К разделу
Тема 5 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Моменты инерции первой степени (Статические моменты).
  2. Моменты инерции второй степени.
  3. Связь между моментами инерции.
  4. Радиус инерции.
  5. Моменты инерции относительно параллельных осей (Теорема Штейнера-Гюйгенса).
  6. Моменты инерции относительно осей пучка, выходящего из одной точки.
  7. Эллипсоид инерции.
  8. Главные оси инерции симметричных тел.
  9. Примеры.
  10. Таблица моментов инерции.

Моменты инерции первой степени (Статические моменты)

 Моменты инерции первой степени выражаются величинами , где ri - радиус-вектор частицы с массой m i. Известно, что = M·rc. Представим моменты инерции первой степени в разложении
.
Величины Σ mixi, Σ miyi, Σ mizi называются статистическими моментами инерции относительно координатных плоскостей Оyz, Оxz, Оxy. Кроме того Σ mixi = M·xc, Σ miyi = M·yc, Σ mizi = M·zc.

Моменты второй степени

 Моментами второй степени называются величины J(yz) = Σ mi·xi², J(xz) = Σ mi·yi², J(xy) = Σ mi·zi².
J(yz), J(xz), J(xy) - моменты инерции относительно плоскостей Oyz,  Oxz, Oxy.
Jyz = Σ m i·y i·z i, Jxz = Σ m i·x i·z i, Jxy = Σ m i·x i·y i - центробежные моменты инерции.
Jxx = Σ m i·(yi² + zi²), Jyy = Σ m i·(xi² + zi²), Jzz = Σ m i·(xi² + yi²) - осевые моменты инерции.  Jo = Σ m i·(xi² + yi² + zi²)- полярный момент инерции.

Связь между моментами инерции

  1. J(yz) + J(xz) + J(xy) = J0.
  2. Jxx + Jyy + Jzz = 2·J0.
  3. Jxx + Jyy > Jzz,   Jxx + Jzz > Jyy,   Jyy + Jzz > Jxx.
Эти свойства проверяются непосредственно.

Радиус инерции

 Радиусом инерции называется такое расстояние, на котором осевой момент инерции суммарной массы всей системы равен осевому моменту инерции системы.
Jxx = Σ mi·hi² = M·ρ²xx.
Радиус инерции системы относительно оси Ох
.
Приведение массы системы к данной точке: найти массу M ', которую нужно сосредоточить в данной точке, находящейся от оси Ох на расстоянии d, чтобы получить тот же момент Jxx
M '·d² = M·ρ²xx.
Cоотношение для приведённой массы

Теорема Штейнера-Гюйгенса

 Момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, сложенному с произведением массы всей системы на квадрат расстояния между ними.
 Д о к а з а т е л ь с т в о.
J zz = Σ mi·ρi²; J z1z1 = Σ mi·ri²
ri² = xi² + (yi - d)², ρi² = xi² + yi²
ri² = xi² + yi² + d² - 2yi d = ρi² + d² - 2yi d
J z1z1 = Σ mi·ρi² + Σ mi·d² - 2·Σ mi·yi d = J zz + d²·Σ mi - 2·d·Σ mi·yi = J zz + d²·M - 2·d·M·yc = J zz + d²·M.
Таким образом
J z1z1 = J zz + d²·M, ρ z1z1 = ρ zz + d².

Моменты инерции относительно осей пучка, выходящего из одной точки

 Возьмём какую - нибудь точку О данного тела и проведём через эту точку три взаимно перпендикулярные оси х, у, z. Затем проведём через точку О какую - нибудь ось L и отметим углы α, β, γ, образованные этой осью с осями х, у, z. Момент инерции данного тела относительно оси L обозначим через J. Момент инерции J зависит от направления оси L, т.е. от углов α, β, γ.
 Возьмём какую - нибудь точку Mi данного тела и опустим из точки Mi пермендикуляр MiАi = ri на ось L. Обозначим массу частицы Mi через mi, имеем для момента инерции
J = Σ mi ri².                     (1)
где сумма распространяется на все частицы тела.
 Из Δ OMiAi имеем ri² = OMi² - OAi². Обозначив координаты точки Мi относительно координатных осей x, y, z через xi, yi, zi имеем OMi² = xi² + yi² + zi². Отрезок ОAi есть проекция отрезка ОМi на ось L. Воспользовавшись сведения из аналитической геометрии, имеем
OAi = xi·cos α + yi·cos β + zi·cos γ.
Подставляя найденные значения OMi и OAi в выражение ri², получим
ri² = xi² + yi² + zi² - (xi·cos α + yi·cos β + zi·cos γ)²                     (2)
Поскольку cos² α + cos² β + cos² γ = 1, то
ri² = (xi² + yi² + zi²)·(cos² α + cos² β + cos² γ) - (xi·cos α + yi·cos β + zi·cos γ)² = (yi² + zi²)·cos α + (zi² + xi²)·cos β + (xi² + yi²)·cos γ - 2yizi·cos β cos γ - 2xizi·cos α cos γ - 2xiyi·cos α cos β.
Подставив полученное соотношение в (2) и затем в (1), получим
J = cos² α·Σ mi(y² + zi²) + cos² β·Σ mi(z² + xi²) + cos² γ·Σ mi(x² + yi²) - 2 cos β cos γ·Σ mi yi zi - 2 cos γ cos α·Σ mi zi xi - 2 cos α cos β·Σ mi xi yi =
=cos² α·Jxx + cos² β·Jyy + cos² γ·Jzz - 2 cos β cos γ·Jyz - 2 cos γ cos α·Jxz - 2 cos α cos β·Jxy.
Таким образом, получим окончательно
J = cos² α·Jxx + cos² β·Jyy + cos² γ·Jzz - 2 cos β cos γ·Jyz - 2 cos γ cos α·Jxz - 2 cos α cos β·Jxy.                     (3)

