Удар

Тема 12

Общие положения.
Действие ударной силы на материальную точку.
Теорема об изменении количества движения и движения центра масс системы при ударе.
Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе.
Изменение угловой скорости при ударе по телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
Теорема Кельвина.
Теорема Карно для случая мгновенного наложения идеальных неупругих связей.
Теорема Карно для мгновенного снятия стационарных связей.

Общие положения

Силы, действующие на тела, подразделяют на силы, изменяющие скорости точек в течение некоторого конечного промежутка времени, — конечные силы и силы, изменяющие скорости точек тела в течение весьма малого промежутка времени, — мгновенные, или ударные, силы.
Мгновенной, или ударной, называют силу, действующую в течение весьма малого промежутка времени, но достигающую при этом таких больших значений, что ее импульс за это время становится конечной величиной.
Пусть F — ударная сила, τ — время действия этой силы. Тогда импульс этой силы за промежуток времени τ

. Импульс S называют ударным и он является конечной величиной.
Явление, при котором возникают мгновенные, или ударные, силы, называют ударом.
Общую нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения назовем линией удара (смотри рисунок).
Удар называют центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара (смотри рисунок). Центральный удар называют прямым, если скорости центров масс соударяющихся тел в начале удара направлены по линии удара (смотри рисунок).
Удар тел А и В для простоты предполагаем прямым центральным ударом. Тела А и В считаем абсолютно гладкими. После момента соприкосновения оба тела деформируются, при этом скорости тел меняются. Процесс деформации заканчивается тогда, когда скорости тел делаются равными. Эту часть явления удара называют фазой деформации; продолжительность этой фазы обозначим τ₁ (Коментарий здесь).
Ударная сила F_BA на тело А со стороны тела В направлена по линии удара влево. Сила F_AB со стороны тела А на тело В направлена по линии удара вправо и F_BA = − F_AB (смотри рисунок).
Ударный импульс силы F_BA за фазу деформации

. Импульс силы F_AB за эту же фазу обозначим

. Очевидно, S_BA = − S_AB.
После деформации тела восстанавливают свою форму целиком или частично, если они в какой-то степени упруги. Эту часть явления удара называют фазой восстановления. Продолжительность этой фазы| обозначим τ₂. Фаза восстановления заканчивается в момент отделения тел друг от друга. Импульс ударной силы, действующей на тело А, за эту фазу восстановления

, где τ = τ₁ + τ₂ – полная продолжительность удара.
Результат действия ударной силы оценивается по ее импульсу – конечной величине. Общие теоремы, применяемые к удару, формулируют так, чтобы в них входили не ударные силы, а ударные импульсы.
Упругость соударяющихся тел при ударе оценивают отношением ударного импульса за фазу восстановления к ударному импульсу за фазу деформации, т. е. отношением S ' / S.
Безразмерный коэффициент k называют коэффициентом восстановления

. (1) Коэффициент восстановления определяют опытным путем. В зависимости от природы тел он изменяется в пределах 0 ≤ k ≤ 1.
При k = 0 величина S ' = 0, т. е. фаза восстановления отсутствует — это при ударе абсолютно неупругих тел. Такой удар называ абсолютно неупругим.
В случае k = 1 величина S ' = S. В этом случае можно считм что за фазу восстановления тела полностью восстанавливают форму. Этот удар называют абсолютно упругим.
При 0 ≤ k ≤ 1 происходит удар тел средней упругости и удар называют упругим.

Действие ударной силы на материальную точку

Пусть на материальную точку массой m действует ударная сила F и конечная сила F *. Время действия ударной силы обозначим τ скорость точки в начале удара v, в конце удара u. Тогда по теореме об изменении количества движения материальной точки

. (2) Первый интеграл есть ударный импульс S и, следовательно, конечная величина. Для второго интеграла (импульса силы F *) по теореме о среднем значении

, где F*_ср – конечная величина, τ – малая величина и поэтому можно принять S * = 0. Тогда равенство (2) примет вид m u − m v = S, (3) т. е. изменение количества движения материальной точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке.
Уравнение (3) называют основным уравнением динамики точки при ударе. Из этого уравнения для скорости материальной точки в конце удара находим

. (4) Здесь u – конечная величина, так как v, S и τ – конечные величины (смотри рисунок).
Определяем расстояние, пройденное точкой за время удара:

, где v – переменная скорость точки в промежутке времени (0, τ).
По теореме о среднем значении l = v_ср·τ. Здесь v_ср – конечная величина, τ — малая величина, поэтому можно принять l ≈ 0.
Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1) действием конечных сил за время действия ударных сил можно пренебречь;
2) перемещением точки за время действия ударных сил можно пренебречь;
3) действие ударных сил на материальную точку выражается в быстром изменении величины и направления скорости точки по формуле (4).

