К разделу

Лекция 2

К содержанию
  1. Поступательное движение твёрдого тела.
  2. Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
  3. Скорость точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
  4. Ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
  5. Вектор угловой скорости и углового ускорения.
  6. Формула Эйлера. Линейная скорость точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
  7. Разложение ускорения точки вращающегося вокруг оси тела на касательную и нормальную составляющие.
  8. Преобразование простейших движений.
  9. Пример.

Поступательное движение твёрдого тела

 Движение твёрдого тела называется поступательным, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки тела во всё время движения остаётся параллельным своему начальному положению. Так как rB = rА + АВ, то . Так как АВ вектор, не меняющийся по величине и по направлению, то , и, таким образом, vA = vВ. Далее, дифференцируя это соотношение по времени, получим . Окончательно aA = aВ. (смотри рисунок)
 При потупательном движении:
  1. 1) траектории различных точек тела есть конгруэнтные линии;
  2. 2) все точки тела движутся с одинаковыми скоростями;
  3. 3) ве точки тела движутся с одинаковыми ускорениями.
 Изучение поступательного движения сводится к изучению движения какой – либо одной из его точек. Векторы vA и aA, представляющие скорость и ускорение некоторой точки поступательно движущегося тела можно переносить в любую точку тела. Общие для всех точек поступательно движущегося тела скорость и ускорение можно назвать скоростью и ускорением тела. Такая терминология допустима только в случае поступательного движения тела. Во всех остальных случаях различные точки тела движутся с разными скоростями, а поэтому понятия о скорости и ускорения тела для этих движений теряют смысл.

Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси

 Если твёрдое тело движется так, что две его точки остаются неподвижными, то такое движение твёрдого тела называется вращательным движением вокруг неподвижной оси (смотри рисунок).
 Закон вращения тела задаётся зависимостью от времени угла поворота φ = φ (t). Прямая, проходящая через эти две неподвижные точки, называется неподвижной осью вращения этого тела.
 Все точки тела лежащие на оси вращения будут во всё время вращательного движения оставаться неподвижными. При этом траектории точек тела не лежащие на оси вращения, являются окружностями, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения и радиус каждой из них равен расстоянию соответствующей точки вращающегося тела от оси вращения.
 Средней угловой скоростью вращения называется отношение изменения угла поворота подвижной плоскости относительно неподвижной к времени поворота
.
 Предельное значение средней угловой скорости вращения при условии стремления к нулю времени расчёта средней угловой скорости называется мгновенной угловой скоростью, или угловой скоростью в данный момент времени, или просто угловой скоростью
.
 Угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной от закона изменения угла поворота тела по времени. Как правило, закон вращения φ = φ(t) является дважды непрерывно дифференцируемой по времени функцией. Размерность угловой скорости [ω] = сек-1.
 Угловая скорость представляется вектором, направленным по оси вращения в сторону, откуда видится вращение тела против часовой стрелки. Знак угловой скорости указывает, в какую сторону в данный момент вращается тело вокруг оси, по часовой или против часовой стрелке.
 Средним угловым ускорением вращения называется отношение изменение угловой скорости вращения подвижной плоскости относительно неподвижной к времени, когда это изменение произошло
.
 Предельное значение среднего углового ускорения вращения при условии стремления к нулю времени расчёта среднего углового ускорения называется мгновенным угловым ускорением, или угловым ускорением в данный момент времени, или просто угловым ускорением

.
 Угловое ускорение тела в данный момент равен первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота тела по времени.
 При sign ω = sign ε угловая скорость и угловое ускорение направлены в одну сторону по оси вращения, в этом случае вращение ускоренное, при sign ω = - sign ε угловая скорость и угловое ускорение направлены в разные стороны по оси вращения, в этом случае вращение замедленное (смотри рисунок).
 В частном случае равнопеременного вращения ε = const, имеем d ω = ε ·d t. Далее, интегрируя, получим ∫ d ω = ε ·∫ d t и ω = ε · t + C1. Таким образом получим ω = ω0 + ε·t – закон изменения угловой скорости при равнопеременном вращении твёрдого тела.
 Из соотношения для угловой скорости получим d φ = ω ·d t = (ω0 + ε·t)·d t = ω0·d t + ε·t·d t. Интегрируя далее, получим ∫ d φ = ω0· ∫ d t + ε·∫ t·d t, или .
 Если изветно начальные условия по углу поворота, то получим закон равно переменного вращения твёрдого тела
.

