К разделу
Тема 3 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Количество движения для точки и системы.
  2. Элементарный и полный импульс силы.
  3. Теорема об изменении количества движения точки.
  4. Кинетический момент точки.
  5. Теорема об изменении кинетического момента точки
  6. Законы сохранения кинетического момента.
  7. Секторная скорость. Теорема площадей.
  8. Движение точки под действием центральной силы.
  9. Кинетическая энергия точки.
  10. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
  11. Потенциальная энергия.
  12. Закон сохранения кинетической энергии.
  13. Вопросы для самопроверки.

Количество движения для точки и системы

      Представим себе движущуюся материальную точку М, обозначим ее массу через m, а скорость через v. Количеством движения материальной точки М называется вектор q = m·v.
 Проекции количества движения q = m·v на оси х, у, z равны
qx = m·vx, qy = m·vy, qz = m·vz,
где vx, vy, vz есть проекции скорости v на оси х, у, z. Но проекции скорости v на координатные оси равны первым производным от координат х, у и z точки М по времени t. Обозначая эти производные через х', у', z', заключаем, что проекции количества движения на координатные оси равны
qx = m·х', qy = m·у', qz = m·z'.

Элементарный и полный импульс силы

 Установим понятие импульса силы сначала для частного случая силы, постоянной по величине и по направлению. Представим себе силу F, постоянную по величине и по направлению, возьмем два момента времени t1 и t2 и обозначим промежуток времени t2 - t1 через τ. Импульсом силы F за промежуток времени τ называется вектор
S = F·τ.
Величина импульса S равна S = F τ, направление импульса S совпадает с направлением силы F.(смотри рисунок)
 Обобщим теперь понятие импульса на случай переменной силы. Представим себе переменную силу F и возьмём два момента времени t1 и t2 . Чтобы установить понятие импульса силы F за время t2 - t1 введем понятие элементарного импульса. Возьмем два бесконечно близких момента времени t и t + dt, заключающихся между моментами t1 и t2 и отметим величину и направление силы F, соответствующие моменту t . Элементарным импульсом силы F за элементарный (бесконечно малый) промежуток времени dt называется бесконечно малый вектор dS, численное значение которого равно
| dS | = F dt
и который имеет направление силы F, dS = F dt - элементарный импульс силы.
 Представим себе теперь, что мы разбили промежуток времени t2 – t1 на ряд d t элементарных промежутков времени dt и составили элементарные импульсы dS силы F, соответствующие всем этим бесконечно малым промежуткам времени. Импульсом S силы F за время t2 – t1 называется сумма всех элементарных импульсов dS:
S = Σ dS = ΣF dt.
 Векторная сумма ΣF dt, состоящая из бесчисленного множества бесконечно малых слагаемых, называется векторным интегралом от вектора F по скалярному аргументу t и обозначается - полный импульс силы за промежуток времени t, т. е. импульс переменной силы F равен векторному интегралу от силы F по времени t. В проекциях на координатные оси имеем
.
 Вычислив по этим формулам проекции импульса Sx, Sy и Sz, найдем затем величину импульса S по формуле

Теорема об изменении количества движения точки

 Обратимся теперь к вопросу о том, как изменяется количество движения материальной точки с течением времени. Представим себе материальную точку М, движущуюся в пространстве под действием приложенных к ней сил F1, F2, ... , Fn; равнодействующую этих сил обозначим через F. Составим дифференциальные уравнения движения точки М в проекциях на координатные оси х, у, z. Обозначая проекции равнодействующей F на эти оси через X, Y, Z, будем иметь:

m х" = X, m у" = Y, m z" = Z.
Возьмем два момента времени t1 и t2 . Умножим обе части первого из написанных уравнений на бесконечно малый промежуток времени dt и проинтегрируем по переменной t в пределах от t1 до t2
. (1)
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, есть не что иное, как проекция на ось х импульса равнодействующей F за время t1 – t2. Интеграл же, стоящий в левой части равенства (1), может быть взят по формуле
.
 Обозначим скорость точки М в моменты t1 и t2 соответственно через v1 и v2. Значения производной х' в моменты t1 и t2 равны проекциям на ось х скоростей v1 и v2; обозначая эти проекции через v1x и v2x, имеем:
.
Обозначим импульс равнодействующей F за время t1 – t2 через S, а проекцию этого импульса на ось х через Sx. В таком случае равенство (1) может быть переписано следующим образом:
m v2x - m v1x = Sx
Совершенно так же выводятся аналогичные уравнения
m v2y - m v1y = Sy,
m v2z - m v1z = Sz.
Умножая полученные равенства соответственно на единичные векторы i, j, k, направленные по осям х, у, z, и складывая их почленно, получим:
m v2 - m v1 = S. (2)
Изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток  времени. Вспоминая, что импульс S равнодействующей F равен сумме импульсов Sl, Sl, …, Sn составляющих Fl, Fl, …, Fn за время t1 – t2 приходим окончательно к следующему результату:
m v2 - m v1 = Sl + S2 + … + Sn.
Приращение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов приложенных сил за тот же промежуток времени. Эта теорема называется законом количества движения.
 Из равенства (2) заключаем, что вектор m v2 равен сумме векторов m v1 и S. Другими словами, вектор m v2 может быть представлен как замыкающая сторона треугольника, построенного на векторах m v1 и S (смотри рисунок).
 В приложениях законом количества движения приходится чаще пользоваться не в векторной форме, а в проекциях на ту, либо на другую ось. В проекциях на ось х мы имеем:
m v2x - m v1x = S1x + S2x + … + Snx,

где S1x, S2x, ..., Snx есть проекции импульсов Sl, S2, … , Sn на ось x. Имея в виду, что m vx есть проекция количества движения на ось х, а разность m v2x - m v1x есть приращение этой проекции за время t1 – t2 мы можем высказать следующее положение: приращение проекции количества движения за некоторый промежуток времени равно сунме проекций импульсов приложенных сил за тот же промежуток времени. Так формулируется закон количества движения в проекциях на какую - либо ось. 

Кинетический момент точки

 Наряду с количеством движения в качестве векторной меры движения можно использовать кинетический момент или момент количества движения.
 Для материальной точки массой m, движущейся со скоростью v, кинетическим моментом ко относительно какого-либо центра О называют момент количества движения точки относительно этого центра О , т. е.

. (2)
 Кинетический момент (2) приложен к точке О, относительно которой он вычисляется.
 Проектируя обе части соотношения (2) на прямоугольные декартовы оси, получаем кинетические моменты точки относительно этих осей координат, если точка О является началом осей координат:
 Размерность кинетического момента в системе СИ (смотри рисунок).

Теорема об изменении кинетического момента точки

 Для материальной точки основной закон динамики можно предста вить в виде
. (3)
Умножая обе части этого соотношения слева векторно на радиус -вектор r, получаем
. (3)
В правой части этой формулы имеется момент силы относительнс неподвижной точки О. Преобразуем левую часть, применив формулы производной от векторного произведения
.
Но
как векторное произведение параллельных векторов.
 После этого из (3) получаем
.
По определению и таким образом, уравнения можно записать в виде
.
или
. (4)
 Таким образом, первая производная по времени от кинетического момента точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра. Это и есть теорема об изменении кинетического момента для точки. Проектируя (4) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента точки относительно этих осей координат:
.

Закон сохранения кинетического момента

 Если момент действующей на материальную точку силы, относительно какой-нибудь неподвижной оси всё время равен нулю, то кинетический момент точки относительно этой оси остаётся постоянным