Теорема об изменении количества движения и движения центра масс системы при ударе

Пусть имеем систему материальных точек В₁, В₂, ..., В_N. В некото рый момент времени на точки этой системы действуют внешние и внутренние ударные силы. Действием конечных сил пренебрегаем. Время действия ударных сил обозначаем τ. Скорость точки В_k в начале удара обозначим v_k, в конце удара – u_k, равнодействующую внешних ударных сил – F_k^(e) равнодействующую внутренних ударных сил – F_k⁽ⁱ⁾.
По теореме об изменении количества движения системы известно, что изменение количества движения системы за какой-либо промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, приложении к системе за тот же промежуток времени. Для изменения количества движения системы за время удара по этой теореме

(5) или

, (5 ') где Q – количество движения системы, S_k^(e) – внешний ударный импульс.
В проекции на ось Ох

. Для осей Оу и Оz имеем аналогичные равенства.
Равенство (5) выражает теорему об изменении количества движения при ударе: изменение количества движения системы за время удара равно векторной сумме внешних ударных импульсов, приложенн к системе.
Формулу (5) можно представить иначе, если количество движения системы в начале и конце удара выразить через скорость центра масс. Скорость центра масс в начале удара обозначим v_C, в конце удара u_C, массу всей системы – М. Тогда M·(u_C − v_C ) = Σ S_k^(e). (6) В проекции на ось Ох по формуле (6) M·(u_Cx − v_Cx ) = Σ S_kx^(e). (6 ') Равенство (6) выражает теорему об изменении движения центра масс системы при ударе.
В частном случае, когда Σ S_k^(e) = 0, из формулы (5) следует Σ m_k u_k = Σ m_k v_k. Соответственно из формулы (6) u_C = v_C. Таким образом, если векторная сумма внешних ударных импульсов, приложенных к системе, равна нулю, то количество движения системы и скорость центра масс системы при ударе не изменяются.

Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе

По теореме об изменении кинетического момента системы

, где K₀ = Σ (r_k × m_kv_k) – кинетический момент системы относительно неподвижной точки О, Σ M₀ (F_k^(e)) = Σ (r_k × F_k^(e)) – главный момент внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки О.
Обе части равенства, выражающего теорему об изменении кинетического момента системы, умножаем на d t, заменив главный момент внешних сил его выражением согласно последнему равенству. Тогда

. Это выражение интегрируем по времени в пределах от нуля до τ, где τ – продолжительность удара:

. Левая часть этого равенства характеризует изменение кинетического момента системы относительно точки О за время удара. Обозначим это изменение Δ K₀ . Правую часть равенства преобразуем, изменив порядок суммирования и интегрирования и вынеся потом r_k за знак интеграла. Перемещением точек системы за время удара пренебрегаем и, следовательно, вектор r_k в промежутке интегрирования (0, τ), постоянный. Таким образом, для правой части равенства

. Так как

– внешний ударный импульс, то

. Окончательно

. (7) Равенство (7) выражает теорему об изменении кинетического момента системы при ударе. Полученный результат можно сформулировать так: изменение кинетического момента системы относительно какой-либо точки за время удара равно векторной сумме моментов, внешних ударных импульсов, приложенных к системе, относительно той же точки.
Проектируя обе части равенства (7) на ось координат Ох, получаем

. (7 ') т. е. изменение кинетического момента системы относительно какой либо оси за время удара равно сумме моментов внешних ударны импульсов относительно той же оси.
В частном случае при

из формулы (7) следует Δ K₀ = 0, т. е. если сумма моментов внешних ударных импульсов, приложенных к системе относительно какой-либо точки, равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой точки при ударе не изменяется.
Аналогично из формулы (7 ') при

следует Δ K_x = 0, т. е. в этом случае кинетический момент системы относительно оси Ох при ударе не изменяется.