Скорость точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Так как все точки твёрдого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси движутся по окружностям, то путь, проходимый этими точками, равен s = h·φ. Дифференцируя это соотношение по времени, получим . Таким образом получим соотношение ν = h·ω – для линейной скорость точки твёрдого тела, совержающего вращательное движение вокруг неподвижной оси. Следует заметить, что линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения (смотри рисунок).

Ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

 Так как точки твёрдого тела, совержающего вращательное движение вокруг неподвижной оси, движутся по окружностям, то касательные ускорения точек определятся соотношением , а нормальное ускорение определится соотношением .
 Если тело вращается ускоренно, то , если же вращается замедленно, то . Полное ускорение по касательному и нормальному составляющим определится соотношением (смотри рисунок) . Тангенс угла между вектором полного ускорения и его нормальной составляющей определится соотношением (смотри рисунок).
 Ускорения всех точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол α с радиусами описываемых ими окружностей.
 Если ε = 0, тело вращается равномерно, tg α = 0  и ускорение направлено к центру окружности, описываемой точкой.

Вектор угловой скорости и углового ускорения

 Вектор угловой скорости ω откладывают по оси вращения в сторону, откуда видится вращение против хода часовой стрелки. Вектор ω скользящий. Задав вектор угловой скорости ω, можно для каждого момента времени определить:
  1. Положение оси вращения;
  2. Направление вращения тела вокруг своей оси;
  3. Величину угловой скорости тела. (смотри рисунок)

Формула Эйлера. Линейная скорость точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

 Если ввести единичный вектор k на оси вращения, то угловую скорость и угловое ускорение вращения как векторы можно представить в виде ω = ω·k, . Модель линейтой скорости можно представит в виде v = h·ω = r·ω·sin θ. Учитывая определение векторного поизведения получим формулу для определения скорости точек твёрдого тела в векторном виде v = ω × r – Формула Эйлера.

Разложение ускорения точки вращающегося вокруг оси тела на касательную и нормальную составляющие

 Разложение ускорения точки вращающегося вокруг оси тела на касательную и нормальную составляющие можно получить и другим путём, используя формулу Эйлера. Дифференцируя формулу Эйлера, получим соотношение разложения ускорения на составляющие
,
 Величина касательного ускорения равно
.
 Величина нормального ускорения равна
.

Преобразование простейших движений

  1. Преобразование вращательного движения в поступательное и обратно: v = R·ω . (смотри рисунок)
  2. Внешнее зацепление: v = R1·ω1 = R2·ω2, aτ = R1·ε1 = R2·ε2. (смотри рисунок)
  3. Внутреннее зацепление: v = R1·ω1 = R2·ω2, aτ = R1·ε1 = R2·ε2. (смотри рисунок)
  4. Преобразование одного поступательного движения в другое. (смотри рисунок)
  5. Преобразование вращения вокруг одной оси во вращение вокруг другой оси v = R1·ω1 = R2·ω2, aτ = R1·ε1 = R2·ε2. (смотри рисунок)

Пример

 Даны два шкива радиусов R1 = 0,6 м и R2 = 0,5 м, находящихся во внешнем зацеплении. На малый радиус r1 = 0,3 м первого шкива намотана нить, к свободному концу которой прикреплён груз, который спускается по закону S = 3·t² м. Определить скорость и ускорение точек на ободе второго шкива.
 Решение. Прикреплённое к нити тело движется поступательно, поэтому
.
Эти скорость и ускорение совпадают со скоростью и ускорением нити, вследствие чего это будут скорость и касательное ускорение точек малого радиуса первого шкива:

Угловая скорость первого шкива будет равна . Скорость точки контакта двух шкивов равна
,