Секторная скорость. Теорема площадей

  Наряду с введенными в кинематике точками скоростью и и ускорением а можно ввести другие характеристики движения точки как, например, секторные скорость и ускорение. Секторной скоростью точки vσ или относительно точки О называют векторную величину, определяемую по формуле
где
есть вектор, численно равный заштрихованной на рисунке площади , ометаемой радиусом-вектором r движущейся точки за время Δ t; направление вектора vσ берется по перпендикуляру к заштрихованной плоскости так, чтобы с конца этого вектора видеть поворот радиуса-вектора r против движения часовой стрелки (смотри рисунок). Для случая движения точки по плоскости секторная скорость перпендикулярна к этой плоскости, если точка O выбрана в той же плоскости, в которой движется точка. Секторная скорость всегда приложена в той точке, относительно которой она вычисляется. Секторное ускорение aσ можно ввести как производную по времени от вектора секторной скорости, т. е.
.
Секторную скорость можно выразить через момент линейной скорости v относительно точки О
. (5)
 Секторная скорость зависит от центра, относительно которого она определяется. Вектор секторной скорости точки относительно некоторого центра равен по модулю и направлению половине вектора-момента линейной скорости этой точки относительно того же центра.
 Если движение точки происходит в плоскости, то секторную скорость можно считать алгебраической величиной. В этом случае секторную скорость точки можно выразить в полярных координатах. Из формулы (5) величина секторной скорости
.
Но из кинематики точки в полярной системе координат на плоскости известно, что
.
Следовательно
. (6)
Формула (6) выражает секторную скорость в полярных координатах в случае плоского движения точки.
 Используя формулу (5), кинетический момент через секторную скорость можно записать в виде
.
Кинетический момент материальной точки относительно неподвижного центра равен удвоенному произведению массы точки на её секторную скорость.
 Теорема об изменении кинетического момента (4) для точки можно выразить через секторную скорость формулой
 (7)
в форме (6) теорему об изменении кинетического момента для точки называют теоремой площадей. ( - секторное ускорение)

Движение точки под действием центральной силы

 Центральной силой F называют такую силу, линия действия которой при движении точки ее приложения проходит через одну и ту же точку О, называемую центром центральной силы.
 Центральная сила может быть притягивающей (направленной к центру) и отталкивающей (направленной от центра). Так как для центральной силы момент силы относительно своего центра равен нулю, т. е.
= 0
то по теореме об изменении кинетического момента для точки (6)
или
 (8)
 В проекциях на прямоугольные оси декартовой системы с началом в точке О по (8) имеем:
 (9)
где С1, C2, C3 — постоянные величины.
 Умножая первое соотношение (9) на х, второе на у, третье на z и складывая, получаем
0 = С1 x + C2 y + C3 z,
т. е. координаты движущейся точки х, у, z удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через начало координат.
 Следовательно, траектория точки, движущейся иод действием центральной силы, является плоской кривой, лежащей в плоскости, проходящей через центр силы.
 В случае центральной силы кинетический момент материальной точки относительно центра этой силы остаётся постоянным по модулю и по направлению. В этом случае векторы r и V всё время остаются в неизменной плоскости, перпендикулярной вектору K0.
 Так как при движении точки под действием центральной силы то
 или .
или
σ = σ0 + C t (10)
Формула (10) выражает так называемый интеграл площадей: при движении точки под действием центральной силы секторная скорость является постоянной величиной и, следовательно, вметаемая радиусом-вектором площадь пропорциональна времени. Пусть главный момент всех внешних сил, действующих на систему, относительно данного неподвижного центра всё время равен нулю. То удвоенная сумма произведений масс всех точек системы на их секторные скорости, вычисленные относительно того же центра, будет величиной постоянной.
 Интеграл площадей (6) в полярных координатах можно представить в виде
.

Кинетическая энергия точки

   Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы на квадрат её скорости: T =½·m·v².
- размерность кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку
Производная по времени от кинетической энергии равна мощности, подводимой к точке.
Так как , то последнее соотношение можно записать в виде
.
Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом перемещении

Потенциальная энергия

   Потенциальной энергией называют функцию противоположную силовой с точностью до произвольного постоянного слагаемого
U = - П + const

Закон сохранения кинетической энергии

   При движении точки в потенциальном силовом поле её полная механическая энергия остаётся постоянной величиной. Величина W = T + П называется полной механической энергией точки.
dT = dA; dT = - dП; d(T + П) = 0; Т + П = const.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется количеством движения материальной точки?
  2. В чём состоит теорема об изменении количества движения точки?
  3. Что называется кинетическим моментом материальной точки? Как направлен этот кинетический момент?
  4. Как выражается теорема об изменении момента количества движения точки в векторной и координатной формах?
  5. Назовите размерность количества движения материальной точки.
  6. Назовите размерность момента количества движения материальной точки.
  7. Что называется элементарным импульсом силы?
  8. Что называется полным импульсом силы?
  9. В каких единицах измеряется элементарный импульс силы в системе СИ?