kin1

Лекция 1

К содержанию

Способы задания движения (естественный, координатный, векторный).
Средняя и мгновенная скорость точки.
Скорость точки в прямоугольных декартовых координатах.
Среднее и мгновенное ускорение.
Ускорение точки в прямоугольных декартовых координатах.
Дифференцирование вектора постоянной длины.
Касательное и нормальное ускорение точки.
Ускорение точки, движущейся по окружности.
Пример.
Решение примера в пакете Maple

Способы задания движения

Кинематика – раздел механики, в котором изучается движение точки или тела независимо от причин, вызывающих это движение.
Под механическим движением точки понимают изменение положения точки в пространстве относительно других тел с изменением времени.
Тела, относительно которых рассматривается движение, называются телами отсчёта. Система координат, неизменно связанная с телом отсчёта, называется системой отсчёта.

Естественный способ задания движения. При естественном способе задания движения необходимо задать траекторию, закон изменения расстояния от некоторого фиксированного начала отсчёта и направление положительного отсчёта от этой точки.
Координатный способ задания движения. При координатном способе задания движения задаются законы изменения координат точки от времени (1) Для того, чтобы получить уравнение траектории, необходимо из уравнений (1), задающих закон движения, исключить время. Для этого разрешив, к примеру, первое уравнение системы (1) относительно времени t, получим соотношение t = φ (x). Если полученное соотношение подставить во второе и третье уравнение системы (1), получим систему (2) Система (2), определит траекторию движения точки.
Векторный способ задания движения. При векторном способе задания движения точки указывается векторная функция скалярного аргумента t: r = x (t)·i + y (t)·j + z (t)·k.

Средняя и мгновенная скорость точки

Отношение вектора перемещения Δr к промежутку времени Δt, за которое это перемещение произошло, называется

средней скоростью

.
Предельное значение средней скорости движения при условии стремления к нулю времени расчёта средней скорости, называется мгновенной скоростью движения, или скоростью движения точки в данный момент времени, или просто скоростью движения точки

.
Из определений средней скорости и скорости следует связь скорости движения и векторного способа задания движения: скорость движения точки равна производной по времени от векторного закона движения

. (3) Из определения скорости видно, что вектор скорости направлени по касательной к траектории движения в направлении движения

, (смотри рисунок) (4) где τ – единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения. Единичность вектора τ вытекает из соотношений

, так как d s = | d r |. Таким образом,

Скорость точки в прямоугольных декартовых координатах

Пусть x = x(t); y = y(t); z = z(t) уравнения движения. Эти соотношения определяют переменные координаты от времени векторной функции r = x (t)·i + y (t)·j + z (t)·k, тогда из соотношения (3) находим

. Проекции скорости на оси координат равны первым производным соответствующих координат точки по времени

. Найдём модуль скорости и направляющие косинусы вектора скорости

Годографом скорости называют геометрическое место точек концов векторов скорости, проведённых из одного полюса, для всех положений точки на траектории. Законом движения точки по годографу скорости будут уравнения

Исключив из этих уравнений время, получим годограф скорости.

Ускорение среднее и истинное

Отношение вектора перемещения Δv к промежутку времени Δt, за которое это перемещение произошло, называется средним ускорением

. Предельное значение среднего ускорения движения при условии стремления к нулю времени расчёта среднего ускорения, называется мгновенным ускорением движения, или ускорением движения точки в данный момент времени, или просто ускорением движения точки

. Из определений среднего ускорения и и ускорения следует связь ускорения движения со скоростью движения и векторным способом задания движения: вектор ускорения точки равен первой производной вектора скорости по времени или второй производной радиуса – вектора точки по времени

. (5)

Ускорение точки в прямоугольных декартовых координатах

Проекции вектора ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат точки по времени.

