din4

Тема 4

Механическая система
Вычисление количества движения системы.
Теорема об изменении количества движения системы.
Законы сохранения количества движения.
Теорема о движении центра масс.
Кинетический момент системы.
Теорема об изменении кинетического момента
Законы сохранения кинетических моментов

Механическая система

Любая совокупность материальных точек. В механике материальное тело рассматривается как механическая система, образованная непрерывной совокупностью материальных точек.

Вычисление количества движения системы

Сумма количеств движения каждой точки механической системы называется количеством движения системы

.
В проекциях на координатные оси

. Количество движения системы равно количеству движения точки, совпадающей с центром масс системы, при условии, что масса этой точки равна массе механической системы

. В проекциях на координатные оси имеем

Теорема об изменении количества движения системы

Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему

. В проекциях на координатные оси имеем

. Запишем вторую аксиому динамики для каждой точки и сложим

. (1) Так как

, сумма всех внутренних сил равна нулю

;

есть главный вектор всех внешних сил. Из соотношения (1) получаем доказательство теоремы.
Как следствие имеем, что производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо ось равна проекции главного вектора всех внешних сил, действующих на систему, на ту же ось.
Из соотношения (1) имеем

. Последнее соотношение можно интерпретировать следующим образом: элементарное изменение количества движения системы равно элементарному импульсу главного вектора внешних сил системы. Интегрируя последнее соотношение, получим

, или

- изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу главного вектора внешних сил системы за этот промежуток времени. В проекциях на оси координат эта теорема имеет вид

. Внутренние силы системы не входит явно в теорему об изменении количества движения системы в любой из форм и, следовательно, не влияют непосредственно на изменение количества движения системы.

Законы сохранения количества движения

Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению: Q = const.
Если проекция главного вектора внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на ту же ось постоянно по величине.

П р и м е р 1. Через изогнутую под прямым углом трубу постоянного сечения протекает за одну секунде жидкость массы m. Скорость течения жидкости равна V, постоянна и одна и та же у всех частиц жидкости. Найти силу давления трубы на упор в точке изгиба.
Р е ш е н и е.

Теорема о движении центра масс системы

Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассматриваемой механической системе.

. Так как Q = M·V_c, то

и M·a_с = R^(e). В проекциях на координатные оси эта теорема будет иметь вид:

Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то есть R^(e) = 0, то ускорение центра масс a_с = 0, а, следовательно V_с = const. В этом случае центр масс движется равномерно и прямолинейно, или находится в покое.
Если проекция на какую-либо ось главного вектора внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то проекция вектора скорости центра масс на эту ось есть величина постоянная.

Внутренние силы не влияют явно на движение центра масс. Одними внутренними силами без внешних сил нельзя вывести из равновесия или изменить движение центра масс системы.
П р и м е р 2. Человек массы m находится на узком плоту массы М, который находится на поверхности озера. Человек совершил перемещение Δ r ' относительно плота и остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало. Найти соответствующее перемещение Δ r₂ плота относительно берега.
Р е ш е н и е. По теореме о движении центра масс системы имеем

Интегрируя последнее соотношение, получим

. П р и м е р 3. Человек массы m находится на тележке массы М, движущейся с одинаковой скоростью V₀ с такой же впереди идущей тележкой. Человек перепрыгивает на впереди идущую тележку с относительной скоростью u. Найти скорости тележек после того, как человек совершит прыжок.
Р е ш е н и е.

- количество движения системы до прыжка.

- количество движения системы после прыжка

- теорема о сохранении количества движения системы.

. Из второго уравнения находим

Подставляя найденную скорость в первое уравнение, получим

Пример 3.

