К разделу
Тема 6 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении тела
  2. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
  3. Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении, (в движении по отношению к центру масс системы).
  4. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
  5. План решения задач динамики плоского движения твёрдого тела.
  6. Примеры.

Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении тела

 Вычислим кинетический момент твердого тела относительно оси вращения, когда тело вращается вокруг этой неподвижной оси с угловой скоростью ω ( смотри рисунок). По определению кинетического момента относительно оси имеем
 (1)
 Кинетический момент системы относительно оси вращения равен моменту инерции системы относительно этой оси, умноженному на угловую скорость системы.
 Знак кинетического момента относительно оси совпадает со знаком угловой скорости вращения вокруг этой оси: при вращении против движения часовой стрелки кинетический момент положительный, при вращении по движению часовой стрелки он отрицательный.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

 Из теоремы об изменении кинетического момента получим дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Oz ( смотри рисунок). Имеем:
. (2)
 Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси согласно (1)
Kz = Jz ω, (3)
где Jz – постоянный для твердого тела момент инерции относительно неподвижной оси вращения, ω – угловая скорость. Учитывая это, получаем
, (4)
 Это и есть дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Оно полностью аналогично дифференциальному уравнению поступательного движения твердого тела в проекции на какую-либо ось, например на ось Ох.
 В дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси вместо координаты х входит угол поворота φ, вместо массы тела М — момент инерции относительно оси вращения Jz, вместо суммы проекций внешних сил на ось Ох входит сумма моментов внешних сил относительно оси вращения Oz или так называемый вращательный момент внешних сил.
 Если при этом сумма моментов всех внешних сил относительно этой оси равна нулю , то
Kz = Jz· ω = const, (5)
или
Jz· ω = Jz0· ω0. (6)
где Jz и ω — момент инерции системы тел и их угловая скорость относительно оси вращения в произвольный момент времени t; Jz0 и ω0 — момент инерции тел и их угловая скорость в момент времени, выбранный за начальный, например при t = 0.
 Закон сохранения кинетического момента в форме (6) наглядно его можно продемонстрировать в опыте на скамье Жуковского ( смотри рисунок). Если человек с гирями в руках встанет на горизонтальную платформу скамьи Жуковского, которая может вращаться вокруг вертикальной оси почти без трения, и затем ему сообщить угловую скорость вокруг этой оси, то
Jz0· ω0 = Jz· ω .
так как внешние силы или параллельны оси вращения (силы веса человека, гирь и платформы), или пересекают ось (реакции подшипника, пренебречь силами трения).
 Следовательно, если человек увеличит момент инерции, например, разведением рук с гирями в стороны, то угловая скорость вращения уменьшится и наоборот. В действительности угловая скорость хотя и медленно, но все время уменьшается вследствие наличия сопротивления воздуха и трения в подшипнике скамьи.
 Если главный момент всех внешних сил, действующих на систему, относительно данного неподвижного центра всё время равен нулю, то кинетический момент системы относительно того же центра остаётся постоянным по модулю и направлению.
 Реакции подшипников RA и RB оси вращения являются внешними силами, но их моменты относительно оси вращения равны нулю, если пренебречь силами трения, так как они пересекают ось вращения.
 В частном случае, когда
, (7)
то
, (8)
т. е. вращение тела происходит с постоянным угловым ускорением.
 Если
, (9)
то
, (10)
 Это случай равномерного вращения тела по инерции без действия вращательного момента внешних сил.
 Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела в общем случае позволяет решать две основные задачи: по заданному вращению тела определять вращающий момент внешних сил и по заданному вращательному моменту и начальным условиям находить вращение тела. При решении второй задачи для нахождения угла поворота как функции времени приходится интегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения. Методы его интегрирования полностью аналогичны выше рассмотренным методам интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки.

Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении (в движении по отношению к центру масс)

   Теорема. Кинетический момент системы относительно какого-нибудь неподвижного центра равен геометрической сумме кинетического момента центра масс системы относительно того же центра в предположении, что в нём сосредоточена масса всей системы, и кинетического момента системы, взятого относительно центра масс, в её движении относительно осей координат, имеющих своё начало в центре масс системы, и движущихся поступательно вместе с центром масс по отношению к неподвижным осям координат.
 (11)
 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим относительное движение системы Cx'y'z'  с началом в центре масс системы, движущейся поступательно поступательно относительно основной системы координат. Согласно определению кинетического момента относительно неподвижной точки О для абсолютного движения системы относительно системы координат Оху имеем ( смотри рисунок)
. (12)
 Так как
, (13)
и
, (14)
в силу выбора системы отсчёта,
- кинетический момент в относительном движении.
      Теорема. Производная по времени от кинетического момента, вычисленного относительно центра масс, равна главному моменту всех внешних сил, действующих на систему, относительно центра масс.
   Д о к а з а т е л ь с т в о.
 (15)
Так как , то
что и требовалось доказать.
   При движении системы относительно системы координат, имеющей своим началом центр масс, и движущейся поступательно относительно неподвижных осей координат, теорема об изменении кинетического момента формулируется совершенно так же как для неподвижных осей координат.

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

 Используя теоремы о движении центра масс и изменения кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс, получим дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
 В плоскости движения центра масс тела, совершающего плоское движение, выберем неподвижную систему координат Ох1y1, относительно которой рассматривается движение, и движущуюся поступательно вместе с центром масс систему Сху. Пусть хс и ус — координаты центра масс тела относительно неподвижной системы координат ( смотри рисунок). Тогда по теореме о движении центра масс получим два следующих дифференциальных уравнения плоского движения твердого тела:
, (16)
где М — масса тела.
 Третье дифференциальное уравнение плоского движения твердого тела получим из теоремы об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс в проекции на подвижную ось Сz:
. (17)
 Плоское движение твердого тела можно считать состоящим из поступательного движения вместе с центром масс С и вращения вокруг подвижной оси Сz. Для случая вращения вокруг оси кинетический момент относительно этой оси вычисляется по формуле
, (18)
где ω – угловая скорость и JCz – момент инерции относительно оси Cz.
 Так как JCz является величиной постоянной, то после подстановки в теорему об изменении кинетического момента в относительном движении, получим
. (17)
Если ввести угол поворота φ вокруг подвижной оси Сz, то получим следующее дифференциальное уравнение:
. (18)
 Таким образом для твердого тела, совершающего плоское движение и, следовательно, имеющего три степени свободы, соответственно получим следующие три дифференциальные уравнения:
. (19)
 С помощью этих уравнений можно решать две основные задачи: по заданному плоскому движению твердого тела находить действующие на тело внешние силы и по заданным внешним силам и начальный условиям определять его движение ( смотри рисунок). При решении этих задач должнь быть заданы масса тела М и его момент инерции.

План решения задач динамики плоского движения твёрдого тела

  1. Изобразить на рисунке все внешние силы, приложенные к твёрдому телу.
  2. Выбрать систему координат и тем самым определить направление положительного отсчёта угла φ.
  3. Составить дифференциальные уравнения плоского движения твёрдого тела.
  4. В случае решения прямой задачи искомые внешние силы и их моменты определяются из составленной в пункте с) системы.
  5. В случае решения обратной системы в пункте с) уравнения интегрируются.

