вертикальной плоскости, проходящей через ось волчка z, то скорость u конца вектора K горизонтальна. Следовательно, ось волчка описывает вокруг вертикали круговой конус.
 Найдем угловую скорость ω2 прецессии оси волчка. Угол между осью z и вектором ω2 равен θ ( смотри рисунок). Поэтому согласно формуле (6) будем иметь
.
 Если центр тяжести гироскопа кардановом подвесе будет удален от точки О по оси вращения на расстояние а, то наружное кольцо будет совершать прецессионное движение с угловой скоростью ω2, определяемой последней формулой.

Определение момента сил по заданному движению гироскопа

 Пусть гироскоп вращается с постоянной по величине угловой скоростью ω1 вокруг своей оси симметрии, а эта ось в свою очередь вращается с угловой скоростью ω2 вокруг какого-либо фиксированного направления.
 Например, ротор ( смотри рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, подшипники которой закреплены в рамке, вращающейся с угловой скоростью ω2 вокруг оси вращения.
 Момент внешних сил Mе, под действием которых ось гироскопа прецессирует с угловой скоростью ω2, определяется равенством (5). Этот момент создается силами Q и Q ', приложенными к валу гироскопа со стороны подшипников A и B.
 На основании третьего закона Ньютона можно утверждать, что на подшипники А и В со стороны гироскопа будут действовать силы F и F ', равные по модулю и противоположно направленные силами Q и Q '.
 Главный момент этих сил относительно неподвижной точки равен по величине и противоположен по направлению моменту Ме. Такой момент называется моментом гироскопической реации или просто гироскопическим моментом.
 Гироскопический момент Мг равен
Мг = − М е = Iz ( ω1 × ω2). (7)
 Силы ( F, F '), момент которых относительно точки О равен гироскопическому моменту, стремятся совместить ось гироскопа с осью прецессии.
 Отметим, что тело, на которое действует гироскопический момент, может под действием этого момента совершать движение. Например, пусть наружная рамка гироскопа в кардановом подвесе жестко укреплена на каком - либо основании ( смотри рисунок). Пусть угловая скорость ротора равна ω1он и направлена так, как указано на рисунке ( смотри рисунок). Сообщим теперь основанию угловую скорость ω2. Силы F, F ', момент которых относительно неподвижной точки равен возникшему гироскопическому моменту Мг, будут поворачивать внутреннее кольцо в направлении, указанном на рисунке ( смотри рисунок) стрелкой, т. е. в направлении кратчайшего пути совмещения вектора ω1 (оси гироскопа) с вектором ω2 (угловой скоростью вынужденной прецессии).
 Это дает возможность сформулировать следующее правило (правило Грюэ — Жуковского): при сообщении оси гироскопа принудительной прецессии ось гироскопа стремится кратчайшим путем установиться параллельно оси принудительной прецессии таким образом, чтобы направления векторов ω1 и ω2 совпали.
 При сообщении оси собственного вращения гироскопа или оси какой-либо быстро вращающейся части машины принудительной прецессии возникают гироскопические давления на подшипники, в которых укреплена ось, если эти подшипники не имеют возможности двигаться вместе с осью.
 Пусть ротор (маховик) вращается c угловой скоростью ω1 вокруг оси АВ, закрепленной в подшипниках А и В ( смотри рисунок).
 Если вес ротора Р, то статические давления на подшипники будут равны Р/2 для случая, когда ротор находится на равных расстояниях от подшипников. Если теперь сообщить ротору принудительную прецессию вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω2, то появится гироскопический момент
Мг = Iz ( ω1 × ω2).
где Iz — момент инерции ротора относительно собственной осй вращения.
 Гироскопический момент, приложенный к оси, согласно правилу Грюэ — Жуковского будет стремиться повернуть ось так, чтобы векторы ω1 и ω2 стали параллельными. Но этому препятствуют подшипники А и В. Сила Q, приложенная к подшипнику A, и Q ', приложенная к подшипнику В, образуют пару сил, момент которой равен гироскопическому моменту.
 Так как векторы ω1 и ω2 в рассматриваемом случае взаимно перпендикулярны, то величина гироскопического момента равна
Mг = Iz ω1 ω2.
Направлен гироскопический момент перпендикулярно к плоскости рисунка на нас. Момент пары сил ( Q, Q ') по величине равен Q a, следовательно,
Q a = Iz ω1 ω2,
откуда
. (8)
 Силы Q и Q ' и представляют собой гироскопические давления на подшипники.
 В рассматриваемом случае в подшипнике В статическое давление и гироскопическое давление имеют различные направления, а в подшипнике А — одинаковое направление.

Пример

   Определить максимальные гироскопические давления на подшипники быстроходной турбины, находящейся на корабле, подвергающемся гармонической килевой качке с амплитудой 9° и периодом 15 сек, считая, что ось ротора турбины параллельна продольной оси корабля. Ротор, имея вес 200 кГ и радиус инерции 0,8 м, делает 18 000 об/мин, расстояние между подшипниками равно 1 м ( смотри рисунок).
 При килевой качке изменяется угол дифферента корабля. Закон этого изменения имеет вид
,
где по условию задачи D = 9° = π/20, T = 15 сек.
 Принудительная прецессия ротора происходит вокруг оси, перпендикулярной к диаметральной плоскости корабля, т. е. к плоскости симметрии корабля, проходящей через его киль.
 Угловая скорость принудительной прецессии равна
.
Максимальная величина этой угловой скорости
.
 Так как ось вращения ротора и ось принудительной прецессии взаимно перпендикулярны, то максимальное значение гироскопического момента будет
Мг = l ω1 ω2,
где I = 200·0,64/g ≈ 13,06 кГ м сек2 — момент инерции ротора, а
.
Согласно формуле (8) максимальные давления на подшипники равны
.
 Гироскопический момент направлен по вертикали вверх или вниз в зависимости от знака θ '. Силы Q и Q ', приложенные к подшипникам, расположены в горизонтальной плоскости, перпендикулярно диаметральной плоскости корабля. Эти силы периодически меняют свое направление на противоположное.
 Из приведенного примера следует, что гироскопические давления могут достигать очень больших значений, значительно превосходящих статические давления.

Нахождение гироскопического момента в пакете MAPLE

>restart:with(linalg):
>omega1:=vector([20,0,0]);omega2:=vector([0,0,2]);Iz:=0.16;
>gm:=Iz*crossprod(omega2,omega1);# Вектор гироскопического момента
>norm(gm,2); # Величина гироскопического момента