К разделу
Тема 7 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.
  2. Динамическая теорема Кориолиса.
  3. Колебания маятника Дедуи.
  4. Падение материальной точки на Землю.
  5. Невесомость.

Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

 Пусть система координатных осей О1х1у1 (система отсчета) имеет известное нам движение относительно «неподвижной» системы отсчета Oxyz. Зная силы, действующие на данную материальную точку М, требуется найти движение этой точки относительно подвижной системы О1х1у1 , т. е. найти ее относительное движение. Для решения этой задачи нужно составим дифференциальные уравнения относительного движения точки М; проинтегрировав эти уравнения, найдем искомое движение.
 Согласно второму закону Ньютона при движении материальной точки относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета имеем
m a = F + N,
где a обозначает абсолютное ускорение точки М, F — действующую на эту точку заданную силу и N — реакцию связей. Но из кинематики известно, что
a = ar + ae + ak,
где ar, ae, ak обозначают соответственно относительное, переносное и кориолисово ускорения точки М. Подставляя это значение a в предыдущее равенство, получим:
m ar = F + N − m ae − m ak .
В абсолютном и относительном движениях траектории точек будут казаться различными, а также будут различными и все кинематические характеристики движения, в частности и ускорения. Для наблюдателя, связанного с подвижной системой отсчёта, это различие в ускорениях кажется происходящим вследствие действия каких-то дополнительных сил.
 Векторная величина − m ae , равная по модулю произведению массы точки на модуль ее переносного ускорения и направленная противоположно переносному ускорению, называется переносной силой инерции; точно так же векторная величина − m ak называется кориолисовой силой инерции. Если введем обозначения
− m ae = Фe и − m ak = − Фk,
то предыдущее уравнение примет следующий вид:
m ar = F + N + Фe + Фk .

Динамическая теорема Кориолиса

 Относительное движение точки происходит под действием не только непосредственно приложенной силы F, реакций связей N, но и под действием переносной силы инерции Фe и силы инерции Кориолиса Фk:
m ar = F + N + Фe + Фk .
Частные случаи динамической теоремы Кориолиса.
  1. Переносное движение подвижной системы поступательное движение. В этом случае ωe = 0, ускорение Кориолиса равно нулю ak = 2·( ωe×vr ) = 0 и Фk = − m ak = 0, поэтому m ar = F + N + Фe.
  2. Если предположить, что оси подвижной системы к тому же движутся равномерно, то переносная сила инерции равна нулю. Уравнения движения в такой системе примут вид m ar = F + N. Как видно, уравнения движения точки в такой системе будет одинаковыми с уравнениями в инерциальной системе координат.
  3. F + N = 0 − условие прямолинейного и равномерного движения точки в неподвижной системе координат.
  4. F + N + Фe + Фk = 0 - условие равновесия в подвижной системе координат.

Колебания маятника Дедуи

 Найти уравнения колебания математического маятника, точка подвеса которого движется прямолинейно и горизонтально с ускорением а ( смотри рисунок). Составим уравнение колебания маятника в подвижной системе координат, направиви ось On по нити к точке подвеса, ось Oτ направим перпендикулярно нити maτ = Rτ, man = Rn,
или m·l·ε = m·a·cos φ - m·g·sin φ, m·l·ω² = N - m·a·sin φ - m·g·cos φ. Первое уравнение примет вид
.
Если φ = Const, то в положении равновесия a·cos φ0 = g·sin φ0, или . Будем угол φ отсчитывать от угла φ0, тогда
.
Будем считать колебание малым: φ << 1 . В этом случае удерживая слагаемые до первого порядка малости включительно, получим уравнения малых колебаний маятника
.
Выполняя алгебраические преобразования в последнем уравнении, получим
или
.
Окончательно, уравнение малых колебаний маятника имеет вид
.
Круговая частота колебания маятника определится соотношением
,
период
.

Падение материальной точки на Землю

Направим орт eζ по оси вращения Земли. В таком случае имеем ω = ω·eζ = const. Сила тяжести m g представится как равнодействующая силы тяготения FH и центробежной силы инерции переносного движения Фе: m g = FH + Фе
Переносное ускорение aе = ω×( ω×ρ ).
 Сила притяжения к Земле есть равнодействующая гравитационной силы Ньютона и центробежной силы инерции:
или
.
Уравнение относительного движения имеет вид
.
Полагая ρ = OQ + σ, получим
                     (1).
 Рассмотрим падение с нулевой начальной скоростью. Так как рассмотрение имеет смысл только в течение небольшого промежутка времени, пока точка не упадёт на Землю, разложим решение в ряд Тейлора вектор удаления от Земли
Пусть σ0 = σ1 = 0 в силу начальных условий. Тогда
 и .
Подставив найденные производные в уравнение (1), получим
.
Приравнивая векторы при одинаковых степенях времени, получим
.
Окончательно
.
В соответствующем приближении точка будет падать вниз с ускорением g, одновременно отклоняясь на восток. Пока скорость мала, мала и сила Кориолиса, и доминирующей силой является сила m g, так что точка падает практически равноускоренно. Далее по мере рота скорости появляется ощутимая боковая сила Кориолиса, которая отклоняет точку от вертикали в направлении своего действия (в северном полушарии эта сила действует на Восток).

Невесомость

Под невесомостью материальной точки понимают отсутствие давления этой точки на каждое из тел, с которым она может соприкасаться. Рассмотрим пример (смотри рисунок).
Фe + N - m·g = 0, m·a + N - m·g = 0, N = m·(g - a)
Если a = g, то N = 0 .