Машина для ковки метала приводится в действие посредством кривошипно-шатунного механизма. Вес станины Р₁, вес кривошипа Р₂, вес ножа Р₃. Найти давление станины на фундамент.
Решение. В проекции на ось Оу закон движения центра масс имеет вид

, где

Закон движения записывается уравнением

, откуда находится давление

. Из соотношения для центра масс имеем

. По условию задачи

- координата центра масс кривошипа ОА, у₁=ОС₁- координата центра масс станины,

Для вывода этого соотношения была использована теорема синусов

, и разложение биномиального выражения по формуле Маклорена

П р и м е р 4. Статор электродвигателя имеет вес P₁, веси ротора равен P₂ и величина эксцентрисистета центра масс ротора равен L. Ротор вращается с угловой скоростью ω. Найти интервал, в котором лежит вертикальная составляющая реакции болтов. Найти угловую скорость, начиная с которой двигатель будет подбрасывать, если он на закреплён. Найти горизантальную составляющую реакции болтов. Найти наибольшее горизонтальное усилие. Как будет двигаться статор двигателя, если болты сорвёт?
По теореме о движении центра масс имеем

Откуда найдём

Усилия в креплениях статора к фундаменту определятся соотношениями

Вертикальная составляющая реакции опоры лежит в интервале

Механизм начнёт подпрыгивать в условиях отсутствия болтов если

Горизонтальное усилие на болты определится соотношением

- наибольшее горизонтальное усилие, действующее на болты. После срыва болтов имеем

. В этом случае

. Интегрируя последнее соотношение, найдём

. Так как при t = 0 имеем х₁ = 0, то D₁ = 0. Скорость горизонтального смешения статора определится соотношением

Интегрируя это соотношение ещё раз, получим

. Так как при t = 0 имеем х₁ = 0, то

. Таким образом, закон горизонтального смещения статора электромотора после срыва болтов имеет вид

. Замечание: задачу можно решить и с помощью уравнений переносного движения

Кинетический момент системы

Для механической системы кинетическим моментом K₀, или главным моментом количества движения системы относительно какой - либо точки О, называют векторную сумму кинетических моментов точек этой системы, взятых относительно точки О, т. е.

. (2) Кинетический момент системы приложен к точке О, относительно которой он вычисляется.
Если спроектировать (2) на прямоугольные декартовы оси коордииаг, то получим проекции кинетического момента на эти оси или кинетические моменты относительно осей координат:

Теорема об изменении кинетического момента системы

Если к точкам системы приложить все внешние и внутренние силы , то для каждой точки системы можно выразить теорему об изменении кинетического момента в форме

k = 1, 2, …, N. Суммируя правые и левые части этих соотношений по всем N точкам системы и заменяя суммы производных производной от суммы,

- главный вектор внешних сил.

- по свойству внутренних сил системы.
Следовательно, первая производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки

. В проекциях на оси координат эта теорема имеет вид:

. Производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-нибудь неподвижной оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно этой же оси.
Теорема об изменении кинетического момента позволяет изучать вращательное движение твердого тела вокруг оси и точки, или вращательную часть движения тела в общем случае движения свободного твердого тела.

Законы сохранения кинетических моментов

Если главный момент внешних сил системы относительно точки О равен нулю , то . Этот частный случай теоремы об изменении кинетического момента системы называют законом сохранения кинетического момента. В проекциях на прямоугольные декартовы оси координат по этому закону K_x = C₁, K_y = C₂, K_z = C₃, (7) где C₁, C₂, C₃ – постоянные величины.
Соотношения (7) являются первыми интегралами дифференци альных уравнений движения системы. Закон сохранения кинетиче с кого момента системы показывает, что одни внутренние силы не могу изменить кинетический момент системы, так же, как они не изменяют ее количество движения.
Если момент действующей на материальную точку силы, относительно какой-нибудь неподвижной оси всё время равен нулю, то кинетический момент точки относительно этой оси остаётся постоянным

Так как

то кинетический момент системы относительно какой-либо координатной оси постоянен, если сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю, что, в частности, наблюдается, когда внешние силы параллельны оси или пересекают ее.