Изменение угловой скорости при ударе по телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси

Ось вращения обозначим Оz, закрепленные точки А и В. При ударе по телу могут возникнуть ударные реакции R_A и R_B, а следовательно, и ударные импульсы S_A и S_B. Угловую скорость тела в начале удара обозначим ω₀, в конце удара ω.
По теореме об изменении кинетического момента системы при удар в проекциях на ось вращения Oz

. (8) Ударные импульсы S_A и S_B не создают моментов относительно оси вращения и в правую часть последнего равенства входят моменты только заданных (активных) ударных импульсов.
Кинетический момент тела, вращающегося вокру неподвижной оси, относительно оси вращения определяется по фор муле К_z = J_z ω, где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения. Кинетический момент тела относительно оси вращения в начал удара, следовательно, равен J_z ω₀, в конце удара J_z ω. Изменение кинтического момента за время удара Δ К_z = J_z ω − J_z ω₀ = J_z (ω − ω₀). Уравнение (8) окончательно примет вид

, (9) т. е. произведение момента инерции тела относительно оси вращени на изменение угловой скорости за время удара равно сумме моментов внешних ударных импульсов, приложенных к телу, относитель оси вращения.

Теорема Кельвина

Работа силы, приложенной к точке за какой-либо промежуток времени, равна скалярному произведению импульса силы за этот промежуток времени на полусумму начальной и конечной скоростей точки.
Прямое применение теоремы об изменении кинетической энергии системы для случая удара невозможно, так как перемещением точек за время удара пренебрегаем и поэтому нельзя подсчитать работу по силам и перемещениям точек. Так как ударные силы представляются их импульсами, то, очевидно, нужно выразить работу сил через их импульсы.
По теореме об изменении количества движения материальной точки за промежуток времени от момента t₁ до момента t₂ имеем

. Умножаем скалярно это равенство на v₂ и v₁

Сложим эти равенства и разделим на 2

. (10) По теореме об изменении кинетической энергии левая часть этого равенства представляет работу А силы F на перемещении точки за рассматриваемый промежуток времени.
Таким образом,

, (11) Что и требовалось доказать.

Теорема Карно для случая мгновенного наложения идеальных неупругих связей

Связь, наложенная на систему при ударе, называют неупругой, если она остается и в конце удара.
Пусть материальная точка связана невесомой нерастяжимой нитью с неподвижной точкой О. Эта нить в начале не натянута (смотри рисунок). Точка движется прямолинейно и равномерно со скоростью v. В некоторый момент времени нить натягивается и происходит удар точки и точка начинает двигаться по сферической кривой с некотор другой скоростью. Обозначим эту скорость u. В момент наложенн связи на точку начинает действовать ударная реакция нити, и импульс этой реакции направлен по нити, следовательно, S

u.
По теореме Кельвина находим изменение кинетической энергии материальной точки:

. Но скалярное произведение S · u = 0, так как S

u и поэтому

. По теореме об изменении количества движения материальной точки при ударе имеем m u − m v = S. Умножим обе части этого равенства скалярно на S и, учтя равенство S · u = 0, найдем − mS · v = S² и

. Приращение кинетической энергии

; (12) или, учитывая S = m ( u − v ), окончательно получим

. (13) Вектор u − v называют потерянной скоростью. Из формулы (13) получаем, что Δ T < 0, т. е. кинетическая энергия материальной точки в результате наложения связи уменьшается. Потерянную кинетическую энергию обозначим Т_пот; из (13)

. (14) Полученный результат можно обобщить на случай системы матеральных точек и тогда

. (15) Равенство (15) составляет содержание первой теоремы Карно формулируется так: при мгновенном наложении на систему идеальных стационарных, неупругих связей происходит потеря кинетической энергии, равная по величине кинетической энергии системы от потерянных скоростей.

Теорема Карно для мгновенного снятия стационарных связей

Пусть точка с наложенной на нее связью имеет скорость v. Эта связь снимается ударом с импульсом S, перпендикулярным к скорости v. Ударный импульс S может быть импульсом любой ударной силы, перпендикулярной к скорости точки v, способный освободить точку от связи. Скорость точки в конце удара обозначим u. Для приращения кинетической Энергии за время удара, пользуясь теоремой Кельвина, получаем

. Но импульс S перпендикулярен к скорости v по условию S · u = 0. Тогда

. По теореме об изменении количества движения материальной точки при ударе имеем m u − m v = S. Умножаем обе части, этого равенства скалярно на S mS · u = S² и

Заменив S его значением S = m ( u − v ) для приращения кинетической энергии, получаем

. (16) Из формулы (16) следует, что Δ Т > 0, т. е. кинетическая энергия материальной точки при отсутствии связи увеличивается. Вектор u − v называют приобретенной скоростью.
Полученный результат обобщаем для системы материальных точек:

. (17) Таким образом, при мгновенном снятии с системы наложенных на нее связей ударами, импульсы которых перпендикулярны к скоростям точек системы, кинетическая энергия системы возрастает на величину, равную кинетической энергии системы от приобретенных скоростей.