К разделу
Тема 2 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Свободные колебания материальной точки.
  2. Пример.
  3. Эквивалентные жёсткости при сложном соединении пружин.
  4. Влияние сопротивления на свободные колебания.
  5. Вынужденные колебания материальной точки.
  6. Резонанс.
  7. Биения.
  8. Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трения.
  9. Вопросы для самопроверки.

Свободные колебания материальной точки

 Точка совершает прямолинейное движение (смотри рисунок), на точку действует сила F = − c OM. Сила F стремится вернуть точку в положение ''О''. Запишем закон Ньютона m a = F. Спроектируем это уравнение на ось Ох: или или или . Введём обозначение
                    (1)
Тогда последнее уравнение (закон гармонического колебания материальной точки) примет вид .
  Характеристическое уравнение λ ² + ω² = 0 имеет пару чисто мнимых сопряжённых корней λ = ± j·ω. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид
x = C1·cos ωt + C2·sin ωt.
 Если ввести обозначения C1 = a·sin φ, C2 = a·cos φ, то уравнения движения приводятся к виду
x = C1·cos ωt + C2·sin ωt = a·sin φ·cos ωt + a·cos φ·sin ωt = a·sin (ωt + φ).
ω - круговая частота колебания, ωt + φ - фаза колебания, φ - начальная фаза колебаний, a - амплитуда колебаний, - период колебания.
 Свободные колебания материальной точки, совершаемые под действием восстанавливающей силы, являются гармоническими колебаниями. Пусть при t = 0 имеем x = x0 и . Так как x = a·sin (ωt + φ) и , то x0 = a·sin φ и v0 = a·ω·cos φ. Из последних двух соотношений найдём зависимости для амплитуды и начальной фазы колебаний
 и
 Амплитуда, начальная фаза зависят от начальных условий. Круговая частота, а значит и период, от начальных данных не зависят.

Пример

 В качестве примера (смотри рисунок) рассмотрим колебание груза, подвешенного на пружине. Пусть к вертикальной пружине, имеющей в естественном состоянии длину АВ = l0 и закрепленной в точке А, подвешен груз М весом Р. Примем положение равновесия груза, т. е. то положение, в котором вес груза уравновешивается реакцией пружины, за начало координат О. Ось х направим по вертикали вверх. Статическое удлинение пружины ВО, соответствующее положению равновесия груза, обозначим через λст. Удлинение пружины ВM, соответствующее положению М груза, обозначим через λ. Тогда, как видно из чертежа, будем иметь:
λ = λст− x.
Груз весом Р, подвешенный на пружине, вызывает статическое удлинение λст.
 Согласно закону Гука сила упругости (реакция) пружины F пропорциональна ее удлинению, т. е. F = сλ, где с — коэффициент пропорциональности (жесткость пружины). Статическим удлинением называется удлинение пружины до состояния О равновесия груза. Так как в положении равновесия модуль силы F равен весу Р, то
P = c·λст
Отсюда
.
 Зная из опыта λст, можно найти по этой формуле коэффициент с. Обратно, зная жесткость с пружины, находим статическое удлинение пружины:
.
 Дифференциальное уравнение движения груза будет иметь следующий вид:
,
или
.
 Заменяя здесь λ через λст − x, получим
,
или, так как c·λст − P = 0,
,
 Это есть дифференциальное уравнение гармонического колебания. Груз, подвешенный на пружине, совершает гармоническое колебание около положения равновесия. Амплитуда этого колебания определяется из начальных условий движения груза, а период колебания находится по формуле
.
 Если подставим сюда значения
и ,
то получим:
.
 К примеру, при статическом удлинении λст = 5 см период колебания такой упругой системы равен 

Эквивалентные жёсткости при сложном соединении пружин

  1. Параллельное соединение. При параллельном соединении пружин все пружины имеют одинаковое удлинение, F = F1 + F2, c·x = c1·x + c2·x. Откуда имеем c = c1 + c2.
    При параллельном соединении пружин коэффициент упругости эквивалентной пружины равен сумме коэффициентов упругости данных пружин.
  2. Последовательное соединение F = F1 = F2, x = x1 + x2. Окончательно
    .
 При последовательном соединении пружин податливость эквивалентной пружины равна сумме податливостей данных пружин.
 Пружина называется эквивалентной для данного сложного соединения, если она под действием той же силы растягивается на ту же величину.

Влияние сопротивления на свободные колебания

 На тело действуют сила сопротивления (смотри рисунок), величина которой пропорциональна скорости движения тела R = − α·V, возвращающая сила F. Дифференциальные уравнения движения имеют вид
.
 Если ввести обозначения , то дифференциальные уравнения движения можно записать в виде
.
 Характеристическое уравнение λ² + 2nλ + ω² = 0 имеет корни
  1. Случай малого сопротивления n < ω. В этом случае корни характеристического уравнения  комплексные и решение уравнения движения имеет вид
                         (1)
    Пусть C2 = a·cos φ, C1 = a·sin φ, тогда решение (1) примет вид
    Пусть при t = 0 имеем , тогда
    и для определения a и φ будем иметь соотношения
    Откуда
    Так же как и для свободных колебаний, амплитуда и начальная фаза зависят от начальных условий.
     Колебания не являются периодическими. Найдём моменты времени, при которых точка получает максимальное отклонение от положения равновесия
    Откуда имеем