Примеры

   П р и м е р 1. Однородный горизонтальный диск радиусом R и массой M может вращаться без трения вокруг вертикальной оси. Как изменится угловая скорость диска, если первоначально стоящий на платформе на расстоянии r от ее оси человек весом m пойдет по платформе по окружности радиусом r с относительной скоростью U ( смотри рисунок).
   Р е ш е н и е. Когда человек стоит, кинетический момент системы
Kz = Jz·ω0 + m r2ω0 .
После того, как человек пойдет, его кинетический момент станет равным кинетическому моменту от вращения вместе с диском и кинетическому моменту от относительного движения против движения часовой стрелки по диску, т. е.
Kz = Jz·ω + m r2ω + m r v .
Приравнивая оба выражения для кинетического момента, получаем
Jz·ω + m r2ω + m r v = Jz·ω0 + m r2ω0.
Отсюда
.
Так как для однородного диска
,
то окончательно
,
 П р и м е р 2. Через невесомый блок перекинута верёвка, за которую держатся два человека одинаковой массы m1 = m2. Человек А движется по верёвке вверх с относительной скоростью U, другой В - не движется по верёвке. Найти абсолютную скорость подъёма человека В ( смотри рисунок).
 Р е ш е н и е. По теореме об изменении кинетического момента системы имеем относительно оси вращения блока
.
Так как массы m1 = m2 равны, то кинетический момент системы относительно оси вращения блока постоянен
Kx = const = 0.
Кинетический момент человека А равен KA = − m1·( U − V2)·r. Кинетический момент человека B равен KВ = m2·V2·r. Суммарный кинетический момент системы равен
Kx = KA + KВ = − m1·( U − V2)·r + m2·V2·r.
 Из последнего соотношения следует
− U + V2 + V2 = 0,
или
U = 2·V2,
откуда окончательно получим скорость V2 = U/2.
 П р и м е р 3. Найти момент сил трения и момент инерции блока радиуса r = 50 см, если с высоты h = 2м груз весом Р1 = 8 кг опускается за Т1 = 16 сек, а груз весом Р2 = 4 кг опускается за Т2 = 25 сек.
 Р е ш е н и е.

Интегрируя последнее соотношение с учётом начальных условий, получим
При t = T имеем
.
 Разрешая каждое из уравнений относительно момента сил трения, получим
.
Откуда имеем
,
или
 Пример 4. Колесо весом Q и радиуса r катится прямолинейно без скольжения по горизонтальной плоскости под действие горизонтально направленной силы S, приложенной к центру тяжести С. Колесо катится равноускоренно с ускорением а. Колесо считать однородным диском. Определить силу S и силу трения сцепления Fсц.
Так как yc = - r = const, то  и N = Q. Так как  и  есть условие качения тела без проскальзывания, то  и , ,
 Пример 5. Решить предыдущую задачу, учитывая трение качения колеса о горизонтальную плоскость, если коэффициент трения качения fk.
Так как yc = - r = const, то  и N = Q. Так как  и  есть условие качения тела без проскальзывания, то и .

    Пример 6. В условиях предыдущей задачи найти величину силы S, чтобы колесо катилось без проскальзывания.
    Р е ш е н и е. Уравнение движения ведомого колеса имеют вид
Так как при отсутствии проскальзывания колеса с полотном пути имеет место соотношение , уравнения движения колеса имеют вид
Из первого уравнения системы найдём
и подставим во второе уравнение
Условием отсутствия скольжения является |fсц| < μ·N. Подставляя найденные величины в условие отсутствия скольжения, получим
 П р и м е р 7. Движение бревна после устранения опоры. Бревно весом Р, длиной 2L, радиусом основания r опиралось своими концами на оба кирпича. Внезапно правый кирпич был выбит из-под бревна. Определить реакцию левого кирпича в начальный момент падения, считая бревно однородным круглым цилиндром.
  1. Когда бревно опиралось обоими концами на кирпичи и находилось в покое, найдём реакции опор, используя условия равновесия. В этом случае RA = RB = ½·P.
  2. В этом случае бревно совершает плоско параллельное движение.
    Так как vc = - L·ω, то , то второе и третье уравнение примут вид
    Из второго уравнения системы найдём
    и подставим в первое уравнение
    .
    Из этого уравнения найдём
     или
    ,
    Откуда видно, что динамическое давление существенно отличается от статического. Найдём Jc по теореме Штейнера, проведя интегрирование
    Интегрируя последнее соотношение в пределах от - L до + L, получим
Подставляя найденный момент инерции Jc в выражение для реакции RA, получим