kin3

Лекция 3

К содержанию

Абсолютное, переносное, относительное движения.
Теорема сложения скоростей в сложном движении.
Теорема сложения ускорений в сложном движении.
Правило Жуковского нахождения ускорения Кориолиса.
Примеры.
Сложные поступательные движения.
Приведение мгновенных вращательных движений твердого тела вокруг осей, пересекающихся в одной точке к простейшему движению.
Приведение мгновенных вращательных движений твердого тела вокруг параллельных осей.

Абсолютное, переносное, относительное движение

Движение точки М относительно (наблюдателя А) неподвижной системы А называется абсолютным. Движение точки М относительно наблюдателя В (подвижной системы В) называется относительным. Движение места, где находится в данный момент времени точка М относительно неподвижной системы А, называется переносным.

Теорема сложения скоростей в сложном движении

Т е о р е м а. Абсолютная скорость точки в сложном движении равна векторной сумме скоростей в её переносном и относительном движении.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Так как r₀ – радиус - вектор начала подвижной системы координат, ρ – радиус - вектор относительного положения, то очевидно радиус - вектор абсолютного положения является векторной суммой r = r₀ + ρ. Если (x, y, z) – координаты радиус - вектора ρ относительно подвижной системы координат и i, j, k есть базисные векторы подвижной системы координат, то r = r₀ + x·i + y·j + z·k. (1)Дифференцируя последнее соотношение (1) по времени, получим соотношение для абсолютной скорости в сложном движении точки

где

(2) – вектор скорости в переносном движении,

(3) – вектор скорости в переносном движении точки. Таким образом окончательно будем иметь соотношение для определения вектора скорости в абсолютном движении (смотри рисунок) v_a = v_e + v_r. (4)

Теорема сложения ускорений в сложном движении

Т е о р е м а. Абсолютное ускорение точки в сложном движении равна векторной сумме ускорений в её переносном, относительном движении и ускорения Кориолиса.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Дифференцируя соотношение (4), с учетом (2) и (3), получим

где

– переносное ускорение

– относительное ускорение

– ускорение Кориолиса.
Таким образом окончательно получим

Правило Жуковского нахождения ускорения Кориолиса

Вектор относительной скорости v_r проектируется на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости ω и эта проекция поворачивается на угол 90° по направлению вращения. (смотри рисунок)
a_k = 2 ω·V_r·sin θ.

Примеры

П р и м е р 1. Железнодорожный состав идёт курсом ЮВ со скоростью ''а'' км/ч, при этом ощущается ветер В. Состав уменьшает скорость до ½a км/ч, при этом ощущается ветер СВ. Определить направление и скорость ветра.
Р е ш е н и е. Пусть R скорость ветра. Тогда

. Приравнивая эти величины, получим

. Приравнивая величины при одинаковых направляющих векторах, получим систему уравнений

решая которую, найдём

. Используя найденные значения относительных скоростей V₁ и V₂, получим для скорости ветра

. Таким образом, получили, что ветер северный дует со скоростью

.
П р и м е р 2. Наклонная плоскость с углом наклона 45° к горизонту движется из состояния покоя с ускорением a_e = 0,1 м/сек². По наклонной плоскости из состояния покоя движется вниз точка с ускорением

м/сек ². Начальное положение точки х = 0 и у = h. Определить абсолютные скорость и ускорение точки, а так же траекторию её движения.
Р е ш е н и е. Разложение абсолютной скорости по базисным векторам примет вид

Разложение абсолютного ускорения по базисным векторам примет вид

.
Используя данные задачи и интегрируя, получим

Применяя условие равенства векторов, получим закон движения рассматриваемой точки будет определяться соотношениями

Исключая время из закона движения, получим траекторию точки. Траектория точки будет линия, уравнение которой будет иметь вид

. П р и м е р 3. Гусеничная машина движется со скоростью V₀ и ускорением а₀. Определить скорость и ускорение точек М₁, М₂, М₃, М₄ точек гусеницы (рис. 1).

Рис. 1 Р е ш е н и е. Угловая скорость вращения колеса определится соотношением

. Соотношения для проекций скорости произвольной точки обода колеса имеют вид

Из этого соотношения получим вырожение скорости для любой точки люлда колеса. В частности, для указанных точек на вертикальном и горизонтальном диаметре получим скорости v₁, v₂, v₃, v₄.

Найдём нормальное, касательное ускорения в относительном движении и проекцию полного ускорения на ось абсцисс

.
Найдём проекцию полного ускорения на ось ординат и величину полного ускорения

Сложные поступательные движения

Если тело находится в двух одновременных поступательных движениях — относительном и переносном, то абсолютное движение тела тоже является поступательным и его скорость равна геометрической сумме скоростей относительного и переносного поступательных движений.
Так как в поступательном движении каждая точка твердого тела перемещается с такой же скоростью, с какой движется любая другая точка этого тела, то скорости всех точек тела в относительном движении, являющемся поступательным движением, одинаковы и равны v₁. Аналогично скорости всех точек тела в переносном поступательном движении тоже одинаковы и равны v₂. От сложения равных по величине и параллельных векторов получаются равные и параллельные векторы, поэтому в каждый момент времени абсолютные скорости всех точек тела v равны по величине, параллельны и направлены в одну сторону v_a = v₁ + v₂. Это справедливо и для ускорений точек тела.Применяем теорему о сложении ускорений для каждой точки; при ускорение Кориолиса для каждой точки тела равно нулю, так как переносное движение является поступательным. Поскольку в каждом поступательном движении твердого тела ускорения всех точек в каждый момент времени тоже равны между собой, то и ускорения всех точек тела в его абсолютном движении равны между собой и это общее ускорение можно считать ускорением всего тела в данный момент времени. Обозначая a₁, a₂, a_a относительное, переносное и абсолютное ускорения, имеем: a_a = a₁ + a₂. Cовокупность двух одновременных поступательных движений твердого тела кинематически эквивалентна некоторому одному (абсолютному) поступательному движению, причем скорость абсолютного поступательного движения и его ускорение соответственно равны геометрической сумме скоростей или ускорений обоих данных поступательных движений.
Если тело участвует в n поступательных движениях, то применяя метод математической индукции, получим (v₁, v₂, … v_n ) ~ v, где