Эллипсоид инерции

 Возьмём какую- нибудь точку О в рассматриваемом теле и проведём через эту точку взаимно перпендикулярные оси x, y, z, а также ось L, образующую с осями x, y, z углы α, β, γ. обозначим момент инерции данного тела относительно оси L через J и отложим от точки О по оси L отрезок
.
 Различным направлениям оси L (т.е. различным значениям углов α, β, γ) соответствуют различные положения точки К. Обозначим координаты точки К относительно выбранной системы координат через x, y, z. Имеем
                     (4)
С другой стороны мы имеем зависимость (3). Подставляя в (3) соотношения (4), находим
J = cos² α·J·x² + cos² β·J·y² + cos² γ·J·z² - 2 cos β cos γ·J·y·z - 2 cos γ cos α·J·x·z - 2 cos α cos β·J·x·y.                     (5)
Сокращая с соотношение (5) на J, получим уравнение поверхности второго порядка.
cos² α·x² + cos² β·y² + cos² γ·z² - 2 cos β cos γ·y·z - 2 cos γ cos α·x·z - 2 cos α cos β·x·y = 1.                     (6)
В данном случае это будет эллипсоид, этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции. Заметим, что в уравнении (6) нет членов первой степени. Точка О является центром эллипсоида инерции.

Главные оси инерции симметричных тел

 Известно, что всякий эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии. Известно, что если взять эти оси симметрии за координатные оси, то уравнение эллипсоида примет канонический вид, в уравнении эллипсоида исчезают члены, содержащие произведения разноименных координат, так как центробежные моменты инерции исчезают. Если уравнение эллипсоида отнести к главным осям инерции, то уравнение инерции примет вид
cos² α·x² + cos² β·y² + cos² γ·z² = 1.                     (7)
Моменты инерции, отнесённые к главным осям инерции называются главными моментами инерции, отнесённые к данной точке О тела. Если известны главные моменты инерции и центробежные моменты инерции равны нулю, то момент инерции относительно любой оси, образующей углы α, β, γ с главными осями инерции, определится соотношением
J = cos² α·Jxx + cos² β·Jyy + cos² γ·Jzz.                     (8)
 Главные оси инерции тела, соответствующие его центру тяжести, называются главными центральными осями инерции.
 Можно найти момент инерции относительно любой оси L ', проходящей через точуи О ' тела, если известны главные моменты инерции тела относительно какой - нибудь другой точки О тела. Для этого выбирается ось L, параллельная оси L ' по формуле (8), затем используем формулу Гюйгенса - Штейнера.

Примеры

 Однородный стержень массы М и длины l.
   Однородный шар массы М и радиуса R. Найдём центральный момент инерции
.
 Для вычисления тройного интеграла воспользуемся переходом к сферическим координатам
Так как шар обладает абсолютной симметрией, то Jxx = Jyy = Jzz и Jxx + Jyy + Jzz = 2·J0, то
 Однородный диск массы М и радиуса R. Найдём центральный момент инерции диска
 Для вычисления двойного интеграла воспользуемся переходом к полярным координатам
Так как диск обладает абсолютной симметрией, то Jx = Jy и Jx + Jy = J0. Из этого следует Jx = Jy = ¼·MR².

Таблица моментов инерции

Тело Момент инерции
Отрезок прямой
Прямоугольник
Эллипс
Прямоугольный параллелепипед
Прямая прямоугольная пирамида
Прямой круговой цилиндр
Прямой круговой конус
Эллипсоид
Тор