    Величины последовательных максимальных отклонений будут определяться соотношениями
     Найдём декремент затухания (отношение предыдущего максимального отклонения к последующему)
    .
     Моменты времени, в которых точка получает максимальные отклонения от положения равновесия, следуют в арифметической последовательности с разностью
    .
     Максимальные отклонения от положения равновесия точки образуют геометрическую прогрессию с частным
    .
     Выражение
    .
    называется логарифмическим декриментом затухания (смотри рисунок).
  2. Случай большого сопротивления n > ω. В этом случае закон колебания имеет вид
    x = e- nt·(C1·ch νt + C2·sh νt)
    где . Если C1 = a·sh φ, C2 = a·ch φ, то x = a·e- nt·sh (νt + φ). Движение называется апериодическим (смотри рисунок).

Вынужденные колебания материальной точки

 Предположим теперь, что на материальную точку М, движущуюся по оси х, кроме силы F, пропорциональной расстоянию х, действует еще некоторая, периодически изменяющаяся сила S (смотри рисунок). Допустим, что проекция силы S на ось х изменяется со временем по закону синуса, т. е
S = H·sin (p t + δ),
где Н, p и δ – некоторые данные постоянные числа. Силу F, стремящуюся вернуть точку М в положение равновесия О, называют иногда восстанавливающей силой, а силу S – возмущающей силой. Дифференциальное уравнение движения точки М имеет в этом случае следующий вид:
 (1)
 Если ввести обозначения , то уравнение (1) примет вид
.
 Согласно теории неоднородных линейных дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо его частного решения: . Где x0 находится из дифференциального уравнения . Общее решение этого уравнения имеет вид x0 = C1·cos ω t + C2·sin ω t. Вводя обозначения C1 = a·sin β, C2 = a·cos β общее решение для x0 можно записать в виде x0 = a·sin (ω t + β). Частное решение  будем искать в виде . Подставляя это решение в дифференциальное уравнение, будем иметь соотношение
- p²·B·sin (p t + δ) + ω²·B·sin (p t + δ) = h·sin (p t + δ),
из которого найдём выражение для коэффициента . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде
. (2)
 Первое слагаемое в (2) соответствует свободным колебаниям точки, второе слагаемое в (2) соответствует вынужденным колебаниям.
 При одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное движение, представляющее результат наложения свободных и вынужденных колебаний. Постоянные а и β определяются по начальным условиям движения. Пусть при  t = 0 имеем x = x0, v = v0. Вычислим производную
.
Учитывая начальные условия, получим систему уравнений
,
из которых найдём
.
 Вынужденные колебания не зависят от начальных условий. Амплитуда вынужденных колебаний определится соотношением , период вынужденных колебаний .
Если p < ω, то
и его амплитуда
.
 Фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы.
 Если p > ω, то
и амплитуда вынужденных колебаний
.
 Фаза вынужденных колебаний большой частоты отличается от фазы возмущающей силы на величину π, то есть колебания происходят в противофазе.
 В случае вынужденных колебаний малой частоты точка всегда отклонена от начала координат в ту сторону, в которую направлена в данный момент возмущающая сила S. В случае вынужденных колебаний большой частоты отклонение точки от начала координат всегда противоположно направлению возмущающей силы S в данный момент (смотри рисунок).

Резонанс

 Коэффициентом динамичности называется величина  или
(смотри рисунок)

Биения

 Предположим нулевые начальные условия x = 0, v0 = 0. В этом случае
или
Подставив эти соотношения в закон колебания, получим
 Если считать p ≈ ω, то
,
где
.
 Колебания в этом случае происходят с периодически меняющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями. Период изменения амплитуды
.
 Максимальные отклонения от положения равновесия следуют в арифметической прогрессии с разностью (смотри рисунок).

Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трения

 Дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс такой системы, имеет вид
. (2)
Вводя обозначения
, (3)
приходим к уравнению в следующей форме
. (4)
 Его общее решение имеет вид
, (5)
где С1 и С2 определяются из начальных условий, причём
 (6)
есть частота затухающих колебаний системы, а угол γ, характеризующий отставание фазы перемещения от фазы силы, определяется формулой
. (7)
 Первая часть полученного решения представляет собой колебания с частотой k, которые с течением времени затухают и вскорее после начала процесса становятся практически несущественными. Основное значение имеет вторая часть общего решения
, (8)
описывающая незатухающие установившиеся колебания, происходящие с частотой возбуждения.
 Амплитуда установившихся колебаний определяется выражением
. (9)
 Отношение амплитуды А к статическому перемещению xст = Н/с равно
 (10)
и представляет собой коэффициент динамичности.

Вопросы для самопроверки

  1. Как выражается закон гармонического колебания материальной точки?
  2. Зависит ли период гармонического колебания от начальных условий движения материальной точки?
  3. В каком случае при вынужденных колебаниях материальной точки наступит явление резонанса? Чем характерно это явление?
  4. В каком случае при вынужденных колебаниях материальной точки наступит явление биения? Чем характерно это явление?