. Скорость абсолютного поступательного движения тела, эквивалентного первоначальному множеству одновременных поступательных движений (v₁, v₂, … v_n ) является главным вектором данной системы лекторов { v_i }. Это характерно и для ускорения абсолютного поступательного движения. Ускорение абсолютного поступательного движения тела, эквивалентного первоначальному множеству одновременных поступательных движений (a₁, a₂, … a_n ) является главным вектором данной системы лекторов { a_i } ~ a.

Приведение мгновенных вращательных движений твердого тела вокруг осей, пересекающихся в одной точке к простейшему движению

Предположим, что тело вращается в данный момент времени вокруг оси Оz₁ с угловой скоростью ω₁ (относительное движение), а ось Оz₁ вращается вокруг Оz₂ с угловой скоростью ω₂ (переносное движение).

Возьмем какую-либо точку В тела или жестко скрепленного с ним пространства. По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость точки В v_B = v ^e_B + v^r_B. Обозначим r_B = OB радиус-вектор точки В, проведенный из точки пересечения осей Оz₁ и Оz₂ в точку В. Тогда относительная скорость v^r_B по формуле Эйлера равна: v^r_B = ω₁ × r_B, а переносная скорость v^e_B = ω₂ × r_B, Следовательно, абсолютная скорость v_B = v ^e_B + v^r_B = ω₂ × r_B + ω₁ × r_B = ( ω₁ + ω₂) × r_B. Обозначая Ω = ω₁ + ω₂, имеем v_B = Ω × r_B, (1) где мгновенная угловая скорость Ω направлена по диагонали параллелограмма, построенного на ω₁ и ω₂.
Если точка В* пространства, жестко скрепленного с вращающимся телом, находится в данный момент времени на прямой ОD, то ее абсолютная скорость по формуле (1) равна нулю, так как векторы Ω и r_B* коллинеарны.
Абсолютные скорости всех точек пространства, жестко скрепленного с вращающимся телом, находим по формуле (1), причем абсолютная скорость тех из них, которые в данный момент находятся на прямой ОD, равна нулю. Следовательно, два одновременных вращения вокруг пересекающихся осей с мгновенными угломи скоростями ω₁ и ω₂ кинематически эквивалентны одному вращению с мгновенной угловой скоростью Ω, равной геометрической сумме ω₁ + ω₂. Мгновенная ось абсолютного вращения проходит через точку пересечения складываемых угловых скоростей и направлена по Ω.
Если тело одновременно имеет любое число последовательных вращений вокруг мгновенных осей, пересекающихся в одной точке О, с угловыми скоростями ω₁, ω₂, … , ω_n, то абсолютным движением является также мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через точку О с угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей данных вращений, т. е. ( ω₁, ω₂, … , ω_n ) ~ Ωпричем

. Абсолютная угловая скорость Ω равна главному вектору системы векторов угловых скоростей всех данных вращений. Вектор Ω приложен в точке пересечения всех ω_i.
Имеется полная аналогия между процессом приведения системы сходящихся сил в статике твердого тела и приведением системы мгновенных угловых скоростей тел к простейшему виду.

Приведение мгновенных вращательных движений твердого тела вокруг параллельных осей

Мгновенный центр вращения подвижной плоскости основания цилиндра находится на прямой, соединяющей обе оси вращения, между осями и на расстояниях от осей, обратно пропорциональных соответствующим угловым скоростям.

Каждая точка тела находится в двух движениях: во вращательном движении вместе с телом, с угловой скоростью ω₂ (переносная угловая скорость) и во вращательном движении тела вокруг его оси с угловой скоростью ω₁ (относительная угловая скорость). Предположим, что оба вращения происходят в одну сторону, например против движения часовой стрелки, тогда векторы угловых скоростей ω₁ и ω₂ параллельны и направлены в одну сторону. Найдем абсолютное движение тела, которое, очевидно, является плоским.
Плоское движение представляет собой непрерывную последовательность мгновенных вращений вокруг мгновенных центров вращения для различных моментов времени. Покажем, что мгновенный центр вращения подвижной плоскости основания цилиндра находится на прямой, соединяющей обе оси вращения, между осями и на расстояниях от осей, обратно пропорциональных соответствующим угловым скоростям.
Обозначим С искомую точку. Ее абсолютная скорость равна нулю в данный момент времени. Действительно, по теореме о сложении скоростей для точки в сложном движении ее абсолютная скорость равна геометрической сумме скоростей относительного и переносного движений: v_C = v^(e)_C + v^(r)_C. Обозначим r₁ и r₂ радиусы-векторы точки С относительно точек A и B. Причем точку С выберем так, чтобы \ГЛ = ! СО, Но Следовательно, у с = й 1 Х Г 1 + сй2 х г 2.Так как векторы v^(e)_C= r₁ × ω₁ и v^(r)_C= r₂ × ω₂ имеют противоположные направления по прямой, перпендикулярной к плоскости, в которой находятся оси обоих вращений. Модули же векторных произведений равны между собой по условию выбора точки С. Таким образом, геометрическая сумма векторных произведений равна нулю, т. е. скорость точки С равна нулю; скорость любой другой точки С ' прямой СС ' также равна нулю.