Дифференцирование вектора постоянного модуля

При дифференцировании вектора постоянной длины в плоскости вектор поворачивается против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора угловой скорости, и умножается на угловую скорость поворота. Действительно, пусть вектор b есть вектор постоянной длины | b | = const. В неподвижной системе координат Oxy этот вектор может быть записан в виде b = | b |· ( cos φ·i + sin φ·j ). Далее, дифференцируя вектор b по времени, получим

где | b | = | b |₁.
В общем виде формула дифференцирования вектора постоянной длины может быть записана так

Касательное и нормальное ускорение точки

Отношение угла между касательными к расстоянию по кривой между точками проведения этих касательных называется средней кривизной участка между точками проведения касательных

. Предельное значение средней кривизны участка кривой при условии бесконечного уменьшения расстояния по кривой между точками проведения касательных называется кривизной линии в данной точке

. Обратное значение кривизны называется радиусом кривизны ρ

. (6) Дифференцируя по времени соотношение (4) с учётом правила дифференцирования вектора постоянной длины τ в плоскости, определения кривизны траектории в данной точке (6), получим разложение вектора ускорения на касательную a_τ и нормальную a_n составляющие

Касательное ускорение равно производной по времени от модуля скорости точки

– нормальное ускорение. Так как составляющие нормального и касательного ускорения перпендикулярны, то по теореме Пифагора находим модуль и углы к касательной и нормали ускорения точки

В частном случае имеем a_τ = 0 – для равномерного движения, a_n = 0 – для прямолинейного движения.

Ускорение точки, движущейся по окружности

В частном случае движения точки по окружности радиус кривизны равен радиусу окружности.

Пример

По заданным уравнениям движения точки М

установить вид ее траектории и для момента времени t = 1 с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.– уравнения движения.
Решение. Найдём траекторию движения

Траектория является частью параболы в прямоугольнике - 4 ≤ x ≤ 4; - 3 ≤ y ≤ 3 (смотри рисунок) .
Найдём скорость точки в момент времени t = 1 сек. Так как

то

. Найдём ускорение точки в момент времени t = 1 сек. Так как

, то

Координаты точки в момент времени t = 1 сек будут x(1) = 4·sin 1 = 3,37 м; y (1) = 3·cos2 = - 1,25 м.
Найдём касательное ускорение точки

. Найдём нормальное ускорение точки

. Найдём радиус кривизны траектории в точке, где будет движущаяся точка в момент времени t = 1 сек.

Решение примера в пакете Maple

>restart:
> N:=50:k:=1.2: # Количество кадров анимации
>x:=4*sin(t):y:=3*cos(2*t): # Уравнения движения
> T:=evalf(4*Pi): # Время движения
>r:=vector([x,y,0]): v:=map(diff,r,t);W:=map(diff,r,t$2); # Вектора скорости и ускорения
> with(plots): pv:=0.02,0.2,0.2: # Параметры стрелок на рисунке
> with(plottools):
> for i to N do t:=i/N*T+4: r1:=vector([r[1],r[2]]): v1:=vector([v[1],v[2]]): W1:=vector([W[1],W[2]]): acc:=arrow(r1,W1,pv,color=red): vel:=arrow(r1,v1,pv,color=blue): txa:=TEXT([r[1]+W[1]*k,r[2]+W[2]],"W"): txv:=TEXT([r[1]+v[1]*k,r[2]+v[2]],"v"): p[i]:=display(vel,acc,txa,txv): end:
> t:='t': g1:=display(seq(p[i],i=1..N),insequence=true): g2:=plot([x,y,t=0..T]): display(g1,g2,scaling=constrained,title="Скорость и ускорение точки");
> with(linalg):V:=norm(v,2): # Модуль скорости
> Wt:=dotprod(v,W)/V: # Касательное ускорение
> W_:=norm(W,2): # Модуль ускорения
> Wn:=norm(crossprod(v,W),2)/V: # Нормальное ускорение
> t:=evalf(1); # Заданное время
> ` x`=x; ` y`=y; ` v`=V; ` Wt`=Wt; ` Wn`=Wn; ` W`=W_; ` ro`:=V^2/Wn; # Расчет значений